高等数学课件：5-4 广义积分

1、返回返回上页上页下页下页目录目录2021年12月15日星期三1新课引入新课引入前面讨论的定积分， 都是在有限区间有限区间上的上的有界有界函数函数这类积分属于通常意义下的积分. 的积分， 但在实际问题中， 还会遇到积分区间为无限积分区间为无限 或被积被积函数函数在积分区间上是无界无界的情况， 这就需将定积分的概念推广， 推广后的积分被称为广义积分广义积分. 常义积分积分限有限有限被积函数有界有界推广推广无穷限无穷限的广义积分无界函数无界函数的广义积分返回返回上页上页下页下页目录目录2021年12月15日星期三2第四节第四节 广广义积分义积分 第五章第五章 （Improper Integrals)

2、二、无界函数的广义积分二、无界函数的广义积分一、无穷限的广义积分一、无穷限的广义积分返回返回上页上页下页下页目录目录2021年12月15日星期三3一、一、无穷限无穷限（Infinite Intervals）的广义积分的广义积分引例引例 曲线21xy 和直线1x及 x 轴所围成的开口曲边梯形的面积 可记作12dxxA其含义可理解为 bbxxA12dlimbbx11limbb11lim1xOy121yxb返回返回上页上页下页下页目录目录2021年12月15日星期三4, ),)(aCxf,ab 取则称如下形式存在 ,为 f (x) 的无穷限广义积分广义积分, 如果极限lim( )dbabf xx这时

3、称广义积分xxfad)(收敛收敛 ;如果上述极限不存在, 就称广义积分xxfad)(发散发散 .定义定义1 设xxfad)(返回返回上页上页下页下页目录目录2021年12月15日星期三5类似地 , 若, ,()(bCxf则定义xxfxxfbaabd)(limd)(返回返回上页上页下页下页目录目录2021年12月15日星期三6, ),()(Cxf若则定义xxfd)(xxfcaad)(limxxfbcbd)(lim( c 为任意取定的常数 )只要有一个有一个极限不存在不存在 , 就称xxfd)(发散 .无穷限的广义积分也称为第一类广义积分第一类广义积分. ,并非不定型 ,说明说明: 上述定义中若出

4、现 它表明该广义积分发散 .返回返回上页上页下页下页目录目录2021年12月15日星期三7,)()(的原函数是若xfxF引入记号; )(lim)(xFFx)(lim)(xFFx则有类似牛 莱公式的计算表达式 :xxfad)()(xFa)()(aFFxxfbd)()(xFb)()(FbFxxfd)()(xF)()(FF返回返回上页上页下页下页目录目录2021年12月15日星期三8apxxd证证:当 p =1 时有 axxdaxlnapxxdappx11当 p 1 时有 1p1p,11pap当 p 1 时收敛 ; p1 时发散 .,因此, 当 p 1 时, 广义积分收敛 , 其值为;11pap当

5、p1 时, 广义积分发散 . 例例1 证明第一类 p 积分返回返回上页上页下页下页目录目录2021年12月15日星期三9.1d2 xx解解:21dxxarctanx)2(2例例2 计算广义积分返回返回上页上页下页下页目录目录2021年12月15日星期三10思考思考: ?01d2对吗xxx分析分析:)1ln(211d22xxxx原积分发散 !注意注意: 对广义积分, 只有在收敛的条件下才能使用“偶倍奇零” 的性质, 否则会出现错误 .返回返回上页上页下页下页目录目录2021年12月15日星期三11二、无界函数二、无界函数（Unbounded Functions）的广义积分的广义积分引例引例:曲线

6、xy1所围成的1x与 x 轴, y 轴和直线开口曲边梯形的面积xOy1yx1可记作10dxxA其含义可理解为 10dlimxxA12lim0 x)1 (2lim02返回返回上页上页下页下页目录目录2021年12月15日星期三12, ,()(baCxf而在点 a 的右邻域内右邻域内无界,0取如果极限 这时称广义积分xxfbad)(收敛收敛 ;如果上述极限不存在, 就称广义积分xxfbad)(发散发散 .称如下形式baxxfd)(lim0为函数 f (x) 在 a , b 上的广义积分, 定义定义2 设xxfbad)(存在 ,返回返回上页上页下页下页目录目录2021年12月15日星期三13类似地

7、, 若, ),)(baCxf而在 b 的左邻域内无界,xxfxxfbabad)(limd)(0则定义返回返回上页上页下页下页目录目录2021年12月15日星期三14,)(,)(外连续上除点在若bcacbaxf而在点 c 的无界函数的积分又称作第二类广义积分第二类广义积分, 无界点常称邻域内无界 ,xxfbad)(xxfcad)(xxfbcd)(xxfcad)(lim110 xxfbcd)(lim220为瑕点瑕点(奇点奇点) .则定义返回返回上页上页下页下页目录目录2021年12月15日星期三15若被积函数在积分区间上仅存在有限个第一类有限个第一类 例如,xxxd11112xxd) 1(11间断

8、点间断点,而不是广义积分. 则本质上是常义积分, 说明说明: 返回返回上页上页下页下页目录目录2021年12月15日星期三16,)()(的原函数是设xfxF的计算表达式 : xxfbad)()()(aFbFxxfbad)()()(aFbFxxfbad)()()(aFbF则也有类似牛 莱公式的若 b 为瑕点, 则若 a 为瑕点, 则若 a , b 都为瑕点, 则返回返回上页上页下页下页目录目录2021年12月15日星期三17, ),(bac则xxfbad)()()(cFbF)()(aFcF可相消吗可相消吗?注意注意: 若瑕点返回返回上页上页下页下页目录目录2021年12月15日星期三18提示：提

9、示：10ln d .x x例例 3 求积分0lim lnxx x=0是瑕点是瑕点返回返回上页上页下页下页目录目录2021年12月15日星期三19320d(2)xx 3012x 112 32 返回返回上页上页下页下页目录目录2021年12月15日星期三20故x=2是瑕点是瑕点320d(2)xx 232202dd(2)(2)xxxx112200dlim(2)xx223220dlim(2)xx返回返回上页上页下页下页目录目录2021年12月15日星期三21baqaxx)(d证证: 当 q = 1 时,当 q 1 时收敛 ; q1 时发散 .baaxxdbaax ln当 q1 时baqaxx)(dab

10、qqax1)(11q,1)(1qabq1q,所以当 q 1 时, 该广义积分收敛 , 其值为;1)(1qabq当 q 1 时, 该广义积分发散 .例例5 证明广义积分返回返回上页上页下页下页目录目录2021年12月15日星期三22limxxxaxa解：解：2e2lim 1xxaaxa224dxax ex222dexax22221 eaaa222221 eeaaaa01aa或或返回返回上页上页下页下页目录目录2021年12月15日星期三23相转化相转化 .例如 ,1021dxx）令txsin(20dtxxxd11104210121d122txxx102112)()d(xxxx)1(xxt令022dtt(2) 当一题同时含两类广义积分时当一题同时含两类广义积分时, 应划分积分区间应划分积分区间,分别讨论每