数字信号处理第三章

1、2021-12-151DRAFT时域离散系统时域离散信号定义典型序列)(n)(nu)(nRN离散系统性质线性性时不变性)()()(nhnxny因果性稳定性输入输出描述线性常系数差分方程2021-12-152DRAFT模拟信号数字处理方法采样恢复理想情况实际情况内插函数TnTtTnTttg/)(/)(sin)(2021-12-153DRAFT3单击此处编辑母版标题样式32021-12-1532021-12-153DRAFT图1.5.3 采样信号的频谱 0 c cXa(j )P (j ) s s0Xa(j )0Xa(j ) c s（ a ）（ b ）（ c ）（ d ）2s0 s s s2s2s0

2、Xa(j )G(j )xa(t)ya(t)0G(j )/ T/ T0Xa(j )（ a ）（ b ）（ c ）（ d ）图1.5.4 采样恢复 2021-12-154DRAFT傅里叶变换时域离散信号傅里叶变换nnjjenxeX)()(时域离散信号傅里叶反变换deeXnxnjj-)(21)(nnx)(周期序列的离散傅里叶变换102)()(NnknNjenxkX傅里叶级数kjkNkXNeX)2()(2)(傅里叶变换2021-12-155DRAFTZ变换-)()(nznxzX-)(nznx收敛域常用的常用的Z变换是一个有理函数，用两个多项式之比表示：变换是一个有理函数，用两个多项式之比表示：( )(

3、 )( )P zX zQ zX(z)X(z)=0( )0( )( ) ( )P zQ zP zQ z 则的零点：使的点， 即和当阶次高于时X(z)X(z)( )0( )( )( )Q zP zQ zP z 的极点：使的点， 即和当阶次高于时2021-12-156DRAFTZ反变换围线积分法：1、写出F（z）表达式2、画图3、讨论4、总结1、围线积分法（留数法）、围线积分法（留数法）2、部分分式展开法、部分分式展开法3、幂级数展开法、幂级数展开法2021-12-157DRAFT3.1 离散傅里叶变换的定义离散傅里叶变换的定义 3.2 离散傅里叶变换的基本性质离散傅里叶变换的基本性质3.3 频率域

4、采样频率域采样3.4 DFT的应用举例的应用举例第3章 离散傅里叶变换(DFT)2021-12-158DRAFT3.1 离散傅里叶变换的定义 3.1.1 DFT的定义 设x(n)是一个长度为M的有限长序列， 则定义x(n)的N点离散傅里叶变换为 10( ) ( )( ), k=0, 1, , N-1 (3.1.1)NknNnX kDFT x nx n WX(k)的离散傅里叶逆变换为101( )( )( ), k=0, 1, , N-1 (3.1.2)NknNnx nIDFT X kX k WN2021-12-159DRAFT 式中 N称为DFT变换区间长度NM， 通常称(3.1.1)式和(3.

5、1.2)式为离散傅里叶变换对。 下面证明IDFTX(k)的唯一性。 把(3.1.1)式代入(3.1.2)式有 110011()001( )( )1( )NNmkknNNkmNNk m nNmkIDFT X kx m WWNx mWN 11,()0,01Nm n iNk m nNm n iNkWN i为整数 i为整数 NjNeW22021-12-1510DRAFT 例 3.1.1 x(n)=R4(n) ，求x(n)的4点和8点DFT ，设变换区间N=4， 则所以， 在变换区间上满足下式： IDFTX(k)=x(n), 0nN-1 由此可见， (3.1.2)式定义的离散傅里叶变换是唯一的。 233

6、44002244434( )( )1()1()4,0sin()0,1,2,3sin()4jknknnnjkj kj kj kjkjkjkjkjkX kx n Weeeeeeeeekkekk 2021-12-1511DRAFT设变换区间N=8， 则273880038( )( )sin()2,0,1,8sin()8jknknnNj kX kx n Wekekk2021-12-1512DRAFT 3.1.2 DFT和Z变换的关系 设序列x(n)的长度为N， 其Z变换和DFT分别为：1010( ) ( )( )( ) ( )( )0kN-1NnnNknNnX zZT x nx n zX kDFT x

7、nx n W比较上面二式可得关系式22( )( ),0kN-1(3.1.3)( )(),0kN-1(3.1.4)jkNz ejkNX kX zX kX e或者10)()(NnnjjenxeX2021-12-1513DRAFTX(n)的N点DFT是：X(n)的z变换在单位圆上的N点等间隔抽样；X(n)的DTFT在区间0,2上的N点等间隔抽样；2021-12-1514DRAFT图 3.1.1 X(k)与X(e j)的关系 2021-12-1515DRAFT2021-12-1516DRAFT 3.1.3 DFT的隐含周期性 前面定义的DFT变换对中， x(n)与X(k)均为有限长序列， 但由于Wkn

8、N的周期性， 使(3.1.1)式和(3.1.2)式中的X(k)隐含周期性， 且周期均为N。 对任意整数m， 总有(),kk mNNNWWk m N均为整数 所以(3.1.1)式中， X(k)满足1()010()( )( )( )Nk mN nNnNknNnX kmNx n Wx n WX k2021-12-1517DRAFT 实际上， 任何周期为N的周期序列 都可以看作长度为N的有限长序列x(n)的周期延拓序列， 而x(n)则是 的一个周期， 即xx( )()(3.1.5)( )( )( )(3.1.6)mNx nx nmNx nx nRn为了以后叙述方便， 将(3.1.5)式用如下形式表示：

9、 )7.1.3()()(Nnxnx2021-12-1518DRAFT图 3.1.2 有限长序列及其周期延拓 2021-12-1519DRAFT 式中x(n)N表示x(n)以N为周期的周期延拓序列， (n)N表示n对N求余， 即如果 n=MN+n1， 0n1N-1， M为整数， 则 (n)N=n1 例如， 55, ( )( ) ,Nx nx n 则有55(5)(5)(0)(6)(6)(1)xxxxxx所得结果附合图3.1.2所示的周期延拓规律。 2021-12-1520DRAFT 如 果 x ( n ) 的 长 度 为 N ， 且 ，则可写出 的离散傅里叶级数表示为( )( ( )Nx nx n

10、11100010( )( )( )( )11( )( )( )NNNknknknNNNNnnnNknknNNnX kx n Wx nWx n Wx nX k WX k WNN(3.1.8) (3.1.9) 式中 ( )( )( )NX kX k Rk(3.1.10)( )x n2021-12-1521DRAFT3.2 离散傅里叶变换的基本性质 3.2.1 线性性质 如果x1(n)和x2(n)是两个有限长序列， 长度分别为N1和N2。 y(n)=ax1(n)+bx2(n) 式中a、b为常数，即N=maxN1, N2， 则y(n)的N点DFT为Y(k)=DFTy(n)=aX1(k)+bX2(k),

11、 0kN-1 (3.2.1) 其中X1(k)和X2(k)分别为x1(n)和x2(n)的N点DFT。 2021-12-1522DRAFT 3.2.2 循环移位性质 1. 序列的循环移位 设x(n)为有限长序列， 长度为N， 则x(n)的循环移位定义为 y(n)=x(n+m)NRN(N) (3.2.2)( ) ( ) ()x nx nx nm( )mxn周期延拓移位取主值序列()Nx nm2021-12-1523DRAFT图 3.2.1 循环移位过程示意图 2021-12-1524DRAFT 2. 时域循环移位定理 设x(n) 是长度为M(MN)的有限长序列， y(n)为x(n)的循环移位， 即

12、y(n)=x(n+m)NRN(n) 则 Y(k)=DFTy(n)=WN-kmX(k) (3.2.3) 其中X(k)=DFTx(n), 0kN-1。 2021-12-1525DRAFT 证明： 1010( ) ( )()( )()NknNNNnNknNNnY kDFT y nx nmRn Wx nmW令n+m=n， 则有1()1( )( )( )Nmk nmNNnmNmknknNNNnmY kx nWWx nW 2021-12-1526DRAFT 由于上式中求和项x(n)NWNkn以N为周期， 所以对其在任一周期上的求和结果相同。 将上式的求和区间改在主值区则得1010( )( )( )( )N

13、kmknNNNnNkmknNNnkmNY kWx nWWx n WWX k 3. 频域循环移位定理如果 X(k)=DFTx(n), 0kN-1 Y(k)=X(k+l)NRN(k)则 y(n)=IDFTY(k)N=WNnlx(n) (3.2.4)2021-12-1527DRAFT 3.2.3 循环卷积定理 有限长序列x1(n)和x2(n)， 长度分别为N1和N2， N=max N1, N2 。 x1(n)和x2(n)的N点DFT分别为： X1(k)=DFTx1(n) X2(k)=DFTx2(n) 如果 X(k)=X1(k)X2(k) 则1120( )( )( )()( )NNNmx nIDFT

14、X kx m xnmRn(3.2.5) 1210( )( )( )()( )NNNmx nIDFT X kx m xnmRn2021-12-1528DRAFT3 已知长度为N=10的两个有限长序列：9 504 01)(1nnnx9 5 14 0 1)(2nnnx做矩阵法求xy(n)=x1(n) * x2(n)， 循环卷积区间长度L=10。 2021-12-1529DRAFT3.3 频率域采样 设任意序列x(n)的Z变换为( )( )nnX zx n z 且X(z)收敛域包含单位圆(即x(n)存在傅里叶变换)。 在单位圆上对X(z)等间隔采样N点得到22( )( )( ),0kN-1(3.3.1

15、)jkNjknNz enX kX zx n exN(n)=IDFTX(k)， 0nN-12021-12-1530DRAFT 由DFT与DFS的关系可知， X(k)是xN(n)以N为周期的周期延拓序列 (n)的离散傅里叶级数系数 的值序列， 即x( )X k1010)(1)(1)()()()()()()()()(NkknNNkknNNNNWkXNWkXNkXIDFSnxnxkRkXkXnxDFSkXkX2021-12-1531DRAFT 将式(3.3.1)代入上式得101()01( )( )1( )NkmknNNkmNk m nNmkx nx m WWNx mWN 式中 11,()001Nm n

16、 rN rk m nNkWN 为整数 其它m 2021-12-1532DRAFT 如果序列x(n)的长度为M， 则只有当频域采样点数NM时， 才有 xN(n)=IDFTX(k)=x(n) 即可由频域采样X(k)恢复原序列x(n)， 否则产生时域混叠现象。 这就是所谓的频域采样定理。 10( )()( )( )( )()( )NkNNNrx nx nrNxnx n Rnx nrN Rn(3.3.2) (3.3.3)2021-12-1533DRAFT 下面推导用频域采样X(k)表示X(z)的内插公式和内插函数。 设序列x(n)长度为M， 在频域02之间等间隔采样N点， NM， 则有 21010(

17、)( )( )( ),0,1,2,11( )IDFT( )( )jkNNnnz eNknNkX zx n zX kX zkNx nX kX k WN式中 2021-12-1534DRAFT 将上式代入X(z)的表示式中得110011001101( )( )1( )11( )1NNknnNnkNNknnNknkNNNNkkNX zX k WzNX kWzNWzX kNWz2021-12-1535DRAFT 上式中WN-kN =1， 因此 11011011( )( )111( )1( )( )( )NNkkNNkkNNkkzX zX kNWzzzNWzX zX kz(3.3.4) (3.3.5)

18、(3.3.6) 令：则：2021-12-1536DRAFT 式(3.3.6)称为用X(k)表示X(z)的内插公式， k(z)称为内插函数。 当z=ej时， (3.3.5)式和(3.3.6)式就成为x(n)的傅里叶变换X(ej)的内插函数和内插公式， 即(2/)1011( )1()( )( )j Nkjk NNjkkeNeX eX k 进一步化简可得 101()22()( ) ()1 sin(/2)( )sin(/2)NjkNjX eX kkNNeN (3.3.7) (3.3.8)2021-12-1537DRAFT3.4 DFT的应用举例 DFT及其快速算法FFT的出现， 使DFT在数字通信、

19、语言信号处理、 图像处理、 功率谱估计、 仿真、 系统分析、 雷达理论、 光学、 医学、 地震以及数值分析等各个领域都得到广泛应用。 2021-12-1538DRAFT 3.4.1 用DFT计算线性卷积 如果112120( )( )( )( )()( )LLLmy nx n L x nx m xnmR n 1122( )( )( )( )X kDFT x nXkDFT x n0 k L - 1 , LmaxN,M则由时域循环卷积定理有 Y(k)=DFTy(n)=X1(k)X2(k), 0kL-12021-12-1539DRAFT 由此可见， 循环卷积既可在时域直接计算， 也可以按照图3.4.1

20、所示的计算框图， 在频域计算。 由于DFT有快速算法FFT，当N很大时，在频域计算的速度快得多， 因而常用DFT(FFT)计算循环卷积。 图 3.4.1 用DFT计算循环卷积 2021-12-1540DRAFT 在实际应用中， 为了分析时域离散线性非移变系统或者对序列进行滤波处理等， 需要计算两个序列的线性卷积， 与计算循环卷积一样， 为了提高运算速度， 也希望用DFT(FFT)计算线性卷积。 而DFT只能直接用来计算循环卷积， 为此需导出线卷积和循环卷积之间的关系以及循环卷积与线性卷积相等的条件。 假设h(n)和x(n)都是有很长序列， 长度分别是N和M。 它们的线性卷积和循环卷积分别表示如

21、下： 1010( )( )( )( ) ()( )( )( )( ) ()( )NlmLcLLmy nh nx nh m x nmy nh n L x nh m x nmR n (3.4.1) (3.4.2) 2021-12-1541DRAFT 其中， LmaxN, M 1010( )( )()( )( ) ()( )NcLmqNLqmy nh mx nmqL R nh m x nmqL R n ( )(),Lqx nx nqL对照式(3.4.1)可以看出， 上式中 10( ) ()()( )()( )NlmclLqh m x nqLmy nqLy ny nqL R n(3.4.3) 2021

22、-12-1542DRAFT图 3.4.2 线性卷积与循环卷积 0123451234h(n) x(n)nL 60123451234nL 867h(n) x(n)0123451234nL 1067h(n) x(n)（ d ）（ e ）( f )0123451234nN M1 867h(n) x(n)*nM 5012341x(n)nN 401231h(n)（ a ）（ b ）（ c ）89* * 189 102021-12-1543DRAFT如果两个序列长度相差很大，如MN，则需对短序列补很多零点，且长序列必须全部输入后才能用FFT算法进行计算。因此存储量大，运算时间长，不能实时处理。可将长序列分段

23、计算，包括重叠相加法和重叠保留法两种计算方法。2021-12-1544DRAFT 设序列h(n)长度为N， x(n)为无限长序列。 将x(n)均匀分段， 每段长度取M， 则0( )( )( )( )()kikMx nx nx nx nRnkM于是， h(n)与x(n)的线性卷积可表示为000( )( )( )( )( )( )( )( )kkkkkkky nh nx nh nx nh nx ny n(3.4.4) 2021-12-1545DRAFT图 3.4.3 重叠相加法卷积示意图 Matlab函数：fftfilt2021-12-1546DRAFT3.4.2 用DFT对信号进行谱分析2021

24、-12-1547DRAFT2021-12-1548DRAFT 3.4.2 用DFT对信号进行谱分析 所谓信号的谱分析就是计算信号的傅里叶变换。 连续信号与系统的傅里叶分析显然不便于直接用计算机进行计算， 使其应用受到限制， 而DFT是一种时域和频域均离散化的变换， 适合数值运算， 成为分析离散信号和系统的有力工具。对连续信号和系统，可通过时域采样，用DFT进行近似谱分析。 1. 用DFT对连续信号进行谱分析 工程实际中， 经常遇到的连续信号xa(t)， 其频谱函数Xa(j)也是连续函数。 2021-12-1549DRAFT信号最高频率-采样点数-样间隔（频率分辨率）频率采-信号记录（截取）长度

25、-时域采样频率-时域采样间隔-cPsfNFTfTFfTTNNTTNFfFTTfffsppspscs1122021-12-1550DRAFT 设连续信号xa(t)持续时间为Tp， 最高频率为fc， 如图3.4.6所示。 对xa(t)以采样间隔T1/(2fc)(即fs=1/T2fc)采样得 x(n) = xa(nT)。由（2.4.3）式知道，x(n)的FT X(ejw)与xa(t)的FT Xa(j)满足如下关系：12()()12()()2()()jamjTamaamX eXjmTTTX eXjmTTTXjXjmT 定义（3.4.6）2021-12-1551DRAFT上式代表模拟信号频谱Xa(j)的

26、周期延拓。由x(n)的N点DFT的定义有：2( ) ( )()jNkNX kDFT x nX e将上式代入（3.4.6）得：21212( )()()()jkNaapX kX eXkXkTNTTT写成数字频率f的习惯形式则有：2111( )( )( )(),0,1,1afakafNTX kXXfXkFkNTTT上式中，F表示对模拟信号频谱的采样间隔，称之为频率分辨率。显然有：2021-12-1552DRAFT11spFFTNTN()aXkF而 则表示模拟信号频谱的周期延拓在第一个周期 0, Fs的N点等间隔周期采样。所以：()( )*DFT ( ),0,1,1aXkFTX kTx nkN()aX

27、kF和x(n)如图3.4.6(c)所示。如果xa(t)的持续时间为无限长，上述分析则要对信号进行截短，产生所谓的截断效应，从而使频谱分析产生误差。（3.4.11)2021-12-1553DRAFT图3.4.6 用DFT分析连续信号频谱原理图2021-12-1554DRAFT 下面举例说明截断效应： 设一理想低通滤波器的单位冲击响应ha(t)及其频响函数Ha(jf) 如图3.4.7(a)、 (b)所示。 图中sin()( )ath tt2021-12-1555DRAFT图 3.4.6 用DFT计算理想低通滤波器频响曲线 2021-12-1556DRAFT 现在用DFT来分析ha(t)的频率响应特

28、性。 由于ha(t)的持续时间为无穷长， 所以要截取一段Tp， 假设Tp=8 s， 采样间隔T=0.25 s(即采样速度fs=4 Hz)， 采样点数N=Tp/T=32。 此时频域采样间隔F=1/NT=0.125 Hz。 则 H(kF)=TDFTh(n), 0k31 其中 h(n)=ha(nT)R32(n) 在已知信号的最高频率fc(即谱分析范围时)， 为了避免在DFT运算中发生频率混叠现象， 要求采样速率fs满足下式 fs2fc (3.4.13)2021-12-1557DRAFT 按照(3.4.5)式， 谱分辨率F=fs/N， 如果保持采样点数N不变， 要提高谱的分辨率(F减小)， 必须降低采

29、样频率， 采样频率的降低会引起谱分析范围变窄和频谱混叠失真。 如维持fs不变， 为提高分辨率可以增加采样点数N， 因为NT=Tp，T=f-1s， 只有增加对信号的观察时间Tp， 才能增加N。 Tp和N可以按照下式进行选择:21cpfNFTF(3.4.14) (3.4.15)2021-12-1558DRAFT 例 3.4.1 对实信号进行谱分析， 要求谱分辨率F10 Hz，信号最高频率fc=2.5 kHz， 试确定最小记录时间TPmin， 最大的采样间隔Tmax， 最少的采样点数Nmin。 如果fc不变， 要求谱分辨率增加一倍， 最少的采样点数和最小的记录时间是多少? 解： 因此TPmin=0.

30、1 s， 因为要求fs2fc， 所以 110.110PTsF3maxmin110.2 1022250022250050010ccTsffNF2021-12-1559DRAFT为使频率分辨率提高一倍， F=5 Hz， 要求minmin225001000510.25pNTs2021-12-1560DRAFT18 用微处理机对实数序列作谱分析， 要求谱分辨率F50 Hz， 信号最高频率为 1 kHz， 试确定以下各参数： (1) 最小记录时间Tp min； (2) 最大取样间隔Tmax； (3) 最少采样点数Nmin； (4) 在频带宽度不变的情况下， 使频率分辨率提高1倍（即F缩小一半）的N值。

31、2021-12-1561DRAFT解解: （1） 已知F=50 Hz， 因而s02. 05011minpFT（2）ms5 . 010212113maxminsmaxffT（3）pminmin3max0.02s400.5 10TNT2021-12-1562DRAFT（4） 频带宽度不变就意味着采样间隔T不变， 应该使记录时间扩大1倍， 即为0.04 s， 实现频率分辨率提高1倍（F变为原来的1/2）。80ms0.5s04. 0minN2021-12-1563DRAFT19 已知调幅信号的载波频率fc=1 kHz， 调制信号频率fm=100 Hz， 用FFT对其进行谱分析， 试求： (1) 最小记

32、录时间Tp min; (2) 最低采样频率fs min; (3) 最少采样点数Nmin。2021-12-1564DRAFT解解： 调制信号为单一频率正弦波时， 已调AM信号为x(t)=cos(2fct+c)1+cos(2fmt+m)所以， 已调AM信号x(t) 只有3个频率： fc、 fc+fm、 fcfm。 x(t)的最高频率fmax=1.1 kHz， 频率分辨率F100 Hz（对本题所给单频AM调制信号应满足100/F=整数， 以便能采样到这三个频率成分）。 故ms10s01. 010011minpFT(1)(2)sminmax22.2 kHzFf2021-12-1565DRAFT(3)2

33、2102 . 2101033minpmaxpminfTTTN2021-12-1566DRAFT 2. 用DFT对序列进行谱分析 我们已知道单位圆上的Z变换就是序列傅里叶变换， 即()( )jjz eX eX z2021-12-1567DRAFT 对周期为N的周期序列 ， 由(2.3.10)式知道， 其频谱函数为 用DFT的隐含周期性知道， 截取 的主值序列x(n)= (n)RN(n)， 并进行N点DFT得到( )x n21022() ( )( ) ()( ) ( )( )jkNjknNnX eFT x nX kkNNX kDFS x nx n e 其中 ( )x n( )x n( ) ( )

34、( )( )( )( )NNX kDFT x nDFT x n RnX k Rk2021-12-1568DRAFT 如果截取长度M等于 的整数个周期， 即M=mN， m为正整数， 则 ( )x n2102(1)0( )( )( )( )( )( )( )0,1,1MMMknMMMnm NknmNnxnx n RnXkDFT xnx n ex n ekmN令n=n+rN, r=0, 1, , m-1, n=0, 1, , N-1,则2021-12-1569DRAFT2 ()110221100210210( )()( )()()nrN kmNjmNMrnnmNjkjrkmNmrnmjrkmrmjrkmrXkx nrN ex n eekXemkXem 210,0,mjkrmrme因为 k/m=整数k/m整数 2021-12-1570DRAFT 如果 的周期预先不知道， 可先截取M进行DFT， 即(),( )0,MkmXXkmk/m=整数k/m整数 ( )( )( )( )( ),01MMMMxnx nRnXkDFT xnkM再将截取长度扩大一倍， 截取2222( )( )( )( )( ),021MMMMxnx nRnXkDFT xnkM如果二者的差别满足分析误差要求，就近似表示 的谱x( )x n