高等数学课件：6-1定积分的元素法

1、2021-12-151第六章第六章 定积分的应用定积分的应用(Applications of Integration) 本章中我们将用前面学过的定积分的知识来本章中我们将用前面学过的定积分的知识来分析和解决一些几何、物理中的问题，其目的分析和解决一些几何、物理中的问题，其目的不仅是建立计算这些几何、物理的公式，而且不仅是建立计算这些几何、物理的公式，而且更重要的还在于介绍运用元素法解决问题更重要的还在于介绍运用元素法解决问题的定积分的分析方法。的定积分的分析方法。2021-12-152第一节第一节 定积分的元素法定积分的元素法一一 问题的提出问题的提出三三 小结小结四四 思考判断题思考判断题(

2、Element Method of Definite Integral)二二 定积分的元素法定积分的元素法2021-12-153考虑曲边梯形面积计算问题考虑曲边梯形面积计算问题 badxxfA)(一一 问题的提出问题的提出( (Introduction)Introduction)曲边 梯形由连 续曲 线曲边 梯形由连 续曲 线)(xfy )0)( xf、x轴与两条直线轴与两条直线ax 、bx 所围成。所围成。ab xyo)(xfy 2021-12-154面积表示为定积分要通过如下步骤：面积表示为定积分要通过如下步骤：（1）把区间把区间,ba分成分成n个长度为个长度为ix 的小区间，的小区间，相

3、应的曲边梯形被分为相应的曲边梯形被分为n个小窄曲边梯形， 第个小窄曲边梯形， 第i 小窄曲边梯形的面积为小窄曲边梯形的面积为iA ，则，则 niiAA1.（2）计算计算iA 的近似值的近似值iiixfA )( iix （3） 求和，得求和，得A A的近似值的近似值.)(1iinixfA （4） 求极限，得求极限，得A A的精确值的精确值iinixfA )(lim10 badxxf)(2021-12-155iinixf )(lim10 比较比较 badxxf)(与与两式，我们发现一个事实，左边的极限式子与右边两式，我们发现一个事实，左边的极限式子与右边的定积分表达式有很好的对应。我们让的定积分表

4、达式有很好的对应。我们让 ni 10lim ba对应对应iixf )( 而而使使dxxf)(对对应应 要想得到一个定积分表达式，只要求出被积要想得到一个定积分表达式，只要求出被积表达式表达式,)(dxxf这就是定积分的元素法这就是定积分的元素法2021-12-156当当所所求求量量U符符合合下下列列条条件件（1 1）U是是与与一一个个变变量量x的的变变化化区区间间 ba,有有关关的的量量；（2）U对于区间对于区间 ba,具有可加性，就是说，具有可加性，就是说，如果把区间如果把区间 ba,分成许多部分区间，则分成许多部分区间，则U相应相应地分成许多部分量，而地分成许多部分量，而U等于所有部分量之

5、等于所有部分量之和；和；（3）部部分分量量iU 的的近近似似值值可可表表示示为为iixf )( ；就就可可以以考考虑虑用用定定积积分分来来表表达达这这个个量量 U 二二 定积分的元素法（定积分的元素法（Element Method ）2021-12-157元素法的一般步骤元素法的一般步骤1）根据问题的具体情况，选取一个变量例如根据问题的具体情况，选取一个变量例如x为为积分变量，并确定它的变化区间积分变量，并确定它的变化区间,ba；2）设想把区间设想把区间,ba分成分成n个小区间，取其中任个小区间，取其中任一小区间并记为一小区间并记为,dxxx ，求出相应于这小区，求出相应于这小区间的部分量间的

6、部分量U 的近似值的近似值. .如果如果U 能近似地表能近似地表示为示为,ba上的一个连续函数在上的一个连续函数在 x处的值处的值)(xf与与dx的乘积，就把的乘积，就把dxxf)(称为量称为量 U的元素且的元素且记作记作 dU，即，即dxxfdU)( ； 2021-12-1583）以以所所求求量量U的的元元素素dxxf)(为为被被积积表表达达式式，在在区区间间,ba上上作作定定积积分分，得得 badxxfU)(，即即为为所所求求量量U的的积积分分表表达达式式. .这个方法通常叫做元素法这个方法通常叫做元素法应用方向：应用方向：平面图形的面积；体积；平面曲线的弧长；平面图形的面积；体积；平面曲线的弧长；功；水压力；引力和平均值等功；水压力；引力和平均值等2021-12-159元素法的提出、思想、