一元二次方程根与系数的关系各种类型题及训练

1、一元二次方程根与系数的关系 各种类型题及训练LT一元二次方程根与系数的关系应用例析及训练一、根据判别式，讨论一元二次方程的根。例1：已知关于力的方程（1） /一（1 - 2a）x + i - 3=°有两个不相等的实数 根，且关于力的方程（2） -2犬+ 2a-1=0没有实数根，问7取什么整数时， 方程（1）有整数解？分析：在同时满足方程（1） , （2）条件的“的取值范围中筛选符合条件的 。的整数值。解：方程（1）有两个不相等的实数根，：.' = -（1- 2 M-4（a2-3）>013 a < 一解得 4 .方程（2）没有实数根，= （-2）2-4（2a-l）

2、<0解得1131 < a < 于是，同时满足方程（1） , （2）条件的。的取值范围是4其中，4的整数值有。=2或a=3当。=2时，方程 为，+3五+ 1 = 0,无整数根；当。=3时，方程（D为/+5x + 6=0,有整数根。解得：再=-2 ,通=-3所以，使方程（1）有整数根的。的整数值是。=3。总结：熟悉一元二次方程实数根存在条件是解答此题的基础，正确确定的 取值范围，并依靠熟练的解不等式的基本技能和一定的逻辑推理，从而筛选出 。=3,这也正是解答本题的基本技巧。二、判别一元二次方程两根的符号。例1：不解方程，判别方程2，+3五-7 二 °两根的符号。分析：对

3、于以"+版+ C = °3h°)来说，往往二次项系数，一次项系数，常 数项皆为已知，可据此求出根的判别式,但只能用于判定根的存在与否， 若判定根的正负，则需要确定再 或+勺的正负情况。因此解答此题的关键 是：既要求出判别式的值，又要确定再也 或再十巧的正负情况。解：.2/+3彳-7 = 0, /.=324X2X (-7)=65>0方程有两个不相等的实数根。设方程的两个根为，0，O < 7 -2原方程有两个异号的实数根。总结：判别根的符号，需要把“根的判别式”和“根与系数的关系”结合 起来进行确定，另外由于本题中再4V0,所以可判定方程的根为一正一负；倘

4、 若X勺>0,仍需考虑的正负，方可判别方程是两个正根还是两个负根。三、已知一元二次方程的一个根，求出另一个根以及字母系数的值。例2：已知方程-6彳+幽2-2活+ 5二°的一个根为2,求另一个根及的 值。分析：此题通常有两种解法：一是根据方程根的定义，把工二2代入原方程, 先求出加的值，再通过解方程办法求出另一个根；二是利用一元二次方程的根 与系数的关系求出另一个根及的值。解法一：把彳=2代入原方程，得：2 ° -6x2 + 后2m + 5 = 0即加'-2m- 3 = 0解得也 1 =3, tn2 =-1当为=3,也2=一1时，原方程均可化为：x2 -6x+8

5、 = 0方程 - 6工+港= - 2徵+5 = 0的另一个根为4,惚的值为3或一1 o解法二：设方程的另一个根为 一，根据题意，利用韦达定理得：公十七二-<-6)=6,占七二用?一2期+5. .内=2,.把飞=2代入餐+ /=-(一6)= 6 ,可得：占=4把/二4代入.马二鹿？一2阴+5,可得：- -2/十5二 8 ,即/-2淄-3 = 0解得叫=3,%=-1.方程/一船十胡二-2幽+ 5= 0的另一个根为4,跳的值为3或一1。总结：比较起来，解法二应用了韦达定理，解答起来较为简单。例3:已知方程一+国阳- 2)工“阳口+4= °有两个实数根，且两个根的平方和比两根的积大21

6、,求附的值。分析：本题若利用转化的思想，将等量关系“两个根的平方和比两根的积大21”转化为关于格的方程，即可求得 掰的值。解：:方程有两个实数根，- A=l-3)a-4xlx(+4)>0解这个不等式，得洲0 0设方程两根为占'/则演+电：二一取一幻，兀产二疗+4v& *一-、一.-2(W-2)f-3(+4) = 21整理得： - .解得： .二 一.又丁店40, 僧=7总结：当求出/=1九吗二T后，还需注意隐含条件用三Q ,应舍去不合题 意的海=17。四、运用判别式及根与系数的关系解题。例5:已知工1、%是关于十的一元二次方程4/4火塌-1）工+图、=0的 两个非零实数根

7、，问司和町能否同号？若能同号，请求出相应的透的取值范围； 若不能同号，请总结理由，解：因为关于丫的一元二次方程41+强取-1）工+刖。三口有两个非零实数根，则有 & =网鹤-1）a-4x4 = -3" + 160w < 2又二玉、勺是方程4/十%切-1.+/的两个实数根，所以由一元二次方程根与系数的关系，可得：Xl + 2 一31） , IL - Aa =:疝假设豆、七同号，则有两种可能：（1）/（0，/0河0，演 + / < 0若工<，2°,则有：1"勺>°（JM -1） C 04 1一第'> 0即有：14

8、解这个不等式组，得尸：< 2时方程才有实树根，此种情况不成立。1*若与r叼>° ,则有：民.七>o（押1） > 0m2 >0即有：14解这个不等式组，得微<1 ；W2 S 附宣又; 2, .当2时，两根能同号总结：一元二次方程根与系数的关系深刻揭示了一元二次方程中根与系数的 内在联系，是分析研究有关一元二次方程根的问题的重要工具，也是计算有关 一元二次方程根的计算问题的重要工具。知识的运用方法灵活多样，是设计考 察创新能力试题的良好载体，在中考中与此有联系的试题出现频率很高，应是 同学们重点练习的内容。六、运用一元二次方程根的意义及根与系数的关系解

9、题。例：已知心尸是方程工“十烈-5=0的两个实数根，求o1郎+2o的值。分析：本题可充分运用根的意义和根与系数的关系解题，应摒弃常规的求 根后，再带入的方法，力求简解。解法一：由于尸是方程尸+2l5=0的实数根，所以戌+2户-5 =。设/+知+2"M,4+加+加与户、2户一5相力口，得：度",*仃"网4（户2户7）=+户+ 2（值+0一侬一5=g+4+2（"由-加-5（变形目的是构造讨+尸和吟根据根与系数的关系，有：fl： +产=-2 2产-5于是，得:M = (-2)a+2(-2)-(-5)-5=4-4十$-5=0' 厂二二0解法二：由于鹿、产

10、是方程”十2x-5二。的实数根，.9"二-2+*户+2&=&(b+间+ 2 团=值*( - 2) + 2 值=0总结：既要熟悉问题的常规解法，也要随时想到特殊的简捷解法，是解 题能力提高的重要标志，是努力的方向。有关一元二次方程根的计算问题，当根是无理数时，运算将十分繁琐，这 时，如果方程的系数是有理数，利用根与系数的关系解题可起到化难为易、化 繁为简的作用。这类问题在解法上灵活多变，式子的变形具有创造性，重在考 查能力，多年来一直受到命题老师的青睐。七、运用一元二次方程根的意义及判别式解题。例8:已知两方程用了+5+都=0和/加+ 1)工+13+7= 0至少有一个相

11、同的实数根，求这两个方程的四个实数根的乘积。分析：当设两方程的相同根为 殳时，根据根的意义，可以构成关于 胃和用的 二元方程组，得解后再由根与系数的关系求值。解：设两方程的相同根为2,根据根的意义，有 7口一加值十5十切二0cP 一 (7烟 +1)= 0两式相减，得B幽+1以二2(6" 1)IW3 =当加+ 16时， 6 ,方程的判别式,1 .11 58A 二(一-4( + 5) = (-) -4(- + 5) = - <0663b 5方程无实数解公_ 2血 + 1)当加 +以0时，有实数解册十代入原方程，得2、沼*2 + 3 +阳二。，所以. -的相乘积为4个实数根于是，两方

12、程至少有一个相同的实数根,（5 十m）（13 喀+ 7） = 14 x 124 = 1736总结：(1)本题的易错点为忽略对6洲+ 1=Q的讨论和判别式的作用，常常除了犯有默认6泓+1孝0的错误，甚至还会得出并不存在的解：常i 二一一当院+1=0时， 6,两方程相同，方程的另一根也相同，所以 4个根(2)既然本题是讨论一元二次方程的实根问题，就应首先确定方程有实 根的条件：久1 -1-加-4(阳+与二楼, 一 4阳一20 20且与士+叫40痴位"痴-充阳0 0另外还应注意：求得的燃的值必须满足这两个不等式才有意义。【趁热打铁】1、如果关于工的方程1十5工十七二°的两根之差为

13、2,那么2、已知关于才的一元二次方程(/一疗一5句» + 1 = 0两根互为倒数, 贝U裔=。3、已知关于界的方程元一加工+ 2(*1)=。的两根为工1.今,且4、已知飞、叼是方程2-74=0的两个根，那么：3 .2西+电. ；（工1+D（均+1）二;句后卜。5、已知关于靠的一元二次方程超储-4配-6= 0的两根为公和勺,且11 +/=2,则沸=；（d+勺尸=06、如果关于工的一元二次方程x2+T2x+=0的一个根是1-也，那么另一 个根是, Q的值为。7、已知2+/是-Tx +狂=。的一根，则另一根为 / 的值为 O8、一个一元二次方程的两个根是2 +灰和2-#,那么这个一元二次方

14、程为:O二、求值题：1、已知瓦、/是方程2/-31-1 = Q的两个根，利用根与系数的关系，求 甬 +柘3的值。2、已知为、均是方程31-2k-1 = 0的两个根，利用根与系数的关系，求5f的值。3、已知玉、过是方程2/十取-4=0的两个根，利用根与系数的关系，求婷sJ+rJxJ的值。4、已知两数的和等于6,这两数的积是4,求这两数。5、已知关于x的方程融-（如-1）k+形+1 =。的两根满足关系式丑一/=1 , 求惚的值及方程的两个根。6、已知方程/十阳十4 = 0和16 = 0有一个相同的根，求逃的 值及这个相同的根。三、能力提升题：1、实数也在什么范围取值时，方程 状-2公1) = &#

15、176;有正的实数根?2、已知关于片的8 + 丽-2）耳+1万-3 = 0次方程2(1)求证：无论,唯取什么实数值，这个方程总有两个不相等的实数根。(2)若这个方程的两个实数根工】、/满足2马牛勺二鹿+ 1 ,求沼的值。工工一(胞一 2片工+ 1物龙=03、若理 。，关于*的方程4有两个相等的正的实数 根，求用的值。4、是否存在实数 J使关于工的方程晚3-(4尢-为k+6二-0的两个实根工卜孙,满足02 ,如果存在，试求出所有满足条件的 无的值，如果不存在, 请总结理由。5、已知关于苫的次方程/+2(3-即)x + l = Q (阳手。)的两实数1 1渤-+ 根为巧，巧，若 不町，求溶的值。6

16、、实数冽、都分别满足方程19的3+99溺+1=0和19 + 99用+ / = 0,求代数工,巾吊+4修+1总 的值。答案与提示:一、填空题:1、提示:应+/二6 %七一匕二2 .缶/二4q(鼻+引一4万个=4«),解得：一2、提示：为勺=1,由韦达定理得:值十1解得：口二土收，代入1飞 r-1检验，有意义，：值二士g。113十 ，二3、提示：由于韦达定理得：占+ /= 3加，西f = 2O-1）, 斯 勺 4演+向3 3m31 二附二一.工1肛4,2【所口4,解得： 3。x +无 _74、提示：由韦达定理得：*/,公为二-2 ,才+兀：=（+后尸-2Al./（一）。2 x（-2） /

17、 i , /, , -I 2 + + = '，4 .（石+怕+ 1）=再-勺+ （ + ）+122 .7Xi + / _ 4由 2 ,再.为二一可判定方程的两根异号。有两种情况：设 为>0,为<0,则 （65_ 9 瓦一心|二士/二J（甬=Jx：十了；-21.勺-d 4 2x（ 2）- 2 .设金<o,叼>0,则上勺卜"5。上_4_64一西 + 毛2 11 '/ _ _ r i _匚5、提示：由韦达定理得：喀，的,.+.那加二 一2 .网眄=3. （4+/）"电二（一2了 二 一8, ） 06、提示：设a二】一色，由韦达定理得：与十餐

18、二一线，工.工广口，.1戊+小二一也解得：/二- H"巨乂7=& ,即口二也。7、提示：设、二2+心，由韦达定理得：勺十七=4 , /.万二上，.2-廿，巧=2-5 一一 =（2-厚土我=18、提示：设所求的一元二次方程为 针那么不+看二-P ,. -p = Q4押)+(2-灰"4 ,即p=T ； g = Q +而(2-#) = -2 ；.设所 求的一元二次方程为：.v：-!.v- -.、求值题:1、提示：由韦达定理得：为二下，：岛+/二西忒河,媚1 “3 心。113三硒5+引、2g广一齐叼）+2、 = 一百21%十 七二一 马，心二一一 / 2 九二2、提示：由韦

19、达定理得：】n 3 ,1力3 ,.5 一勺）（工1 +为）（工1 一勺）二（至+期（网+/产-4"/广号刈号一 X -3 = 313工+1=一 力3、提示：由韦达定理得： ,7 , '- - - ；.可-工+工；工=（工1 万）“工：+与*）二j马厂a +与）（工+工；-功awgg二 © 勺尸51+盯)5+演尸-物勺广 H)- 3(-2) = -y4、提示：设这两个数为,可，于是有* +石='，二4 ,因此对' 万 可看作方程”+" +字=0的两根，即占十勺=一尸=6 , % / = q = 4 ,所以可得 方程：+ 4=0,解得：钎“小，

20、马二$-君，所以所求的两个数分别 是升衽,3-小。5、提示：由韦达定理得,那一1、口 4 僧十】-Hii1 C) -4 X = 1.缶+)-% 巧=1, . 2 2，化简得：-W-11-O ； 解得:叼二11,%=-1 ；以下分两种情况:当外=11时，,占一勺二1,组成方程组：/十勺=5(I)/=3,勺-勺=1；解这个方程组得：I仃=2 ；tn- 当叫二-1时，122 ，石一勺二1，组成方程组：/一天& 二-1 4)dl 勺=1.)】二。解这个方程组得：必二T6、提示：设1十阳十4=0和炉_(>_2)界_16 = 0相同的根为因二色，于是可 得方程组：十*«十4 二 0产吁2)-15 = 0；+得：岂f - 6=0 ,解这个方程得：为= -3.%=2；13以下分两种情况：(1)当'二一二时，代入得 3 ； (2)当硒='时, 代入得啊="。所以#十2+4 = 0和t _(*加-16 = 0相同的根为因=-3=叼=2 ,逸的13期1=二 皿_值分别为、能力提升题:1、提示：方程有正的实数根的条件必须同时具备： 判别式0;0,+0;于是可得不等式组:（-2上了- 4正侬一1） 之口k