高等数学课件：4-3 分部积分法

1、返回返回上页上页下页下页目录目录2021年12月15日星期三1新课引入新课引入(Introduction)在前一节，我们利用复合函数的求到法则得到了在前一节，我们利用复合函数的求到法则得到了“换元积分法换元积分法” 。但是，但是，对于形如对于形如e d ;xxxln d ;xx xsin d ;xx x的积分用的积分用直接积分法直接积分法或或换元积分法换元积分法都无法计算都无法计算. 注意到，注意到，这些积分的被积函数都有共同的特点这些积分的被积函数都有共同的特点都是两种不同类型函数的乘积。都是两种不同类型函数的乘积。这就启发我们把两个这就启发我们把两个这就是另一个基本的积分方法：这就是另一个

2、基本的积分方法：分部积分法分部积分法. 函数乘积的微分法则反过来用于求这类不定积分，函数乘积的微分法则反过来用于求这类不定积分，返回返回上页上页下页下页目录目录2021年12月15日星期三2vuvuuv )(积分得:xvuxvuuvdd分部积分公式分部积分公式xvuuvxvudd或uvvuvudd1) v 容易求得 ;xvuxvudd)2比容易计算 .:)d(的原则或及选取vvu由导数乘法公式：返回返回上页上页下页下页目录目录2021年12月15日星期三3第三节第三节 分部积分法分部积分法 第四章第四章 （Integration by Parts）sind .xx x例例1 求解解: 令,xu

3、 sin ,vx 则, 1 ucosvx 原式( cos )xx( cos ) dxxcossinxxxC 返回返回上页上页下页下页目录目录2021年12月15日星期三4sind .xx x例例1 求另解另解: 令sin ,ux,vx 则cos ,ux 22xv 原式2sin2xx2cosd2xx x返回返回上页上页下页下页目录目录2021年12月15日星期三5.dlnxxx解解: 令,ln xu xv 则,1xu 221xv 原式 =xx ln212xxd21Cxxx2241ln21例例2 求返回返回上页上页下页下页目录目录2021年12月15日星期三6lnd .xx思考：如何思考：如何求

4、？返回返回上页上页下页下页目录目录2021年12月15日星期三7.darctanxxx解解: 令,arctan xu xv ，则,112xu221xv 原式xx arctan212xxxd12122xx arctan212xxd)111 (212xx arctan212Cxx)arctan(21例例3 求返回返回上页上页下页下页目录目录2021年12月15日星期三8.dsinxxex解解: 令,sin xu xev , 则,cosxu xev 原式xexsinxxexdcos再令,cosxu xev , 则,sin xuxev xexsinxxexexxdsincos故 原式 =Cxxex)c

5、os(sin21例例4 求返回返回上页上页下页下页目录目录2021年12月15日星期三9.dsinxxex说明说明: 也可设veux,为三角函数 , 但两次所设类型必须一致 . 例例4 求解法解法2返回返回上页上页下页下页目录目录2021年12月15日星期三10:的一般方法及选取vu把被积函数视为两个函数之积 , 按 “ 反对幂指三反对幂指三” 的顺序, 前者为 后者为u.v反反: 反三角函数反三角函数对对: 对数函数对数函数幂幂: 幂函数幂函数指指: 指数函数指数函数三三: 三角函数三角函数解题技巧解题技巧:返回返回上页上页下页下页目录目录2021年12月15日星期三11例例5 求.darc

6、cosxx解解: 令,arccosxu 1 v, 则,211xuxv 原式 =xxarccosxxxd21xxarccos)1d()1 (222121xxxxarccosCx 21返回返回上页上页下页下页目录目录2021年12月15日星期三12.dcoscosln2xxx解解: 令,coslnxu xv2cos1, 则,tan xuxvtan原式 =xxcoslntan xxdtan2xxcoslntan xxd) 1(sec2xxcoslntan Cxx tan例例6 求返回返回上页上页下页下页目录目录2021年12月15日星期三13.)(d22nnaxxI解解: 令,)(122naxu,

7、1 v则,)(2122naxxnuxv nIxaxxnnd)(21222naxx)(22xaxnnd)(2122naxx)(22nIn2122nIan得递推公式nnnIannaxxanI22221212)(21222)(aaxnaxx)(22例例7 求返回返回上页上页下页下页目录目录2021年12月15日星期三14递推公式nnaxxI)(d22已知CaxaIarctan11利用递推公式可求得.nInnnIannaxxanI22221212)(21说明说明:返回返回上页上页下页下页目录目录2021年12月15日星期三15分部积分题目的类型:1) 直接分部化简积分 ;2) 分部产生循环式 , 由此

8、解出积分式 ;(注意: 两次分部选择的 u , v 函数类型不变 , 解出积分后加 C )例例43) 对含自然数 n 的积分, 通过分部积分建立递 推公式 .说明说明:返回返回上页上页下页下页目录目录2021年12月15日星期三16)(xf的一个原函数是,cosxx求.d)(xxfx 解解:xxfxd)( )(dxfx)(xfxxxfd)(xxxcosCxxcosxsinCxxcos2说明说明: 此题若先求出)(xf 再求积分反而复杂.xxfxd)(xxxxxxdcos2sin2cos2例例8 已知返回返回上页上页下页下页目录目录2021年12月15日星期三17.dxex解解: 令, tx则,

9、2tx ttxd2d 原式tettd2tet (2Cxex)1(2, tu tev )teC令例例9 求返回返回上页上页下页下页目录目录2021年12月15日星期三18.d xI23)1 (2x解法解法1 先换元后分部先换元后分部 ,令,arctanxt 即,tantx 则teIt3secttdsec2ttetdcostetsinttetdsintetsinttetdcostetcos故CettIt)cos(sin2121xearctantx121x21xx211xCexarctan例例10 求返回返回上页上页下页下页目录目录2021年12月15日星期三19xeIxdarctan23)1 (2xxexIarctan2d11xxexxexarctan2arctan2d111)1 (11arctan2xexxICexxIxarctan2121xexarctan211xd 23)1 (2xxexarctan解法解法2 用分部积分法用分部积分法返回返回上页上页下页下页目录目录2021年12月15日