第十一章 影响线及其应用

1、1结构力学结构力学海南大学土木工程系海南大学土木工程系第十一章 影响线及其应用2 影响线的概念影响线的概念 静力法作影响线静力法作影响线 结点荷载下的影响线结点荷载下的影响线 机动法作影响线机动法作影响线 影响线的应用影响线的应用 简支梁的内力包络图简支梁的内力包络图 超静定结构影响线 连续梁的最不利荷载及内力包络图311.1 移动荷载和影响线的概念移动荷载作用下内力计算特点:结构内力随荷载的移动而变化,为此需要研究内力的变化规律、变化范围及最大值，和产生最大值的荷载位置（即荷载的最不利位置）。研究方法： 先研究单位移动荷载作用下的内力变化规律， 再根据叠加原理解决移动荷载作用下的内力计算问题

2、,以及最不利荷载的位置问题。P=1RBxY=RB1影响线的定义： 当P=1在结构上移动时，用来表示某一量值Z变化规律的图形，称为该量值Z的影响线。在Z的影响线中,横标表示的是P=1的作用位置； 竖标表示的是量值Z的值。 如在RB影响线中的竖标yD表示的是： 当P=1移动到 点时，产生的 支座反力。Z的影响线与量值Z相差一个力的量纲。所以反力、剪力、轴力 的影响线无 量纲，而弯矩影响线的量纲是长度。DByDDP=1 4 以自变量以自变量x x表示表示P=1P=1的作的作用位置，通过平衡方程，建用位置，通过平衡方程，建立反力和内力的影响线函数立反力和内力的影响线函数 并作影响线并作影响线0，a）1

3、、支座反力影响线MA=0 RB=x/l 0，lMB=0RA=（l-x）/l0，l11RB.影响线RA.影响线2、剪力影响线Cab当P=1在AC上移时取CBMCQCRBY=0QC =（L-x）/lRB=x/la/l当P=1在CB上移时取ACRAQCMCY=0QC= （a，lRAb/l+QC.影响线RAARB.B、弯矩影响线MC=MCRBb=0 0,a MC=x/lb MC=MCRAa=0 ab/lMC.影响线CBbACaMC=（lx）laa,lxP=1l11.2 静力法作单跨静定梁的影响线5a/lb/l+QC.I.Lab/lMC.I.LRB.B11RB.I.LRA.I.LCabxP=1lRAA

4、单跨静定梁的影响线特点单跨静定梁的影响线特点:反力影响线是一条直线；反力影响线是一条直线；剪力影响线是两条平行线；剪力影响线是两条平行线；弯矩影响线是两条直线组弯矩影响线是两条直线组 成的折线。成的折线。 6CabxP=1Lab/LM图(kN.m)P=1kNCabLab/LMC.I.L(m)弯矩影响线与弯矩图的比较影响线弯矩图荷载位置 截面位置横坐标竖坐标yD不变变不变变单位移动荷载位置截面位置yDDyDD单位移动荷载移到D点时,产生的C截面的弯矩C点的固定荷载作用下,产生的D截面的弯矩 7RB=x/L 0,L当P=1在AC上移动 QC=-x/L （0，a）当P=1在CB上移动 QC=（L-x

5、）/L CabxP=1LRAABRB.当P=1在EC上时： QC=-RB=-x/L （-L1，a）当P=1在CF上时： QC=RA=（L-x）/L （a，L+L2）RB=x/L （-L1，L+L2）伸臂梁的影响线由平衡条件可得: 故欲作伸臂梁的反力及支座间的截面内力影响线，可先作简支梁的影响线，然后向伸臂上延伸。+1-RB.I.La/Lb/L-+-QC.I.Lab/L+_Mc.I.LD当P=1在D以里移动时D截面内力等于零， 故伸臂上截面内力影响线在该截面以外的伸臂段上才有非零值。MD.I.L-d在D以外移动时D截面才有内力d+ 1QD.I.LL1abLL2P=1xABCRARBEF 8d 8

6、 5d 4 3d1615横梁纵梁主梁AB CE FRARB l=4dd/2 d/2DP=1 MD影响线P=1 P=1 DxP=1P=1 dxd dxdxddxddMD4385 结点荷载下影响线特点 1、在结点处，结点荷载与直接荷载的影响线竖标相同。 2、相邻结点之间影响线为一直线。 结点荷载下影响线作法 1、以虚线画出直接荷载作用下有关量值的影响线。 2、以实线连接相邻结点处的竖标，即得结点荷载作用下该量值的影响线。MD.I.LI.L.QCE1/21/4CMLI.43d11.3 结点荷载作用下梁的影响线 9横梁纵梁主梁AB CE G l=4dd/2 d/2DP=1 F H Id/2 d/2作出

7、FAy 、 FBy 、 FsD 、 MD的影响线 10绘制影响线的方法静力法:列影响线方程,作影响线.机动法:根据虚功原理,将作影响线的静力问 题转化为作位移图的几何问题。机动法的优点：不经计算快速的绘出影响线的形状。P=1xablCP=1Z(x)ZP(x)zPPzxxZxPxZ)()(0)()( 1 1 机动法作影响线的步骤： 1）撤除与Z相应的约束，代以未知力。 2）使体系沿Z的正方向发生虚位移，作出荷载作用点的竖向虚位移图，即Z的影响线轮廓。 3）再令Z=1，定出影响线竖标的值。 4）基线以上为正的影响线,基线以下为负的影响线，11.4机动法作影响线11b/la/lI.L.QC P=1C

8、QCP=1xablCP=1CP=1xablC1bab/lI.L.MC 所作虚位移图要满足支承连接条件！ 121m3m1m3m1m2m2m1mP=1HAKBECFDG1 1m1/43/49/49/29/4I.L.MK I.L.Mk(m)1/43/49/49/29/413Qk11/43/41/43/43/23/4I.L.QKMC11I.L.QKI.L.MC1m3m1m3m1m2m2m1mP=1HAKBECFDG1/43/41/43/43/23/422I.LMC(m)114121RD11.51m3m1m3m1m2m2m1mP=1HAKBECFDGI.L.QEI.L.RD I.L.QE121I.L.R

9、D1.5QE15作出FAy 、 FsB 、 FsC左、 FsC右、 MK、 MD的影响线 16l=6dACBDEFGh任一轴力影响线在相邻结点之间为直线。反力影响线与简支梁相同。11.5静力法作桁架的影响线17P=111.5静力法作桁架的影响线l=6dACBDEFGacbdefgh任一轴力影响线在相邻结点之间为直线。反力影响线与简支梁相同。11NbcRARGNbc=RA2d/h (P=1在C以右时） NCD同理：NCD=+Mc0/hP=1平行弦桁架弦杆影响线可由相应梁结点的弯矩影响线竖标除以h得到。上弦杆为压下弦杆为拉。P=14d/3/hI.L.NCDI.L.Nbc4d/34d/3/hP=1P

10、=1P=1P=1或：Nbc=MC0/h Nbc=R4d/h (P=1在C以左时）1811.5静力法作桁架的影响线l=6dACBDEFGacbdefghP=1xACBDEFG22RARGRARGP=1P=1I.L.YbC0BCbCQY1/62/3NbC平行弦桁架斜杆轴力的YbC影响线就是梁的节间剪力QBC0影响线。右下斜为正，右上斜为负。P=1在C以右时 YbC=RAP=1在B以左时 YbC=R可概括为一个式子 1911.5静力法作桁架的影响线l=6dACBDEFGacbdefghP=1xACBDEFGRARGRARGP=1P=10CDcCQNNcC111/21/3I.L.NcC1/6竖杆轴力N

11、cC影响线就是负的梁的节间剪力QCD0影响线。作桁架影响线时要注意区分是上弦承载，还是下弦承载。下承上承0bccCQN2/3I.L.NcCP=1在D以右时 NcCRAP=1在C以左时 NcCRG可概括为一个式子在CD之间为直线 2011.5静力法作桁架的影响线l=6dACBDEFGacbdefghI.L.NdD=0下承上承I.L.NdD1P=1ACBDEFGacbdefghP=1P=1P=1P=1P=1任一轴力影响线在相邻结点之间为直线。平行弦桁架 弦杆影响线可由相应梁结点的弯矩影响线竖标除以h得到。上弦杆为压下弦杆为拉。 斜杆轴力的YbC影响线就是梁的节间剪力QBC0影响线。右下斜为正，右上

12、斜为负。 竖杆轴力NcC影响线就是梁的节间剪力QCD0影响线。作桁架影响线时要注意区分是上弦承载，还是下弦承载。 静定结构某些量值的影响线，常可转换为其它量值的影响线来绘制。 21 1）求影响量b/la/lI.L.QCy1P1y2P2y3P3a）集中荷载QC=P1y1+ P2y2 + P3y3一般说来： Z= PiyiablCa blqABqdxb）均布荷载d=ydxQC=q 正的影响线取正面积ydxqBAyqdxQBACwdqBAb/la/lyx dxQCydxqBA 0yqc 0qctgxb qdtgxxbxdtgqbx0定理：当一组平行力作用在影 响线的同一直线段上时， 这组平行力产生的

13、影响等 于其合力产生的影响。I.L.QCy0c 11.6影响线的应用22例：利用影响线求图示梁K截面的弯矩。6454I.L.MK (m)MK=P1y1+ P2y2 +q11+q22 q33m =1004100550 12321630 1.518301925kN.m6m3m6m6m3m 3m3m100kN100kN 50kN/m30kN/mK30kN.m301/3 1）利用影响线求各种固定荷载作用下的影响量一般说来： Z= Piyi+qm tg 为集中力偶所在段的影响线的倾角，上升为正。23mbm/bm/bZ=m/ba+m/bc =m(ac)/b =m tgacZ的影响线集中力偶引起的Z值等于力

14、偶矩乘以力偶所在段的影响线的倾角正切。两者同向取负值。 24 2）利用影响线求荷载的最不利位置如果荷载移动到某个位置，使某量达到最大值，则此位置称为荷载最不利位置。判断荷载最不利位置的一般原则：应当把数值大、排列密的荷载放在影响线竖标较大的部位。a）单个移动集中荷载：ablPb）可按任意方式分布的移动均布荷载：I.L.Z求Z的最大值求Z的最小值c）行列荷载（间距不变的一系列移动荷载） 252m12mKP1=PP2=2P4m5/34/312/3I.L.MK(m)P1=PP2=2PMKxP1=PP2=2P10P/38P/3MK=P1y1+P2y2=P15/3+P21=11P/311P/3P1=PP

15、2=2P2P/3P1=PP2=2PP1=PP2=2PxMK的综合影响线P1=PP2=2PP1=PP2=2P满足这种条件的位于影响线顶点的集中力叫临界荷载，与此对应的行列荷载位置，称为临界位置。3）临界荷载不只一个，但也并非行列荷载中的每一个荷载都是临界荷载。1) 当行列荷载移动时,MK按折线规律变化。2) MK的极值表现为尖点值。其特点是：a）有一集中力Pcr位于影响线顶点上。b)将行列荷载自此向左或向右稍移一点, MK的值均减少。 26Z影响线P1P2P3P4P5P6R1R2R3临界荷载的判断条件3y2y1y1yD2yD3yD102030P1=P2=P3=P4=P5=90kNP2P3P4P1

16、P5q=37.8kN/m1.51.51.51.51.530m8m4m6m1.00.75132Z影响线P2P3P4P1P5q=37.8kN/m1.51.51.51.51.530mtg1=1/8tg2=0.25/4tg3=0.75/6荷载稍向右移: R1=270kN R2=90237.81=217.8kN R3=37.86=226.8kNRitgi=2701/8+217.8(0.25/4)+226.8(0.75/6)=8.20荷载稍向左移: R1=360kN R2=9037.81=127.8kN R3=37.86=226.8kNkN4552675. 01275. 081. 08 .37906. 0

17、90Z185 . 68585 . 390所以P4是个临界荷载。（中活载）0.90685 . 68585 . 3 0.8129当影响线为三角形时：PcrR左R右tg=c/atg=c/b荷载右移：cab荷载左移：bRaPRbRPaRcrcr右左右左当影响线为三角形时，临界位置的特点是：有一集中力Pcr在影响线的顶点，将Pcr计入那边那边荷载的平均集度就大。如Z到达极大值iitgR=R左tg(PcrR右)tg0=(R左 Pcr) tgR右tg0 iitgR3015m25mC70kN13050100501004m5m4m15m4m25200151307015702520013015150 252201

18、30 15m25mCMC影响线(m)9.386.257.880.753.752.25MC=1003.75+506.25+1309.38+707.88+1002.25 +50 0.752720kN.mMcmax=2720kN.m 130kN是临界荷载321）简支梁的包络图： 将移动荷载作用下简支梁中各个截面产生的最大（小）内力值用曲线连接起来，得到的图形称为简支梁的内力包络图。Px=MCmax=(l- )P/l0.25Pl0.21Pl0.09PlM包络图C12m(l- )/lMC影响线 单个集中力11.7简支梁的包络图和绝对最大弯矩3312m(l- )/lM4影响线P3P4P1P23.53.51

19、.5P1=P2=P3=P4=82kN123456789100M4max=559kN.m559M包络图（kN.m)Q包络图（kN)21215394.341.7574578弯矩包络图动力系数+M静 =据以设计的弯矩包络图 行列荷载34弯矩影响线与弯矩图的比较影响线弯矩图荷载位置 截面位置横坐标竖坐标yD不变变不变变单位移动荷载位置截面位置单位移动荷载移到D点时,产生的C截面的弯矩C点的固定荷载移作用下,产生的D截面的弯矩弯矩包络图变变截面位置在实际移动荷载作用下,D截面可能产生的最大弯矩与弯矩包络图的比较 35 2）简支梁的绝对最大弯矩：移动荷载作用下简支梁各个截面产生的最大弯矩中的最大者，称为简

20、支梁的绝对最大弯矩。它是荷载移动过程中，简支梁中可能产生的最大弯矩。绝对最大弯矩与两个未知因素有关：（1）绝对最大弯矩发生在哪个截面？（2）行列荷载位于什么位置发生绝对最大弯矩？计算依据：绝对最大弯矩必然发生在某一集中力的作用点。计算途径：任取一个集中力Pcr求行列荷载移动过程中Pcr作用 点产生的弯矩最大值Mmax计算公式，利用这个公 式求出每个集中力作用点的弯矩最大值其中 最大 的，就是绝对最大弯矩。经验表明：绝对最大弯矩常发生在，梁中央截面弯矩取得最 大值的临界荷载下面。 36P1PcrPn-1PnxRa推导Pcr弯矩最大值的算式由 MB0 crMxlaxlRAlaxlRRaxllR0)

21、2(dxdM0cr MRAxxM )(RAalx22（a）crmxaMlalRM1222（b）l/2l/2a/2 a/2Mcr=Pcr以左梁上荷载对Pcr作用点的力矩之和。说明Pcr作用点的弯矩为最大时，梁的中线正好平分Pcr与R的间距。Pcr与R的间距a可由合力矩定理确定。R在Pcr 右a为正。注意R是梁上实有荷载。安排Pcr与R的位置时，有些荷载进入或离开梁，这时应重新计算合力R的值和位置。 37例12mP3P4P1P23.53.51.5P1=P2=P3=P4=82kN先求P2作用点的最大弯矩。R=482=328kN，R作用在P2与P3中间。a=0.75mMmaxmkN.578)5 . 1

22、82582(121275. 02123282mkN.5785 . 382121275. 02123282MlalRMcr1222max再求P3作用点的最大弯矩。R=482=328kN，R作用在P2与P3中间。a=0.75mP3P4P1P23.53.51.5 38l ：当竖向单位 移动荷载在梁上移动时，表示某一指定位移kP与荷载位置 x 的关系曲线，即为kP位移的影响线。P=1xkPP=1xkPP=1xkP*位移影响线kPkP影响线kPKMlabPk=1abPKPMlxlx)( 位移KP的影响线等于固定荷载 PK=1作用于K点时引起的竖向位移图。 于是，将求位移影响线的问题，转变为求在固定荷载P

23、K=1作用下的位移图问题。PK=1作用下的位移图由位移互等定理得： KP=PKdxEIMMxkPkP)(393xl aP=1xAB例：试作图示等截面简支梁B截面的角位移影响线。解：作单位竖向移动荷载P=1作用下的MP。lxlx)( MP 在B截面施加单位力偶MB=1,并作MB图。 求影响线方程。ABM=11MB绘制影响线。EIxlxlxlllxlxEIEIdsMMBPB6)(3)()(21122lxl34l4l4l4lEIl12852EIl12882EIl12852 40P=1x Z1 Z1P=1x Z1=111P1W12=Z111 +PP1=W21=0Z1 = P1 /11机动法作法机动法作

24、法: :Z1(x) = P1(x) /111、撤去与约束力Z1相应的约束。2、使体系沿Z1的正方向发生位移， 作出荷载作用点的挠度图P1 图，即为影响线的形状。横坐 标以上图形为正，横坐标以下 图形为负。3、将P1 图除以常数11 ，便确 定了影响线的竖标。静定力的影响线对应于几何可变体系的虚位移图,因而是折线；超静定力的影响线对应于几何不变体系的虚位移图,因而是曲线。11.8 超静定力的影响线（机动法）P=1xABCDEFMC11MC.I.LABCDEFMK11MK.I.LKP=1xABCDEFABCDEFRC11RC.I.LABCDEFQC右.I.L42P=1xABCDEFMK.I.LRC

25、.I.LKMC.I.L MKmaxMCminRCmaxv跨中截面正弯矩最不利活载布置：本跨有活载,向两边每隔一跨有活载。v支座截面负弯矩及支座反力最不利荷载布置：支座相邻两跨有活载,向两边每隔一跨有活载。11.9 连续梁的最不利荷载布置及内力包络图43连续梁的内力包络图：求在恒载和活载联合作用下，各截面可能产生的最大正弯矩Mmax和最大负弯矩Mmin。求Mmax和Mmin的原则：1、必有恒载作用，且永远出现。 2、活载按最不利情况考虑。具体作法： 1、把连续梁的每一跨分为若干等分，取等分点为计算截面。 2、全梁布满恒载，绘制M恒。 3、逐个的单独一跨布满活载，绘制各M活图。 4、求出各计算截面

26、的Mmax 和Mmin。 活恒活恒kkkkkkMMMMMMminmax 5、将各截面的Mmax值用曲线联结起来，将各截面的Mmin值用曲线联结起来，这两条曲线即形成弯矩包络图或弯矩范围图。10m10m10m例：已知恒载集度q=12kN/m，活载集度p=12kN/m。作M包络图。0123456789101112120120q=12kN/m9030P=12kN/m 80110103020P=12kN/m60603030 P=12kN/m80110103020MmaxMmin00210024681012M恒M活1M活2M活31009090120100210060260 3026060045MmaxMmin00210024681012100120100210060260 30260600012345