高等数学：2-2 求导法则

1、第二节第二节 求导法则求导法则一、和、差、积、商的求导法则一、和、差、积、商的求导法则二、反函数的导数二、反函数的导数三、复合函数的求导法则三、复合函数的求导法则并且并且可导可导处也处也在点在点分母不为零分母不为零它们的和、差、积、商它们的和、差、积、商则则处可导处可导在点在点如果函数如果函数定理定理, ) ( , )(),( xxxvxu);()( )()()1(xvxuxvxu );()()()( )()()2(xvxuxvxuxvxu ).0)()()()()()()()()3(2 xvxvxvxuxvxuxvxu一、和、差、积、商的求导法则一、和、差、积、商的求导法则推论推论; )(

2、)()1(11 niiniixfxf);( )()2(xfCxCf ; )()()()()()()()( )()3(1121211 ninikkkinnniixfxfxfxfxfxfxfxfxf.sin2 123的导数的导数求求例例xxxy 解解y x4 .cos x 23x )(sin)2()(23 xxx.sin 2的导数的导数求求例例xeyx 解解xexsin)( )(sin xexxexsin xexcos .lncos 3的导数的导数求求例例xxy )sin( xeyx例题例题.ln2sin 4的导数的导数求求例例xxy 解解xxxylncossin2 yxxxln)sin(sin2

3、 xxx1cossin2 .2sin1ln2cos2xxxx xxxlncoscos2 解解xxxxx2ln)(lncosln)(cos xxxxx2lncos1ln)sin( xxxxxx2lncoslnsin xxylncos.tan 5的导数的导数求求例例xy 解解)(tan xyxxxxx2cos)(cossincos)(sin xxx222cossincos x2cos1 .sec)(tan2xx 即即.csc)(cot2xx 同理可得同理可得)cossin( xxx2sec .sec 6的导数的导数求求例例xy 解解)cos1()(sec xxyxx2cos)(cos .tanse

4、cxx xx2cossin .cotcsc)(cscxxx 同理可得同理可得.)(1)(, )(, 0)( )(yxfIxfyyIyxxy 且有且有内也可导内也可导区间区间在对应在对应那末它的反函数那末它的反函数可导且可导且内单调、内单调、在某区间在某区间如果函数如果函数定理定理即反函数的导数等于直接函数导数的倒数即反函数的导数等于直接函数导数的倒数. .一、反函数的导数一、反函数的导数 arcsin.yx例7 求函数的导数解解,)2,2(sin内单调、可导内单调、可导在在 yIyx, 0cos)(sin yy且且内有内有在在)1 , 1( xI)(sin1)(arcsin yxycos1 y

5、2sin11 .112x .11)(arccos2xx 同理可得同理可得 log .ayx例8 求函数的导数 )(log xa.ln1ax 特别地特别地.1)(lnxx arctan.yx例9 求的导数.11)(arctan2xx .11)cot( 2xxarc 同样可证同样可证 ).()(, )(, )( )(,)(0000000 xufdxdyxxfyxuufyxxuxx 且其导数为且其导数为可导可导在点在点则复合函数则复合函数可导可导在点在点而而可导可导在点在点如果函数如果函数定理定理即因变量对自变量求导即因变量对自变量求导, ,等于因变量对中间变量求导等于因变量对中间变量求导, ,乘以

6、中间变量对自变量求导乘以中间变量对自变量求导. .( (链式法则链式法则).).二、复合函数的求导法则二、复合函数的求导法则 lnsin.yx例10 求函数的导数解解.sin,lnxuuy dxdududydxdy xucos1 xxsincos .cot x 推广推广 ),(),(),(则复合函数则复合函数设设xvvuufy .dxdvdvdududydxdy )(的导数为的导数为xfy 210 (1).yx例11 求函数的导数解解 dxdyxx2)1(1092 .)1(2092 xx92)1(10 x)1(2 x102,1.yuux 231 ln(2).2xyxx例12 求函数的导数解解)

7、,2ln(31)1ln(212 xxyxxy211212 )2(3112 xxx1sin .xye例13 求函数的导数解解)1(sin1sin xeyx)1(1cos1sin xxex.1cos11sin2xexx )2(31 x 解解所给函数可分解为所给函数可分解为.,cos,lnxevvuuy 故故xevudxdy )sin(1xxxeee )cos()sin().tan(xxee ,1ududy ,xedxdv ,sinvdvdu lncos().xdyyedx例14 设，求证明证明 ,)(lnlnxxeex )()(ln xex )ln(ln xex .11 xxx115 0 ().xxx例当时，证明幂函数的求导公式： 222 arcsin(0).22xaxyaxaa例 16 求 函 数的 导 数 解解)arcsin2()2(222 axaxaxy2222222222121xaaxaxxa .22xa /1( ) (arctan) ,yfux ( )(arctan ).f uyfx例17 设是可导函数,求函数的导数解解/( )