高等数学课件：4-2 换元积分法（1）

1、返回返回上页上页下页下页目录目录2021年12月15日星期三1复习引入复习引入(Introduction)在上次课中，我们学习了在上次课中，我们学习了“不定积分的概念和性质不定积分的概念和性质” 给出了给出了“基本积分公式表基本积分公式表” 。但是，但是，对于形如对于形如2sin2 d ;x x21d ;xx这样的积分，利用不定积分的性质和基本积分公式表这样的积分，利用不定积分的性质和基本积分公式表我们就无能为力了。我们就无能为力了。为此，我们来介绍其它的积分方法为此，我们来介绍其它的积分方法返回返回上页上页下页下页目录目录2021年12月15日星期三2第二节第二节 换元积分法换元积分法 第四

2、章第四章 一、第一类换元积分法一、第一类换元积分法二、第二类换元积分法二、第二类换元积分法（Integration by Substitution）返回返回上页上页下页下页目录目录2021年12月15日星期三3第二类换元法第二类换元法第一类换元法第一类换元法xxxfd)()(uufd)(设, )()(ufuF)(xu可导,xxxfd)()(CxF)()(d)(xuuuf)()(xuCuF)(dxFxxxfd)()(则有基本思路基本思路 返回返回上页上页下页下页目录目录2021年12月15日星期三4一、第一类换元积分法一、第一类换元积分法定理定理1 ,)(有原函数设uf,)(可导xu则有换元公式

3、xxxfd)()()d( )( )xfx( )duf u)(xu(也称配元法配元法 , 凑微分法凑微分法)返回返回上页上页下页下页目录目录2021年12月15日星期三52sin2 d .x x提示：令提示：令2ux例例1 求cos2xC 例例2 求1d1 2xx提示：令提示：令1 2ux 1ln |1 2 |2xC 返回返回上页上页下页下页目录目录2021年12月15日星期三6例例3 求() d(1 . )maxbmx 解解: 令,bxau则,ddxau 故原式原式 =muuad1a1Cumm1111)() 1(1mbxamaC返回返回上页上页下页下页目录目录2021年12月15日星期三722

4、 exxdx例例4 求答案：答案：2exC例例5 求tan dcot dx xx x和例例6 求22d.xax答案：答案：1arctanxCaa例例7 求22d(0).xaax解解:2)(1daxax2)(1)(daxaxCax arcsin22dxax返回返回上页上页下页下页目录目录2021年12月15日星期三8例例8 求22d.xxa答案：答案：1ln2xaCaxa返回返回上页上页下页下页目录目录2021年12月15日星期三9xbxafd)() 1 ( )(bxaf)(dbxa a1xxxfnnd)()2(1)(nxfnxdn1xxxfnd1)()3()(nxfnxdn1nx1万万能能凑凑

5、幂幂法法xxxfdcos)(sin)4()(sin xfxsindxxxfdsin)(cos)5()(cosxfxcosd常用的几种配元形式常用的几种配元形式: 返回返回上页上页下页下页目录目录2021年12月15日星期三10 xxxfdsec)(tan)6(2)(tan xfxtandxeefxxd)()7()(xefxedxxxfd1)(ln)8()(ln xfxlnd返回返回上页上页下页下页目录目录2021年12月15日星期三11.)ln21 (dxxxxln21xlnd解解: 原式 =xln2121)ln21 (dxCx ln21ln21例例9 求求返回返回上页上页下页下页目录目录20

6、21年12月15日星期三12.d3xxex解解: 原式 =xexd23)3d(323xexCex332例例10 求返回返回上页上页下页下页目录目录2021年12月15日星期三13例例11 求.dsec6xx解解: 原式 =xdxx222sec) 1(tanxtandxxxtand) 1tan2(tan24x5tan51x3tan32xtanC返回返回上页上页下页下页目录目录2021年12月15日星期三14.1dxex解法解法1xex1dxeeexxxd1)1 (xdxxee1)1 (dxCex)1ln(例例12 求返回返回上页上页下页下页目录目录2021年12月15日星期三15.1dxex解法

7、解法2 xex1dxeexxd1xxee1)1 (dCex)1ln()1(ln)1ln(xxxeee两法结果一样两法结果一样例例12 求返回返回上页上页下页下页目录目录2021年12月15日星期三16.1dxex解法解法3 xex1dd1xxxexee（）例例12 求 返回返回上页上页下页下页目录目录2021年12月15日星期三17.dsecxx解法解法1 例例13 求求xxsin11sin1121xxdsecxxxdcoscos2xx2sin1sindxsindxsin1ln21Cxsin1lnCxxsin1sin1ln21返回返回上页上页下页下页目录目录2021年12月15日星期三18xx

8、tansecxxdsecxxdsecxxtansec )tan(secxxxxxxxxdtansectansecsec2)tan(secdxx Cxxtansecln解法解法 2 返回返回上页上页下页下页目录目录2021年12月15日星期三19同样可证xxdcscCxxcotcscln或xxdcscCx2tanln返回返回上页上页下页下页目录目录2021年12月15日星期三20222d)(2123xax.d)(23223xaxx解解: 原式 =23)(22ax22dxx21222)(aax21)(2122ax)(d22ax 23)(2222axa)(d22ax 22ax 222axaC例例14

9、 求返回返回上页上页下页下页目录目录2021年12月15日星期三21)2cos2cos21 (241xx .dcos4xx解解:224)(coscosxx 2)22cos1(x)2cos21 (24cos141xx)4cos2cos2(212341xxxxdcos4xxxd)4cos2cos2(21234141xd23)2d(2cosxx)4(d4cos81xxx83x2sin41x4sin321C例例15 求返回返回上页上页下页下页目录目录2021年12月15日星期三22xxexex111xexexxxdd xexxd) 1(.d)1 (1xexxxx)1 (1xxxexe)1 (1xxxxxexexexe)(dxxe分析分析: 例例16 求返回返回上页上页下页下页目录目录2021年12月15日星期三23.d)1 (1xexxxx解解: 原式=xexxxxd)1 () 1(xexe)(d)111(xxxexexexxexlnxex1lnCCexxxx1lnln例例16 求返回返回上页上页下页下页目录目录2021年12月15日星期三24内容小结内容小结常用简化技巧常用简化技巧:(1) 分项积分分项积分:(2) 降低幂次降低幂次:(3) 统一函数统一函数: 利用三角公