椭球面元素归算至高斯平面

1、 本章介绍从椭球面上大地坐标系到平面上本章介绍从椭球面上大地坐标系到平面上直角坐标系的正形投影过程。研究如何将大地直角坐标系的正形投影过程。研究如何将大地坐标、大地线长度和方向以及大地方位角等向坐标、大地线长度和方向以及大地方位角等向平面转化的问题。重点讲述高斯投影的原理和平面转化的问题。重点讲述高斯投影的原理和方法，解决由球面到平面的换算问题，解决相方法，解决由球面到平面的换算问题，解决相邻带的坐标坐标换算。讨论在工程应用中，工邻带的坐标坐标换算。讨论在工程应用中，工程测量投影面与投影带选择。程测量投影面与投影带选择。 知识点及学习要求知识点及学习要求 1高斯投影的基本概念；高斯投影的基本概

2、念；2正形投影的一般条件；正形投影的一般条件；3高斯平面直角坐标与大地坐标的相互转换高斯平面直角坐标与大地坐标的相互转换 高斯投影的正算与反算高斯投影的正算与反算4椭球面上观测成果归化到高斯平面上的计算；椭球面上观测成果归化到高斯平面上的计算；5高斯投影的邻带换算；高斯投影的邻带换算；6工程测量投影面与投影带的选择。工程测量投影面与投影带的选择。难点难点在对本章的学习中，首先要理解和掌握高斯投影的在对本章的学习中，首先要理解和掌握高斯投影的概念。高斯正算和反算计算；方向改化和距离改化计算；概念。高斯正算和反算计算；方向改化和距离改化计算；高斯投影带的换算与应用；工程测量中投影面与投影带的高斯投

3、影带的换算与应用；工程测量中投影面与投影带的选择。选择。8.1 地图投影概述地图投影概述1.投影与变形投影与变形 所谓所谓地图投影地图投影，简略说来就是将椭球面各元素（包括坐标、，简略说来就是将椭球面各元素（包括坐标、方向和长度）按一定的数学法则投影到平面上。研究这个方向和长度）按一定的数学法则投影到平面上。研究这个问题的专门学科叫问题的专门学科叫地图投影学地图投影学。 ),(),(21BLFyBLFx椭球面是一个凸起的、不可展平的曲面，若将这个曲面上椭球面是一个凸起的、不可展平的曲面，若将这个曲面上的元素（比如一段距离、一个角度、一个图形）投影到平的元素（比如一段距离、一个角度、一个图形）投

4、影到平面上，就会和原来的距离、角度、图形呈现差异，这一差面上，就会和原来的距离、角度、图形呈现差异，这一差异称作异称作投影的变形投影的变形 投影面上的边长与原面上的相应长度之比，称为投影面上的边长与原面上的相应长度之比，称为长度比长度比。 EAAEABBAm长度比长度比: 1、地图投影的概念、地图投影的概念 在数学中，投影（在数学中，投影（Project）的含义是指建立两个点集）的含义是指建立两个点集间一一对应的映射关系。同样，在地图学中，地图投影就间一一对应的映射关系。同样，在地图学中，地图投影就是指建立地球表面上的点与投影平面上点之间的一一对应是指建立地球表面上的点与投影平面上点之间的一一

5、对应关系。关系。地图投影的基本问题地图投影的基本问题就是利用一定的数学法则把地就是利用一定的数学法则把地球表面上的经纬线网表示到平面上。由于地球椭球体表面球表面上的经纬线网表示到平面上。由于地球椭球体表面是曲面，而地图通常是要绘制在平面图纸上，因此制图时是曲面，而地图通常是要绘制在平面图纸上，因此制图时首先要把曲面展为平面，然而球面是个不可展的曲面，即首先要把曲面展为平面，然而球面是个不可展的曲面，即把它直接展为平面时，不可能不发生破裂或褶皱。若用这把它直接展为平面时，不可能不发生破裂或褶皱。若用这种具有破裂或褶皱的平面绘制地图，显然是不实际的，所种具有破裂或褶皱的平面绘制地图，显然是不实际的

6、，所以必须采用特殊的方法将曲面展开，使其成为没有破裂或以必须采用特殊的方法将曲面展开，使其成为没有破裂或褶皱的平面。褶皱的平面。有关投影的基本知识（了解）有关投影的基本知识（了解） 2、地图投影的变形、地图投影的变形 1）长度变形）长度变形 2）面积变形）面积变形 3）角度变形）角度变形 墨卡托投影为墨卡托投影为正轴等角切圆柱投正轴等角切圆柱投影影，是由墨卡托于，是由墨卡托于1569年专门为年专门为航海目的设计的。航海目的设计的。其设计思想其设计思想是是令一个与地轴方向一致的圆柱切令一个与地轴方向一致的圆柱切于或割于地球，将球面上的经纬于或割于地球，将球面上的经纬网按等角条件投影于圆柱表面上，

7、网按等角条件投影于圆柱表面上，然后将圆柱面沿一条母线剪开展然后将圆柱面沿一条母线剪开展成平面，即得墨卡托投影成平面，即得墨卡托投影 。该投影的经纬线是互为垂直的平该投影的经纬线是互为垂直的平行直线，经线间隔相等，纬线间行直线，经线间隔相等，纬线间隔由由赤道向两极逐渐扩大。图隔由由赤道向两极逐渐扩大。图上任取一点，由该点向各方向长上任取一点，由该点向各方向长度比皆相等，即角度变形为零。度比皆相等，即角度变形为零。在正轴等角切圆柱投影中，赤道在正轴等角切圆柱投影中，赤道为没有变形的线，随纬度增高面为没有变形的线，随纬度增高面积变形增大。积变形增大。 UTM投影投影全称为全称为“通用横轴墨卡托投影通

8、用横轴墨卡托投影” （Universal Transverse Mercator Projection ），是一种，是一种“等角横轴割圆柱投影等角横轴割圆柱投影”，椭圆柱割，椭圆柱割地球于南纬地球于南纬80度、北纬度、北纬84度两条等高圈，投影后两条相割的经线上没有度两条等高圈，投影后两条相割的经线上没有变形，而中央经线上长度比变形，而中央经线上长度比0.9996。UTM投影是为了全球战争需要创建投影是为了全球战争需要创建的，美国于的，美国于1948年完成这种通用投影系统的计算。年完成这种通用投影系统的计算。UTM投影分带方法与投影分带方法与高斯高斯-克吕格投影相似，是自西经克吕格投影相似，是

9、自西经180起每隔经差起每隔经差6度自西向东分带，将度自西向东分带，将地球划分为地球划分为60个投影带。个投影带。 NS（1）UTM是对高斯投影的改进，改进的目的是为了减少投影变形。是对高斯投影的改进，改进的目的是为了减少投影变形。（2）UTM投影的投影变形比高斯的要小，最大在投影的投影变形比高斯的要小，最大在0.001。但其投影变形。但其投影变形规律比高斯要复杂一点，因为它用的是割圆柱，所以，它的规律比高斯要复杂一点，因为它用的是割圆柱，所以，它的m1的地方的地方是在割线上，实际上是一个圆，处在正负是在割线上，实际上是一个圆，处在正负140的位置，距离中央经线大的位置，距离中央经线大约约18

10、0km。（3）UTM投影在中央经线上，投影变形系数投影在中央经线上，投影变形系数m0.9996，而高斯投影的，而高斯投影的中央经线投影的变形系数中央经线投影的变形系数m1。（4）UTM为了减少投影变形也采用分带，它采用为了减少投影变形也采用分带，它采用6分带。但起始的分带。但起始的1带带是（是（e174e180），所以，），所以，UTM的的6分带的带号比高斯的大分带的带号比高斯的大30。（5）很重要的一点，）很重要的一点， 高斯投影与高斯投影与UTM投影可近似计算。计算公式是：投影可近似计算。计算公式是：XUTM=0.9996 * X高斯高斯YUTM=0.9996 * Y高斯高斯这个公式的误差

11、在这个公式的误差在1米范围内，完全可以接受。米范围内，完全可以接受。UTM与高斯投影的异同：与高斯投影的异同： 设有一个圆锥，其轴与地轴一致，套在地球椭球体上，然后将设有一个圆锥，其轴与地轴一致，套在地球椭球体上，然后将椭球体面的经纬线网按照等角的条件投影到圆锥面上，再把圆椭球体面的经纬线网按照等角的条件投影到圆锥面上，再把圆锥面沿母线切开展平，即得到正轴等角圆锥投影的经纬网图形。锥面沿母线切开展平，即得到正轴等角圆锥投影的经纬网图形。其中纬线投影成为同心圆弧，经线投影成为向一点收敛的直线其中纬线投影成为同心圆弧，经线投影成为向一点收敛的直线束。当圆锥面与椭球体上的一条纬圈相切时，称切圆锥投影

12、，束。当圆锥面与椭球体上的一条纬圈相切时，称切圆锥投影，见图（见图（a）；当圆锥面相割于椭球面两条纬圈时，称割圆锥投）；当圆锥面相割于椭球面两条纬圈时，称割圆锥投影，见图（影，见图（b）。）。（a）（b） 相切或相割纬圈称为标准纬圈，显然，标准纬圈在圆锥展开后不相切或相割纬圈称为标准纬圈，显然，标准纬圈在圆锥展开后不变。两条纬线间的经线长度处处相等。投影的不同变形性质，只是反变。两条纬线间的经线长度处处相等。投影的不同变形性质，只是反映在纬线间隔的变化上。也就是说，圆锥投影的各种变形都是纬度映在纬线间隔的变化上。也就是说，圆锥投影的各种变形都是纬度的的函数，而与经度的的函数，而与经度无关。对某

13、一个具体的变形性质而言，在同一无关。对某一个具体的变形性质而言，在同一条纬线上，其变形值相等。在同一条经线上，标准纬线外侧为正变形，条纬线上，其变形值相等。在同一条经线上，标准纬线外侧为正变形，两条标准纬线之间为负变形。因此两条标准纬线之间为负变形。因此切圆锥投影只有正变形，割圆锥投切圆锥投影只有正变形，割圆锥投影既有正变形又有负变形。影既有正变形又有负变形。由于圆锥投影具有上述的变形分布规律，因此该投影适于编制处由于圆锥投影具有上述的变形分布规律，因此该投影适于编制处于中纬地区沿纬线方向东西延伸地域的地图。由于地球上广大陆地均于中纬地区沿纬线方向东西延伸地域的地图。由于地球上广大陆地均位于中

14、纬地区，同时圆锥投影的经纬网又比较简单，该投影得到了广位于中纬地区，同时圆锥投影的经纬网又比较简单，该投影得到了广泛应用。尤其是正轴割圆锥投影，使用非常普遍。泛应用。尤其是正轴割圆锥投影，使用非常普遍。 我国新编我国新编1:100万地形图，使用的便是边纬与中纬变形绝对值相万地形图，使用的便是边纬与中纬变形绝对值相等的等角割圆锥投影。等角割圆锥投影还广泛应用于我国编制出版的等的等角割圆锥投影。等角割圆锥投影还广泛应用于我国编制出版的全国全国1:400万、万、1:600万挂图，以及全国性的普通地图和专题地图等。万挂图，以及全国性的普通地图和专题地图等。 1）按变形性质分类）按变形性质分类 （1）等

15、角投影）等角投影 又称为正形投影。投影面上某点的任意两方向线夹角与椭球面上相应又称为正形投影。投影面上某点的任意两方向线夹角与椭球面上相应两线段夹角相等，即角度变形为零。等角投影在一点上任意方向的长度比两线段夹角相等，即角度变形为零。等角投影在一点上任意方向的长度比都相等，但在不同地点长度比是不同的。都相等，但在不同地点长度比是不同的。（2）等积投影）等积投影 在投影平面上任意一块面积与椭球面上相应的面积相等，即面积变形在投影平面上任意一块面积与椭球面上相应的面积相等，即面积变形等于零。等于零。（3）等距投影）等距投影 定义为沿某一特定方向的距离，投影前后保持不变，即沿着该特定方定义为沿某一特

16、定方向的距离，投影前后保持不变，即沿着该特定方向长度比为向长度比为1。在这种投影图上并不是不存在长度变形，它只是在特定方。在这种投影图上并不是不存在长度变形，它只是在特定方向上没有长度变形。向上没有长度变形。 2）按投影面的形状分类）按投影面的形状分类 （1）方位投影：以平面作为投影面，使平面与球面相切或）方位投影：以平面作为投影面，使平面与球面相切或相割，将球面上的经纬线投影到平面上而成。相割，将球面上的经纬线投影到平面上而成。 （2）圆柱投影：以圆柱面作为投影面，使圆柱面与球面相）圆柱投影：以圆柱面作为投影面，使圆柱面与球面相切或相割，将球面上的经纬线投影到圆柱面上，然后将圆柱切或相割，将

17、球面上的经纬线投影到圆柱面上，然后将圆柱面展为平面而成。面展为平面而成。 （3）圆锥投影：以圆锥面作为投影面，使圆锥面与球面相）圆锥投影：以圆锥面作为投影面，使圆锥面与球面相切或相割，将球面上的经纬线投影到圆锥面上，然后将圆锥切或相割，将球面上的经纬线投影到圆锥面上，然后将圆锥面展为平面而成。面展为平面而成。 3、中国各种地图投影：、中国各种地图投影：1）中国全国地图投影：斜轴等面积方位投影、斜轴等角方）中国全国地图投影：斜轴等面积方位投影、斜轴等角方位投影、伪方位投影、正轴等面积割圆锥投影、正轴等角割位投影、伪方位投影、正轴等面积割圆锥投影、正轴等角割圆锥投影。圆锥投影。 2）中国分省（区）

18、地图的投影：正轴等角割圆锥投影、正）中国分省（区）地图的投影：正轴等角割圆锥投影、正轴等面积割圆锥投影、正轴等角圆柱投影、高斯轴等面积割圆锥投影、正轴等角圆柱投影、高斯-克吕格投克吕格投影（宽带）。影（宽带）。 3）中国大比例尺地图的投影：多面体投影（北洋军阀时）中国大比例尺地图的投影：多面体投影（北洋军阀时期）、等角割圆锥投影（兰勃特投影）（解放前）、高斯期）、等角割圆锥投影（兰勃特投影）（解放前）、高斯-克吕格投影（解放以后）。克吕格投影（解放以后）。 从世界范围看，各国大中比例尺地形图所使用从世界范围看，各国大中比例尺地形图所使用的投影很不统一，据不完全统计有十几种之多，最的投影很不统一

19、，据不完全统计有十几种之多，最常用的有常用的有横轴等角椭圆柱投影横轴等角椭圆柱投影等。中华人民共和国等。中华人民共和国成立后，我国大中比例尺地形图一律规定采用以克成立后，我国大中比例尺地形图一律规定采用以克拉索夫斯基椭球体元素计算的高斯拉索夫斯基椭球体元素计算的高斯-克吕格投影。克吕格投影。我我国新编国新编1:100万地形图，采用的则是边纬与中纬变万地形图，采用的则是边纬与中纬变形绝对值相等的正轴等角圆锥投影。形绝对值相等的正轴等角圆锥投影。4、常用的几种地图投影、常用的几种地图投影1、控制测量对地图投影的要求、控制测量对地图投影的要求 1）等角投影（又称正形投影）等角投影（又称正形投影） 2

20、）长度和面积变形不大，并能用简单公式计算由变形而引起）长度和面积变形不大，并能用简单公式计算由变形而引起的改正数。的改正数。 3）能很方便地按分带进行，并能按高精度的、简单的、同样）能很方便地按分带进行，并能按高精度的、简单的、同样的计算公式和用表把各带联成整体的计算公式和用表把各带联成整体 。8.2 高斯投影概述高斯投影概述（重点）（重点）高斯投影是等角横切椭圆柱投影。高斯投影是等角横切椭圆柱投影。高斯投影是一种高斯投影是一种等角投影等角投影。它是由德国数学家高斯。它是由德国数学家高斯(Gauss(Gauss，1777 1777 1855)1855)提出，后经德国大地测量学家克吕格提出，后经

21、德国大地测量学家克吕格(Kruger(Kruger，185718571923)1923)加以补充完善，故又称加以补充完善，故又称“高斯高斯克吕格投影克吕格投影”，简称简称“高斯投影高斯投影”。 2、高斯投影的基本概念、高斯投影的基本概念NSc赤道赤道高斯投影平面高斯投影平面赤道赤道中央子午线中央子午线 高斯投影高斯投影采用分带投影。将椭球面按一定经差采用分带投影。将椭球面按一定经差分带，分别进行投影。分带，分别进行投影。2) 2)、高斯投影必须满足：、高斯投影必须满足：（1 1）高斯投影为正形投影，）高斯投影为正形投影， 即等角投影；即等角投影； （2 2）中央子午线投影后为直）中央子午线投影

22、后为直 线，且为投影的对称轴；线，且为投影的对称轴；（3 3）中央子午线投影后长度）中央子午线投影后长度 不变。不变。（1 1）中央子午线中央子午线投影后为直投影后为直线，且长度不变。线，且长度不变。（2 2） 除中央子午线外，除中央子午线外，其余其余子午线子午线的投影均为凹向中央的投影均为凹向中央子午线的曲线，并以中央子子午线的曲线，并以中央子午线为午线为对称轴对称轴。投影后有长。投影后有长度变形。度变形。（3 3） 赤道线赤道线投影后为直线，投影后为直线，但有长度变形。但有长度变形。赤道赤道中央子午线中央子午线平行圈平行圈子午线子午线O Ox xy y（4 4） 除赤道外的其余纬线，投除赤

23、道外的其余纬线，投影后为凸向赤道的曲线，并以赤影后为凸向赤道的曲线，并以赤道为对称轴。道为对称轴。（5 5）经线与纬线投影后仍然保）经线与纬线投影后仍然保持正交。持正交。 （6 6） 所有长度变形的线段，其所有长度变形的线段，其长度变形比均大于长度变形比均大于l l。（7 7）离中央子午线愈远，长度离中央子午线愈远，长度变形愈大。变形愈大。赤道赤道中央子午线中央子午线平行圈平行圈子午线子午线O Ox xy y 我国规定按经差我国规定按经差66和和33进行投影分带。进行投影分带。 66带自首子午线带自首子午线开始，开始，按按66的经差自西向东分成的经差自西向东分成6060个带个带。 33带自带自

24、1.5 1.5 开始，按开始，按33的经差自西向东分成的经差自西向东分成120120个带个带。高斯投影带划分高斯投影带划分 6 6 带与带与3 3 带中央子午线之间的关系如图带中央子午线之间的关系如图: : 3 3 带的中央子午线与带的中央子午线与6 6 带中央子午线及分带子午线重带中央子午线及分带子午线重合，减少了换带计算。合，减少了换带计算。 工程测量采用工程测量采用3 3 带，特殊工程可采用带，特殊工程可采用1.5 1.5 带或任意带带或任意带 按照按照66带带划分的规定，第划分的规定，第1 1带中央子午线的经度为带中央子午线的经度为33，其余各带中央子午线经度与带号的关系是：，其余各带

25、中央子午线经度与带号的关系是： L L。=6N=6N33 （N N为为66带的带号）带的带号） 例：例：2020带中央子午线的经度为：带中央子午线的经度为： L L。66 20 2033117 117 按照按照33带带划分的规定，第划分的规定，第1 1带中央子午线的经度为带中央子午线的经度为33，其余各带中央子午线经度与带号的关系是：其余各带中央子午线经度与带号的关系是： L L。=3n=3n （n n为为33带的带号）带的带号） 例：例：120120带中央子午线的经度为带中央子午线的经度为 L L。33 120 120360 360 若已知某点的经度为若已知某点的经度为L L，则该点的，则该

26、点的66带的带号带的带号N N由下式计算：由下式计算： 若已知某点的经度为若已知某点的经度为L L，则该点所在，则该点所在33带的带号按下式计算：带的带号按下式计算： （四舍五入）（四舍五入）1)6int(LN3Ln 的建立：的建立：x x轴轴 中央子午线的投影中央子午线的投影y y轴轴 赤道的投影赤道的投影原点原点O O 两轴的交点两轴的交点OxyP（X，Y）高斯自高斯自然坐标然坐标注：注：X X轴向轴向北北为为正正， y y轴向轴向东东为为正正。赤道赤道中央子午线中央子午线 由于我国的位于由于我国的位于北半球，东西横跨北半球，东西横跨1212个个66带，各带又独自带，各带又独自构成直角坐标

27、系。构成直角坐标系。 故：故：X X值均为正，值均为正， 而而Y Y值则有正有负。值则有正有负。世界地图世界地图赤赤 道道xyo1p2pmymxpp280.272440180.23283622mymxpp360.136780650.30285511mymxpp720.227559180.23283622（带号）mymxpp360.636780)(650.30285511带号500km =500000+ = 636780.360m = 500000+ = 227559.720m1py2py2py1py国家统一坐标：国家统一坐标：2211,ppppxxxx （带号）（带号）（带号）（带号）例：例：

28、有一国家控制点的坐标有一国家控制点的坐标: :x=3102467.280m ,y=19367622x=3102467.280m ,y=19367622380m380m，（1 1）该点位于）该点位于6 6 带的第几带？带的第几带？（2 2）该带中央子午线经度是多少？）该带中央子午线经度是多少？（3 3）该点在中央子午线的哪一侧？）该点在中央子午线的哪一侧？ （4 4）该点距中央子午线和赤道的距离为多少？）该点距中央子午线和赤道的距离为多少？（第（第19带）带） （L。=619-19-3=111）（先去掉带号，原来横坐标（先去掉带号，原来横坐标y367622.380500000-132377.62

29、0m，在西侧），在西侧）（距中央子午线（距中央子午线132377.620m，距赤道，距赤道3102467.280m）不同点：不同点：1 1、 x x，y y轴互异。轴互异。2 2、 坐标象限不同。坐标象限不同。3 3、表示直线方向的方位角、表示直线方向的方位角 定义不同。定义不同。相同点：相同点： 数学计算公式相同。数学计算公式相同。 高斯平面直角坐标系与数学上的笛卡尔平面直角高斯平面直角坐标系与数学上的笛卡尔平面直角坐标系的异同点坐标系的异同点 ：高斯平面直角坐标系高斯平面直角坐标系笛卡尔坐标系笛卡尔坐标系ooyyxxppx=Dcosy=Dsiny=Dsinx=Dcosy=Dsiny=Dsi

30、nDD3、椭球面三角系化算到高斯平面、椭球面三角系化算到高斯平面 将椭球面三角系归算到高斯投影面的主要内容是：将椭球面三角系归算到高斯投影面的主要内容是：将起始点的大地坐标将起始点的大地坐标B，L归算为高斯平面直角坐标归算为高斯平面直角坐标x，y；为了检；为了检核还应进行反算，亦即根据核还应进行反算，亦即根据x，y反算反算B，L。通过计算该点的子午线收敛角及方向改正，将椭球面上起算边大通过计算该点的子午线收敛角及方向改正，将椭球面上起算边大地方位角归算到高斯平面上相应边的坐标方位角。地方位角归算到高斯平面上相应边的坐标方位角。通过计算各方向的曲率改正和方向改正，将椭球面上各三角形内通过计算各方

31、向的曲率改正和方向改正，将椭球面上各三角形内角归算到高斯平面上的由相应直线组成的三角形内角。角归算到高斯平面上的由相应直线组成的三角形内角。通过计算距离改正，将椭球面上起算边的长度归算到高斯平面上通过计算距离改正，将椭球面上起算边的长度归算到高斯平面上的直线长度。的直线长度。当控制网跨越两个相邻投影带，需要进行平面坐标的邻带换算。当控制网跨越两个相邻投影带，需要进行平面坐标的邻带换算。8.3 正形投影的一般条件（了解）正形投影的一般条件（了解） 研究高斯投影应首先满足正形投影的一般条件，然后加上高研究高斯投影应首先满足正形投影的一般条件，然后加上高斯投影的特殊条件，即可导出高斯投影坐标正反算公

32、式。推斯投影的特殊条件，即可导出高斯投影坐标正反算公式。推求时抓住正形投影区别于其它投影的特殊本质：求时抓住正形投影区别于其它投影的特殊本质：在正形投影在正形投影中，长度比与方向无关。中，长度比与方向无关。lyqxqylx正形投影方法都必须正形投影方法都必须遵循的法则遵循的法则 ：柯西柯西(Cauchy)黎曼黎曼(Riemann)条条件件BBNMdBq0cos等量纬度等量纬度8.4高斯投影坐标正反算公式（了解）高斯投影坐标正反算公式（了解）1 1、高斯投影坐标正算公式：、高斯投影坐标正算公式： B,B,l l x,yx,y 高斯投影必须满足以下三个条件：高斯投影必须满足以下三个条件：中央子午线

33、投影后为直线；中央子午线投影后为直线；中央子午线投影后长度不变；中央子午线投影后长度不变；投影具有正形性质，即正形投影条件。投影具有正形性质，即正形投影条件。对于任何一种投影：对于任何一种投影：坐标对应关系是最主要的；坐标对应关系是最主要的；如果如果是正形投影，除了满足正形投影的条件外，还有它本身的是正形投影，除了满足正形投影的条件外，还有它本身的特殊条件。特殊条件。赤赤 道道OXH0LLllqP,OXh0LLyxP,xyxy2322442452466sincossincos(594)224sincos(6158)720NNxXBB lBBtlNBBttl3223352422255coscos

34、(1)6cos(5181458)120NNyB lBtlNBtttl222tan,costBeB 自赤道量起的到所求点的子午线弧长自赤道量起的到所求点的子午线弧长所求点的大地经度与该点所在带所求点的大地经度与该点所在带的中央子午线的大地经度之差的中央子午线的大地经度之差2 2、高斯投影坐标反算公式：、高斯投影坐标反算公式：x,yx,y B,lB,l 满足以下三个条件：满足以下三个条件：x坐标轴投影后为中央子午线是投影的对称轴；坐标轴投影后为中央子午线是投影的对称轴； x坐标轴投影后长度不变；坐标轴投影后长度不变；投影具有正形性质，即正形投影条件。投影具有正形性质，即正形投影条件。2224255

35、2233642542222328624285cos12021cos6cos459061720935242ffffffffffffffffffffffffffffftttBNytBNyBNylyttyNMtyttNMtyNMtBB过所求点过所求点P P作中央子午线的垂线，作中央子午线的垂线，该垂线与中央子午线的交点的纬该垂线与中央子午线的交点的纬度，称垂足纬度。其值由子午线度，称垂足纬度。其值由子午线弧长计算公式反算求得。弧长计算公式反算求得。当当B=0时时x=X=0，y则随则随l的变化而变化，这就是说，赤道投影为一直线且的变化而变化，这就是说，赤道投影为一直线且为为y轴。当轴。当l=0时时,则

36、则y=0,x=X,这就是说，中央子午线投影亦为直线，且为这就是说，中央子午线投影亦为直线，且为x轴，轴，其长度与中央子午线长度相等。两轴的交点为坐标原点。其长度与中央子午线长度相等。两轴的交点为坐标原点。当当l=常数时常数时(经线经线),随着随着B值增加，值增加，x值增大，值增大，y值减小，这就告诉我们，经值减小，这就告诉我们，经线是凹向中央子午线的曲线，且收敛于两极。又因，即当用线是凹向中央子午线的曲线，且收敛于两极。又因，即当用-B代替代替B时，时，y值不变，而值不变，而x值数值相等符号相反，这就说明赤道是投影的对称轴。值数值相等符号相反，这就说明赤道是投影的对称轴。当当B=常数时常数时(

37、纬线纬线)，随着的，随着的l增加，增加，x值和值和y值都增大，这就是说，纬线是值都增大，这就是说，纬线是凸向赤道的曲线。又当用凸向赤道的曲线。又当用-l代替代替l时，时，x值不变，而值不变，而y值数值相等符号相反，值数值相等符号相反，这就说明，中央子午线是投影对称轴。由于满足正形投影条件，所以经线这就说明，中央子午线是投影对称轴。由于满足正形投影条件，所以经线和纬线的投影是互相垂直的。和纬线的投影是互相垂直的。距中央子午线愈远的子午线，投影后弯曲愈厉害，表明长度变形愈大。距中央子午线愈远的子午线，投影后弯曲愈厉害，表明长度变形愈大。3 3、高斯投影坐、高斯投影坐标正反算公式的标正反算公式的几何

38、解释几何解释 ：练习练习1. 已知某点的坐标：已知某点的坐标：B = 29 04 05.3373 L = 121 10 33.2012 计算：计算：1). 该点的该点的3 带和带和6 带带号；带带号； 2). 该点的该点的3 带高斯投影坐标并反带高斯投影坐标并反 算检核；算检核；n = int(L/6) + 1L = n63 n = int(L-1.5)/3) + 1L =n3子午线收敛角的概念子午线收敛角的概念 如右图所示，、如右图所示，、 及及 分分别为椭球面点、过点的子午线别为椭球面点、过点的子午线 及平行圈及平行圈 在高斯平面上的描写。在高斯平面上的描写。由图可知，所谓点由图可知，所谓

39、点 子午线收敛角子午线收敛角就是就是 在在 上的切线上的切线 与与 坐坐标北之间的夹角，用标北之间的夹角，用 表示。表示。 在椭球面上，因为子午线同平行在椭球面上，因为子午线同平行圈正交，又由于投影具有正形性质，圈正交，又由于投影具有正形性质，因此它们的描写线因此它们的描写线 及及 也必正也必正交，由图可见，平面子午线收敛角交，由图可见，平面子午线收敛角也就是等于也就是等于 在在 点上的切线点上的切线同平面坐标系横轴同平面坐标系横轴 的倾角。的倾角。 pNpQppppNpQpNppnp tp NpQpQppqp y8.5 平面子午线收敛角公式（了解）平面子午线收敛角公式（了解）1、求、求的公式

40、的公式 1）由大地坐标）由大地坐标L，B计算：计算：1pdydxtgr 12( , )( , )xF B LyF B Lxdxdllydydllxltgryl3224352451sincossincos(594)61sincos(6158)120 xNBB lNBBtllNBBttl 222242441c o s1c o s(1)21c o s(51 8)2 4yNBBtllBttl232445211sinsincos1 32sincos2315rBlBB lBBltxltgryl232445211sinsincos1 32sincos2315rBlBB lBBlt 1p在中央子午线上在中央子

41、午线上l=0,r=0；在；在赤道上赤道上B=0,r=0。在同一经线上在同一经线上(l=常数常数)纬度愈高，纬度愈高，r的绝对值也愈大，在极点的绝对值也愈大，在极点处最大；在同一纬线上处最大；在同一纬线上(B=常数常数)，经差，经差l的绝对值愈大，的绝对值愈大，r的绝的绝对值也愈大。对值也愈大。r为奇函数，有正负，当描写为奇函数，有正负，当描写点在中央子午线以东时，经差为点在中央子午线以东时，经差为正，正，r也为正；当描写点在中央也为正；当描写点在中央子午线以西时，经差为负，子午线以西时，经差为负，r也也为负。为负。 2）由高斯平面坐标）由高斯平面坐标x，y计算：计算：2522224351253

42、315fffffffffffyty ty trtttNNN8.6 方向改化公式（重点）方向改化公式（重点） 方向改正数方向改正数就是指就是指大地线的投影曲线大地线的投影曲线和连接大地线两点和连接大地线两点的弦之夹角。的弦之夹角。1、方向改化近似公式的推导、方向改化近似公式的推导baab00360360abba22abba12abba2PR()()2ababmabyyPxxyxx2()2abmabyxxR2()2abmabyxxR 2()2mabbaabyxxR误差小于误差小于0.1，可适用于三、，可适用于三、四等三角测量的计算四等三角测量的计算2、方向改化较精密公式的推导、方向改化较精密公式的

43、推导 T2,112121()2y xxR)3sin()3sin(212PPQP13sin,900)3sin(212PPQPTPPPQsin212212212PPPQPPQPT32()2mabbaabyxxRT3212121()()2yyxxR212121()()36TyyxxRT2 , 112121()2y xxR1.212121212211()()()26y xxyyxxRR代入代入)(2(6122122 . 1xxyyRm )(2(6121221 . 2xxyyRm 我国二等三角网平均边长为我国二等三角网平均边长为13KM13KM，当，当y ym m250km250km时，上时，上式精确至

44、式精确至0.010.01，故通常用，故通常用于于二等二等三角测量计算。三角测量计算。 250mykm若时：2123212232122 . 1)()(2(6mmmmmyyyRtxxRyyyR 2123212231221 . 2)()(2(6mmmmmyyyRtxxRyyyR 该式精确至该式精确至0.0010.001，适用于一等三角测量计算。，适用于一等三角测量计算。3、计算的检核、计算的检核 abacababacacaNNNN)(acabacabNNaANNacabacab,cCcbBbaAa)(cbaCBAcba0180cba0180CBAcba一个三角形的三个内角的角度改正一个三角形的三个内

45、角的角度改正值（同一点相应两个方向的方向改值（同一点相应两个方向的方向改正之差）之和应等于该三角形的球正之差）之和应等于该三角形的球面角超的负值。此式可用来检查方面角超的负值。此式可用来检查方向改正计算。向改正计算。角度改正数角度改正数8.7 距离改化公式（重点）距离改化公式（重点）DsS由由S化至化至D所加的所加的S改正称为改正称为距离改正距离改正 1、研究平面曲线长度、研究平面曲线长度s与其弦线长度与其弦线长度D的关系；的关系；2、研究用大地坐标、研究用大地坐标B、L和平面坐标和平面坐标x、y计算长度比计算长度比m的公式；的公式；3、最后导出距离改化的计算公式。、最后导出距离改化的计算公式

46、。m11、平面曲线长度、平面曲线长度s与其弦线长度与其弦线长度D的关系的关系vdsdDcossvdsD0cos由于由于v是一个小角，最大不会超过方向改化值是一个小角，最大不会超过方向改化值，因此可把，因此可把cosv展开为级数：展开为级数： 21cos2vvssdsvvdsDss2)21 (cos2020式中用式中用v的最大值的最大值代替代替 vmyxxR)(21122最大已是二次项，已是二次项， 所以，对现有测量方法这个误差可忽略不计，完全可以认为所以，对现有测量方法这个误差可忽略不计，完全可以认为大地线的平面投影曲线长度大地线的平面投影曲线长度s等于其弦线长度等于其弦线长度D。ssdsvv

47、dsDss2)21 (cos20202、长度比和长度变形、长度比和长度变形长度比长度比m是指椭球面上某一点的微分元素是指椭球面上某一点的微分元素dS，与其投，与其投影面上的相应的微分元素影面上的相应的微分元素ds之比，即：之比，即：dSdsm 由于长度比由于长度比m恒大于恒大于1，故称，故称 为为长度变形长度变形。 ) 1(m1）用大地坐标表示的长度比公式）用大地坐标表示的长度比公式2222()()xyllmr22221()()cosxyNBll)45(cos24)1 (cos2124442222tBlBlm 实用时一般取至二次项实用时一般取至二次项 在在6带的边缘及低纬度处，带的边缘及低纬度

48、处，有时用到有时用到 项。项。2l4l2）用平面坐标表示的长度比公式）用平面坐标表示的长度比公式5222425532233)5814185(cos120)1 (cos6cosltttBNltBNlBNy cosylNB22221cos(1)2lmB 2221(1)2ymN 21NMRMN2212mymR 24241224mmyymRR 代入代入222coseB 22221cos(1)2lmB )45(cos24)1 (cos2124442222tBlBlm 2212mymR m随点的位置随点的位置(B,L)或或(x,y)而异，但在一点上与方向无关；而异，但在一点上与方向无关；当当 时，由于时，

49、由于m是是y（或（或l）的偶函数，且各项都）的偶函数，且各项都为为“+”号，号，故故m恒大于恒大于1，即除中央子午线外其它投影后都变，即除中央子午线外其它投影后都变长了；长了；00ly或长度变形（长度变形（m-1）与）与 成正比例地增大，愈离远中央成正比例地增大，愈离远中央子午线长度变形愈大。子午线长度变形愈大。)(22ly或 在同一纬线上，即在同一纬线上，即B=常数，长度变形（常数，长度变形（m-1）随）随l的增大而的增大而 增大。增大。 在同一经线上，即在同一经线上，即l=常数，长度变形（常数，长度变形（m-1）随）随B的减少而增的减少而增 大，在赤道处大，在赤道处(B=0)为最大。为最大

50、。当当y=0 (或或l=0)时，即在纵坐标轴或中央子午线上时，各点时，即在纵坐标轴或中央子午线上时，各点的的m都等于都等于1，即中央子午线投影后长度不变；，即中央子午线投影后长度不变；3、距离改化公式：、距离改化公式：dsmdSdDmdS对于一条三角边来说，由于边长较短，长度比的变化实际上是很微小的，对于一条三角边来说，由于边长较短，长度比的变化实际上是很微小的，可以认为是一个常数，因而可以用可以认为是一个常数，因而可以用D/S来代替来代替dD/dS，即有：，即有：2212mymR DmS代入代入22(1)2mmyDSR242224(1)22424mmmmmyyyDSRRR当当S70km,ym

51、350km(6带的带的边缘边缘) 计算精度小于计算精度小于0.001m，对，对于一等边长的归算完全可满足要于一等边长的归算完全可满足要求，对于二等边长的归算可略去求，对于二等边长的归算可略去 项，对于三四等边长的归项，对于三四等边长的归算又可再略去算又可再略去 项。项。4my2y22222222(1)()224224mmmmmmyyyySDSSSSRRRR一等三角网的距离改正的实用公式：一等三角网的距离改正的实用公式：二等三角网的距离改正的实用公式：二等三角网的距离改正的实用公式：242422224224(1)()2242422424mmmmmmmmmmyyyyyySDSSSSRRRRRR三等

52、三角网以下的距离改正的实用公式：三等三角网以下的距离改正的实用公式：2222(1)22mmmmyySDSSSSRR产生换带的原因产生换带的原因 高斯投影为了限制高斯投影的长度变形，以中央子午线进行分高斯投影为了限制高斯投影的长度变形，以中央子午线进行分带，把投影范围限制在中央子午线东、西两侧一定的范围内。因而，带，把投影范围限制在中央子午线东、西两侧一定的范围内。因而，使得统一的坐标系分割成各带的独立坐标系。在工程应用中，往往使得统一的坐标系分割成各带的独立坐标系。在工程应用中，往往要用到相邻带中的点坐标，有时工程测量中要求采用要用到相邻带中的点坐标，有时工程测量中要求采用 带、带、 带或任带

53、或任意带，而国家控制点通常只有意带，而国家控制点通常只有 带坐标，这时就产生了带坐标，这时就产生了 带同带同 带带（或（或 带、任意带）之间的相互坐标换算问题，如下图所示：带、任意带）之间的相互坐标换算问题，如下图所示：35 . 16635 . 18.8 高斯投影的邻带换算高斯投影的邻带换算 需要进行坐标邻带换算的情况：需要进行坐标邻带换算的情况： 1、控制网跨越两个投影带；、控制网跨越两个投影带； 2、在分界子午线附近地区测图，需要用到另一带、在分界子午线附近地区测图，需要用到另一带 的三角点作为控制点时；的三角点作为控制点时； 3、6带、带、3带、带、1.5带之间的换算。带之间的换算。 坐

54、标邻带换算的一般方法：坐标邻带换算的一般方法： 把椭球面上的大地坐标作为过渡坐标，首先把把椭球面上的大地坐标作为过渡坐标，首先把某投影带（如某投影带（如21带）内的有关点的平面坐标带）内的有关点的平面坐标x，y利用高斯投影反算公式换算成椭球面上的大地坐标利用高斯投影反算公式换算成椭球面上的大地坐标B，L。然后再由大地坐标。然后再由大地坐标B，L利用投影正算公式利用投影正算公式换算成相邻带的（如换算成相邻带的（如22带）的平面坐标。带）的平面坐标。计算步骤计算步骤：根据,利用高斯反算公计算换算,，得到 ，。采用已求得的,，并顾及到第带的中央子午线，求得，利用高斯正算公式计算第带的直角坐标 , 。

55、为了检核计算的正确性，要求每步都应进行往返计算1x1y1B1L4902.4383511 B2136.13201261 L1B1L129II0L486.46752 lIIxIIy算例算例在中央子午线在中央子午线 的的带中，有某一点的平面直角坐标带中，有某一点的平面直角坐标，现要求计算该点在中央子午线，现要求计算该点在中央子午线 的第的第带的平面直角坐标。带的平面直角坐标。 123I0Lm726.57283741xm193.2101981y129II0L 1999年年城市测量规范城市测量规范规定：规定： 一个城市只应建立一个与国家坐标系统相联一个城市只应建立一个与国家坐标系统相联系的、相对独立和统

56、一的城市坐标系统，并经上系的、相对独立和统一的城市坐标系统，并经上级行政主管部门审查批准后方可使用。级行政主管部门审查批准后方可使用。城市平面城市平面控制测量坐标系统的选择应以投影长度变形值不控制测量坐标系统的选择应以投影长度变形值不大于大于2.5cm/km为原则为原则，并根据城市地理位置和平，并根据城市地理位置和平均高程而定。均高程而定。1、当长度变形值不大于、当长度变形值不大于2.5cm/km时时,应采用高斯正形投影应采用高斯正形投影统一统一3带的平面直角坐标系统。统一带的平面直角坐标系统。统一3带的主子午线经带的主子午线经度由东经度由东经75起起,每隔每隔3至东经至东经135。2、当长度

57、变形值大于、当长度变形值大于2.5cm/km 时，可依次采用：时，可依次采用： 1）投影于抵偿高程面上的高斯正形投影带的平面直角坐）投影于抵偿高程面上的高斯正形投影带的平面直角坐标系统；标系统； 2）高斯正形投影任意带的平面直角坐标系统，投影面可）高斯正形投影任意带的平面直角坐标系统，投影面可采用黄海平均海水面或城市平均高程面。采用黄海平均海水面或城市平均高程面。如何选择城市平面控制网坐标系统？如何选择城市平面控制网坐标系统？ 3、面积小于、面积小于25k的城镇的城镇,可不经投影采用假定平面直角坐可不经投影采用假定平面直角坐标系统在平面上直接进行计算。标系统在平面上直接进行计算。1、工程测量中

58、投影面和投影带选择的基本出发点、工程测量中投影面和投影带选择的基本出发点 1 1）有关投影变形的基本概念）有关投影变形的基本概念引起投影变形的因素：引起投影变形的因素：（1）实量边长归算到参考椭球体面上的变形影响）实量边长归算到参考椭球体面上的变形影响 RHssm1RHssm1由由公公式式可可以以看看出：出： 的的值值总总为为负，负，即即地地面面实实量量长长度度归归算算至至参参考考椭椭球球体体面面上，上，总总是是缩缩短短的；的； 值值与与 成成正正比，比，随随 增增大大而而增增大。大。1s mH1| | s mHs（2）将参考椭球面上边长归算到高斯投影面上的变形影响：）将参考椭球面上边长归算到

59、高斯投影面上的变形影响：02221sRysmm10sss为投影归算边长，即在参考椭求面上的长度。为投影归算边长，即在参考椭求面上的长度。 20221mmRyss由公式可以看出：由公式可以看出： 的值总为正，即椭球面上长度归算的值总为正，即椭球面上长度归算至高斯面上，总是增大的，至高斯面上，总是增大的， 值与值与 成正比而增大，成正比而增大，离中央子午线愈远变形愈大。离中央子午线愈远变形愈大。2s2s2my在测区平均高程面上的长度。在测区平均高程面上的长度。 2 2）有关工程测量平面控制网的精度要求的概念）有关工程测量平面控制网的精度要求的概念 为便于施工放样的顺利进行，要求由控制点坐标直接为便

60、于施工放样的顺利进行，要求由控制点坐标直接反算的边长与实地量得的边长，在长度上应该相等，即由反算的边长与实地量得的边长，在长度上应该相等，即由上述两项归算投影改正而带来的变形或改正数，不得大于上述两项归算投影改正而带来的变形或改正数，不得大于施工放样的精度要求。一般地，施工放样的方格网和建筑施工放样的精度要求。一般地，施工放样的方格网和建筑轴线的测量精度为轴线的测量精度为1/50001/20000。因此，由归算引起。因此，由归算引起的控制网长度变形应小于施工放样允许误差的的控制网长度变形应小于施工放样允许误差的1/2，即相，即相对误差为对误差为1/100001/40000，也就是说，每公里的长