高等数学：2-4高阶导数

1、第四节第四节 高阶导数高阶导数高阶导数的定义高阶导数的定义问题问题: :变速直线运动的加速度变速直线运动的加速度.),(tss 设设)()( tstv 则瞬时速度为则瞬时速度为, 的变化率的变化率对时间对时间是速度是速度加速度加速度tva. )()()( tstvta. )( ) )(,)()(lim) )(, )( )( 0处的二阶导数处的二阶导数在点在点为函数为函数则称则称存在存在即即处可导处可导在点在点的导数的导数如果函数如果函数定义定义xxfxfxxfxxfxfxxfxfx 记作记作.)(,),(2222dxxfddxydyxf或或 记作记作阶导数阶导数的的阶导数的导数称为函数阶导数的

2、导数称为函数的的函数函数一般地一般地, )( )1( )( , nxfnxf .)(,),()()(nnnnnndxxfddxydyxf或或三阶导数的导数称为四阶导数三阶导数的导数称为四阶导数, 二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数.)(; )(,称称为为一一阶阶导导数数称称为为零零阶阶导导数数相相应应地地xfxf .,),(33dxydyxf 二阶导数的导数称为三阶导数二阶导数的导数称为三阶导数,.,),(44)4()4(dxydyxf).0(),0( ,arctan)( 1ffxxf 求求设设例例解解,11)(2xxf )11()(2 xxf22)1(2xx

3、 )1(2()(22 xxxf322)1()13(2xx 022)1(2)0( xxxf0322)1()13(2)0( xxxf; 0 . 2 1.1.直接法直接法 由高阶导数的定义逐步求高阶导数由高阶导数的定义逐步求高阶导数.高阶导数求法举例高阶导数求法举例( )2 ,.nyxy例设求解解1 xy)(1 xy2)1( x3)2)(1( x)1(2 xy)1()1()1()( nxnynn则则为自然数为自然数若若, n )()()(nnnxy , ! n ) ! ()1( nyn. 0 /1(ln ) (ln )(ln )yfxxfxx 解解3 (ln ),.yfxy例函数求/2/1(ln()

4、(ln )(ln )1()xfxfxyxxfxx /2(ln )(ln )fxfxx.),1ln( 4)(nyxy求求设设例例 解解,11xy ,)1(12xy ,)1(! 23xy ,)1(! 34)4(xy )1! 0, 1()1()!1()1(1)( nxnynnn.,sin 5)(nyxy求求设设例例 解解xycos )2sin( x)2cos( xy)22sin( x)22sin( x)22cos( xy)23sin( x)2sin()( nxyn).2cos()(cos)( nxxn同理可得同理可得 , )()( 二阶可导二阶可导若函数若函数 tytx )(22dxdydxddxy

5、d dxdtttdtd )()( )(1)()()()()(2tttttt .)()()()()(322tttttdxyd 即即 解解33cos . sinxatyat 例6 求由方程表示的函数的二阶导数dtdxdtdydxdy )sin(cos3cossin322ttatta ,tant )(22dxdydxddxyd )cos()tan(3 tatttatsincos3sec22 .sin3sec4tat dxdtdxdydtd )(2. 2. 高阶导数的运算法则高阶导数的运算法则则则阶导数阶导数具有具有和和设函数设函数, nvu;)()1()()()(nnnvuvu ;)()2()()(

6、nnCuCu )()(0)()()()2()1()()(!)1()1(! 2)1()()3(kknnkknnkknnnnnvuCuvvukknnnvunnvnuvuvu ( 莱布尼兹公式莱布尼兹公式 )22(20) , .xyx ey例7 设求解解则由莱布尼兹公式知则由莱布尼兹公式知设设, 22xveux )20(y22! 21920222022182192220 xxxexexe).9520(22220 xxex 2)20(2)(xex )()(202)19(2xex )()(! 2)120(202)18(2xex0222(6) (23)(54) , .yxxxy例8求解解,25 23456

7、FExDxCxBxAxxy 设设则则!. 625)6( y)()()()(2)(2xgaxxgaxxf )(af ,)()(limaxafxfax 0)( afaxxfax )(lim)()()(2limxgaxxgax ).(2ag 2 ( ) , ( )()( ), ( ) .g xf xxag xfa例9 设连续 且求解解莱布尼兹是莱布尼兹是17、18世纪之交德国最伟大的数学家、世纪之交德国最伟大的数学家、物理学家和哲学家，一个举世罕见的科学天才。物理学家和哲学家，一个举世罕见的科学天才。莱布尼兹莱布尼兹15岁时，进入莱比锡大学学习法律，还岁时，进入莱比锡大学学习法律，还广泛阅读了培根、

8、开普勒、伽利略、等人的著作，广泛阅读了培根、开普勒、伽利略、等人的著作，并对他们的著述进行深入的思考和评价。在听了教并对他们的著述进行深入的思考和评价。在听了教授讲授欧几里德的授讲授欧几里德的几何原本几何原本的课程后，莱布尼的课程后，莱布尼兹对数学产生了浓厚的兴趣。兹对数学产生了浓厚的兴趣。17岁时获得了哲学岁时获得了哲学硕士学位。硕士学位。20岁时他发表了第一篇数学论文岁时他发表了第一篇数学论文论组合的艺术论组合的艺术。这是一篇关于数理逻辑的文章，。这是一篇关于数理逻辑的文章，其基本思想是出于想把理论的真理性论证归结于一其基本思想是出于想把理论的真理性论证归结于一种计算的结果。种计算的结果。

9、生平事迹生平事迹 莱布尼兹莱布尼兹(1646-1716) 莱布尼兹在阿尔特道夫大学获得博士学位后便莱布尼兹在阿尔特道夫大学获得博士学位后便投身外交界。在出访巴黎时，莱布尼兹深受帕斯卡事投身外交界。在出访巴黎时，莱布尼兹深受帕斯卡事迹的鼓舞，决心钻研高等数学，并研究了笛卡儿、费迹的鼓舞，决心钻研高等数学，并研究了笛卡儿、费尔马、帕斯卡等人的著作。他的兴趣已明显地朝向了尔马、帕斯卡等人的著作。他的兴趣已明显地朝向了数学和自然科学，开始了对无穷小算法的研究，独立数学和自然科学，开始了对无穷小算法的研究，独立地创立了微积分的基本概念与算法，和牛顿并蒂双辉地创立了微积分的基本概念与算法，和牛顿并蒂双辉共

10、同奠定了微积分学。共同奠定了微积分学。1700年被选为巴黎科学院院年被选为巴黎科学院院士，促成建立了柏林科学院并任首任院长。士，促成建立了柏林科学院并任首任院长。始创微积分始创微积分 17世纪下半叶，欧洲科学技术迅猛发展，由于世纪下半叶，欧洲科学技术迅猛发展，由于生产力的提高和社会各方面的迫切需要，经各国科学生产力的提高和社会各方面的迫切需要，经各国科学家的努力与历史的积累，建立在函数与极限概念基础家的努力与历史的积累，建立在函数与极限概念基础上的微积分理论应运而生了。上的微积分理论应运而生了。莱布尼兹在莱布尼兹在1673-1676年间也发表了微积分年间也发表了微积分思想的论著。以前，微分和积

11、分作为两种数学运算、思想的论著。以前，微分和积分作为两种数学运算、两类数学问题，是分别加以研究的。莱布尼兹将积两类数学问题，是分别加以研究的。莱布尼兹将积分和微分真正沟通起来，明确地找到了两者内在的分和微分真正沟通起来，明确地找到了两者内在的直接联系：微分和积分是互逆的两种运算。而这是直接联系：微分和积分是互逆的两种运算。而这是微积分建立的关键所在。只有确立了这一基本关系，微积分建立的关键所在。只有确立了这一基本关系，才能在此基础上构建系统的微积分学。并从对各种才能在此基础上构建系统的微积分学。并从对各种函数的微分和求积公式中，总结出共同的算法程序，函数的微分和求积公式中，总结出共同的算法程序

12、，使微积分方法普遍化，发展成用符号表示的微积分使微积分方法普遍化，发展成用符号表示的微积分运算法则。运算法则。莱布尼兹在莱布尼兹在1684年年10月发表的月发表的教师学报教师学报上的论文，上的论文，“一种求极大极小的奇妙类型的计算一种求极大极小的奇妙类型的计算”，在数学史上被认为是最早发表的微积分文献。在数学史上被认为是最早发表的微积分文献。 莱布尼兹在莱布尼兹在数学方面的成就数学方面的成就是巨大的，他的研是巨大的，他的研究及成果渗透到高等数学的许多领域。他的一系列究及成果渗透到高等数学的许多领域。他的一系列重要数学理论的提出，为后来的数学理论奠定了基重要数学理论的提出，为后来的数学理论奠定了

13、基础。础。莱布尼兹曾讨论过负数和复数的性质，得出复莱布尼兹曾讨论过负数和复数的性质，得出复数的对数并不存在，共扼复数的和是实数的结论。数的对数并不存在，共扼复数的和是实数的结论。在后来的研究中，莱布尼兹证明了自己结论是正确在后来的研究中，莱布尼兹证明了自己结论是正确的。他还对线性方程组进行研究，对消元法从理论的。他还对线性方程组进行研究，对消元法从理论上进行了探讨，并首先引入了行列式的概念，提出上进行了探讨，并首先引入了行列式的概念，提出行列式的某些理论。此外，莱布尼兹还创立了符号行列式的某些理论。此外，莱布尼兹还创立了符号逻辑学的基本概念，发明了能够进行加、减、乘、逻辑学的基本概念，发明了能够进行加、减、乘、除及开方运算的计算机和二进制，为计算机的现代除及开方运算的计算机和二进制，为计算机的现代发展奠定了坚实的基础。发展奠定了坚实的基础。莱布尼兹的莱布尼兹的物理学成就物理学成就也是非凡的也是非凡的 莱布尼兹发明了莱布尼兹发明了乘法计算机乘法计算机，他受中国易经八卦，他受中国易经八卦的影响最早提出二进制运算法则。的影响最早提出二进制运算法则。1672年年1月，莱月，莱布尼兹