高等数学课件：7-2数量积 向量积 混和积

1、2021-12-151第二节第二节 数量积数量积 向量积向量积 混合积混合积二二 两向量的数量积两向量的数量积三三 两向量的向量积两向量的向量积四四 两向量的混合积两向量的混合积五五 小结与思考判断题小结与思考判断题一一 问题的提出问题的提出2021-12-152 设一物体在常力F作用下沿直线从点1M移动到点2M，以s表示位移，则力F所作的功为作的功为 cos|sFW (其中 为F与s的夹角) 例两向量作这样的运算, 结果是一个数量.一一 问题的提出问题的提出.的余弦的乘积及它们的夹角、它等于ba2021-12-153向量a与b的数量积为ba (其中 为a与b的夹角) 定义二二 两向量的数量积

2、两向量的数量积(Scalar Product) cos|baba 数量积也称为“点积”、“内积”.SFWSFW位移的数量积，即与是力的功前面的例子中，力所作2021-12-154cos|baba,jPrcos|bba,jPrcos|aababbabjPr| .jPr|baa1）两向量的数量积等于其中一个向量的模和另一个向量在这向量的方向上的投影的乘积.关于数量积的说明：).(|)2(22aaaaaa, 0.|cos|2aaaaa证证2021-12-155, 0ba如果, 0|a, 0|b, 0cos. ba,ba反之，如果, 0cos . 0cos|baba证证,2,2 0,0,) 3(bab

3、a时当.ba都垂直。认为零向量与任何向量看作是任意的，所以由于零向量的方向可以上述结论可叙述为0ba. ba2021-12-156（4）数量积符合下列运算规律：1）交换律：;abba 2）分配律：;)(cbcacba 若 为数： ),()()(bababa 若 、 为数： ).()()(baba 3）结合律2021-12-157例例1 1 试用向量证明三角形的余弦定理.ABCab c BCAABC中，中，设在设在要证明要证明,cABbCAaBC cos2222abbac baccABbCAaCB 则有则有记记,)()(2babaccc babbaa 2 cos222baba cos2222ab

4、bac 2021-12-158,kajaiaazyx kbjbibbzyx 设设 ba)(kajaiazyx )(kbjbibzyx ,kji , 0 ikkjji, 1| kji. 1 kkjjiizzyyxxbabababa 数量积的坐标表达式数量积的坐标表达式2021-12-159 cos|baba ,|cosbaba 222222coszyxzyxzzyyxxbbbaaabababa 两向量夹角余弦的坐标表示式 ba0 zzyyxxbababa两向量垂直的充要条件为2021-12-1510例 2 证明向量c与向量acbbca)()( 垂直. 证证cacbbca )()()()(cacb

5、cbca )(cacabc 0 cacbbca )()(2021-12-1511解解; 1100111 AMB cosAMBBAM 求求和和、已知三点已知三点例例),2 , 1 , 2()1 , 2 , 2()1 , 1 , 1( 3.,的夹角的夹角与与就是向量就是向量作向量作向量 MBMAAMBMBMA1 , 0 , 1,0 , 1 , 1 MBMA MBMA2,2 MBMA MBMAMBMA21221 3 AMB2021-12-1512 设O为一根杠杆L的支点，有一力 F作用于这杠杆上P点处 力F与PO的夹角为 ， 力 F对支点O的力矩是一向量M，它的模 |FOQM sin|FOP M的方

6、向垂直于OP与F所决定的平面, 指向符合右手系. 先研究物体转动时产生的力矩三三 两向量的向量积两向量的向量积（Vector Product)LFPQO 2021-12-1513向量a与b的向量积为 bac sin|) 1bacc的模大小：(其中 为a与b的夹角) 定义2)方向：c的方向既垂直于a，又垂直于b， 即垂直于a，b所决定的平面， 指向符合右手系. 向量积也称为“叉积”、“外积”.上面的力矩FOPMFOPM即的向量积，与等于2021-12-1514由向量积的定义可以推出：. 0)1( aa)0sin0( ba)2(/的的充充分分必必要要条条件件. 0 ba)0, 0( ba00sin

7、02aaa，所以这是因为夹角, 0 ba, 0| a, 0| b, 0sin , 0 “充分性”0sin . 0sin| baba证ba/ba/或或0 “必要性”2021-12-1515向量积符合下列运算律：（1）.abba （2）分配律：.)(cbcacba （3）若 为数 ).()()(bababa 合律：向量积还符合如下的结证明从略。标表示式，下面来推导向量积的坐2021-12-1516,kajaiaazyx kbjbibbzyx 设设 ba)(kajaiazyx )(kbjbibzyx ,kji , 0 kkjjii, jik , ikj ,kij . jki , ijk kbabaj

8、babaibabaxyyxzxxzyzzy)()()( 上式即为向量积的坐标表达式ba 2021-12-1517为了帮助记忆，向量积可用三阶行列式表示zyxzyxbbbaaakjiba ba/的的充充分分必必要要条条件件zzyyxxbababa 由上式可推出00zyxxaaba 0, 0 zyaaxb、yb、zb不能同时为零，但允许两个为零， 比如，2021-12-1518结论|ba 表表示示以以a和和b为为邻邻边边的的平平行行四四边边形形的的面面积积.abbac 例 4 在顶点为)3 , 2 , 1(A、)7 , 4 , 2(),5 , 4 , 3(CB的三角形中，求三角形ABC的面积. 4

9、 , 2 , 1 AC2 , 2 , 2 AB三角形ABC的面积为|21ABACS 141 , 3, 242122221 kji解解2021-12-1519例 3 求与kjia423 ，kjib2 都垂直的单位向量. 解解zyxzyxbbbaaakjibac 211423 kji,510kj , 55510|22 c|0ccc .5152 kj2021-12-1520例 5 设向量pnm,两两垂直，符合右手规则，且4| m，2| n，3| p，计算pnm )(. 解解),sin(|nmnmnm , 8124 0),( pnm pnm )( cos|pnm .2438 依依题题意意知知nm 与与

10、p同同向向， 2021-12-1521(1)定义 设已知三个向量 a、b、c，数量cba )( 称为这三个向量的混合积，记为cba. cbacba )(zyxzyxzyxcccbbbaaa ,kajaiaazyx ,kbjbibbzyx 设设,kcjcicczyx 混合积的坐标表达式四四 向量的混合积向量的混合积(Triple Scalar product)2021-12-1522（2）向量混合积的几何意义： 向量的混合积cbacba )(是这样的一个数，它的绝对值表示以向量a、b、c为棱的平行六面体的体积. acbba hSVAOBD OABDbaOBOASAOBD cosch .的夹角的夹

11、角与与是是bac cba cba 2021-12-1523例 7 已知空间内不在一平面上的四点),(111zyxA、),(222zyxB、),(333zyxC、),(444zyxD, 求四面体的体积. 解解由由立立体体几几何何知知，四四面面体体的的体体积积等等于于以以向向量量AB、AC、AD为为棱棱的的平平行行六六面面体体的的体体积积的的六六分分之之一一.61ADACABV ,121212zzyyxxAB 2021-12-1524,131313zzyyxxAC ,141414zzyyxxAD 14141413131312121261zzyyxxzzyyxxzzyyxxV 式中正负号的选择必须和行列式的符号一致.2021-12-1525混合积的几个结论：)2(cbacba)(（1）三向量a、b、c共面的充分必要条件是 . 0 cba利用混合积的几何意义可证明利用行列式的性质可证明acb)(bac)(2021-12-1526 已知已知2 cba， 计算计算)()()(accbba . 解解)()()(accbba )()accbbbcaba ccbcccacba