高等数学课件：5-1 定积分的概念与性质

1、返回返回上页上页下页下页目录目录2021年12月15日星期三1第五章第五章 定积分及其应用定积分及其应用（Definite Integrals and its Application）积分学积分学不定积分不定积分定积分定积分返回返回上页上页下页下页目录目录2021年12月15日星期三2主主 要要 内内 容容第一节第一节 定积分的概念与性质定积分的概念与性质 第二节第二节 微积分基本公式微积分基本公式第三节第三节 定积分的换元法和分部积分法定积分的换元法和分部积分法 第四节第四节 反常积分反常积分第五节第五节 定积分的元素法及其应用定积分的元素法及其应用返回返回上页上页下页下页目录目录2021年

2、12月15日星期三3第一节第一节 定积分的概念与性质定积分的概念与性质 第五章第五章 （Conceptions and Properties of Definite Integrals）一、一、引引 例例二、二、 定积分的定义定积分的定义三、三、 定积分的性质定积分的性质返回返回上页上页下页下页目录目录2021年12月15日星期三4一、引一、引 例例1. 曲边梯形的面积曲边梯形的面积设曲边梯形是由连续曲线)0)()(xfxfy，轴及x以及两直线bxax,所围成 , 求其面积 A .?A( )yf x矩形面积ahhaahb梯形面积)(2bah返回返回上页上页下页下页目录目录2021年12月15日

3、星期三51xix1ixxabyo1) 大化小大化小.在区间 a , b 中任意任意插入 n 1 个分点bxxxxxann1210,1iiixx用直线ixx 将曲边梯形分成 n 个小曲边梯形;2) 常代变常代变.在第i 个窄曲边梯形上任取任取作以,1iixx为底 ,)(if为高的小矩形, 并以此小梯形面积近似代替相应窄曲边梯形面积,iA得)()(1iiiiiixxxxfA),2, 1,nii解决步骤解决步骤 :返回返回上页上页下页下页目录目录2021年12月15日星期三6niiAA1niiixf1)(4) 取极限取极限. 令, max1inix则曲边梯形面积niiAA10lim01lim()ni

4、iifx3) 近似和近似和.1xix1ixxabyoi返回返回上页上页下页下页目录目录2021年12月15日星期三7设某物体作直线运动, ,)(21TTCtvv且,0)(tv求在运动时间内物体所经过的路程 s.解决步骤解决步骤:1) 大化小大化小., ,1iiitt任取将它分成, ),2, 1(,1nittii在每个小段上物体经2) 常代变常代变.,)(代替变速以iv得iiitvs)(,1,21个分点中任意插入在nTT),2, 1(nisi), 2, 1(ni已知速度n 个小段过的路程为2. 变速直线运动的路程变速直线运动的路程返回返回上页上页下页下页目录目录2021年12月15日星期三8in

5、iitvs1)(4) 取极限取极限 .iniitvs10)(lim)max(1init上述两个问题的共性共性: 解决问题的方法步骤相同 :“大化小大化小 , 常代变常代变 , 近似和近似和 , 取极限取极限 ” 所求量极限结构式相同: 特殊乘积和式的极限特殊乘积和式的极限3) 近似和近似和.返回返回上页上页下页下页目录目录2021年12月15日星期三9abxo二、定积分定义二、定积分定义( ) , ,f xa b设函数在上有界的若对,ba任一种任一种分法分法,210bxxxxan,1iiixxx令任取任取, ,1iiixxi时只要0max1inixiniixf1)(总趋于确定的极限总趋于确定的

6、极限 I , 则称此极限极限 I 为函数)(xf在区间,ba上的定积分定积分,1xix1ixbaxxfd)(即baxxfd)(iniixf10)(lim此时称 f ( x ) 在 a , b 上可积可积 .记作返回返回上页上页下页下页目录目录2021年12月15日星期三10baxxfd)(iniixf10)(lim积分上限积分上限积分下限积分下限被积函数被积函数被积表达式被积表达式积分变量积分变量积分和积分和称为积分区间,ba定积分定积分仅仅与与被积函数被积函数及及积分区间积分区间有关有关 , 而与积分而与积分变量用什么字母表示无关变量用什么字母表示无关 , 即即baxxfd)(battfd)

7、(bauufd)(返回返回上页上页下页下页目录目录2021年12月15日星期三11定理定理1 上连续在函数,)(baxf.,)(可积在baxf定理定理2 ,)(上有界在函数baxf且只有有限个间断点且只有有限个间断点 .,)(可积在baxf可积的充分条件可积的充分条件:定理定理3 .,)(可积在baxf应当指出的是，应当指出的是，定积分的定义很重要，定积分的定义很重要， 今后学习二重、三重积分、曲今后学习二重、三重积分、曲线与曲面积分时，线与曲面积分时， 还会遇到结构上与表述上都类似的定义，还会遇到结构上与表述上都类似的定义， 它们统称为它们统称为黎曼积分黎曼积分.返回返回上页上页下页下页目录

8、目录2021年12月15日星期三12o1 xyni例例1 利用定义计算定积分.d102xx解解: 将 0,1 n 等分, 分点为niix ), 1 ,0(ni2xy nix1,nii取),2, 1(niiiiixxf2)(则32niiinixf)(12311nini31(1)(21)61n nnn)12)(11 (61nniniixxx120102limdnlim31)12)(11 (61nn返回返回上页上页下页下页目录目录2021年12月15日星期三1301xn1n2nn 1例例2. 用定积分表示下述极限用定积分表示下述极限 :nnnnnIn) 1(sin2sinsin1lim解解:10si

9、nlimnknnkI1n0dsin1xxnn2nn) 1( 0 x或或)(sinlim10nknnkIn110dsinxx返回返回上页上页下页下页目录目录2021年12月15日星期三14如何用定积分表示下述极限如何用定积分表示下述极限 nnnnnnIn) 1(sinsin2sin1lim提示提示:nknnkI1sinlim1nnnnnsin1limnnnn) 1(sin1lim0dsin1xx极限为极限为 0 !思考思考:返回返回上页上页下页下页目录目录2021年12月15日星期三15Axxfxfbad)(,0)(曲边梯形面积baxxfxfd)(,0)(曲边梯形面积的负值abyx1A2A3A4

10、A5A54321d)(AAAAAxxfba各部分各部分面积的代数和面积的代数和A定积分的几何意义定积分的几何意义:返回返回上页上页下页下页目录目录2021年12月15日星期三161oxy 12 01(1)dxxx24111 12 142yx返回返回上页上页下页下页目录目录2021年12月15日星期三17三、定积分的性质三、定积分的性质（设所列定积分都存在）（设所列定积分都存在）abbaxxfxxfd)(d)(. 10d)(aaxxfbaxd. 2xxfkxxfkbabad)(d)(. 3( k 为常数)bababaxxgxxfxxgxfd)(d)(d)()(. 4ab返回返回上页上页下页下页目

11、录目录2021年12月15日星期三18bccabaxxfxxfxxfd)(d)(d)(. 5证证: 当bca时,因)(xf在,ba上可积 ,所以在分割区间时, 可以永远取 c 为分点 , 于是,)(baiixf,)(caiixf,)(bciixfabc0令baxxfd)(caxxfd)(bcxxfd)(返回返回上页上页下页下页目录目录2021年12月15日星期三19abc,cba则有caxxfd)(baxxfd)(cbxxfd)(caxxfd)(baxxfd)(cbxxfd)(caxxfd)(bcxxfd)(当 a , b , c 的相对位置任意时, 例如返回返回上页上页下页下页目录目录202

12、1年12月15日星期三200)(1iinixf则.0d)(xxfba证证:,0)(xfbaxxfd)(0)(lim10iinixf推论推论1 若在 a , b 上, )()(xgxf则xxfbad)(xxgbad)(6. 若在 a , b 上返回返回上页上页下页下页目录目录2021年12月15日星期三21xxfbad)(xxfbad)(证证:)( xf)(xf)(xf)(ba xxfxxfxxfbababad)(d)(d)(即xxfxxfbabad)(d)(推论推论2 返回返回上页上页下页下页目录目录2021年12月15日星期三227. 设, )(min, )(max,xfmxfMbaba则)

13、(d)()(abMxxfabmba)(ba 积分估值积分估值定理定理返回返回上页上页下页下页目录目录2021年12月15日星期三23101xe dxe 证证:( )xf xe 例例4 试证:在区间0,10,1上单调递增，01( )ef xe 101 1 01 0 xe dxe 即利用积分估值定理积分估值定理，得1110001( )dxdf xexdxdbaxba101xe dxe 即返回返回上页上页下页下页目录目录2021年12月15日星期三24, ,)(baCxf若则至少存在一点, ,ba使)(d)(abfxxfba证证:,)(Mmbaxf别为上的最小值与最大值分在设则由性质性质7 可得Mx

14、xfabmbad)(1根据闭区间上连续函数介值定理,上至少存在一在,ba, ,ba点使xxfabfbad)(1)(因此定理成立.8. 积分中值定理积分中值定理返回返回上页上页下页下页目录目录2021年12月15日星期三25oxbay)(xfy .都成立或baba 可把)(d)(fabxxfba( ) , .f xa b定义为在上的平均值故它是有限个数的平均值概念的推广故它是有限个数的平均值概念的推广. 积分中值定理对abxxfbad)(因nabfabniin)(lim11)(1lim1niinfn说明说明:返回返回上页上页下页下页目录目录2021年12月15日星期三26证明：证明： 010( )dd( )af xxaf xx01 0( )d( )dd(aaaaf xxaf xxf xx10(1)