塑性力学期末复习总结教学教材

1、塑性力学期末复习总结弹性与弹性与弹性变形弹性变形塑性与塑性塑性与塑性变形变形塑性力学的基本假设塑性力学的基本假设弹性区与塑性区弹性区与塑性区塑性塑性变形变形的特点的特点塑性力学的主要研究内容塑性力学的主要研究内容重点：重点：基本概念 简化模型一点的应力状态一点的应力状态 剪应力互等定理剪应力互等定理主应力主应力 应力张量不变量应力张量不变量 八面体应力八面体应力重点：重点：一点的应力状态、平面应力状态 和空间应力状态的基本公式主主应力应力与主平面与主平面 斜截面上的正应力斜截面上的正应力和剪应力和剪应力：主应力方程主应力方程：应力张量不变量应力张量不变量：由主应力方程可求得三个主应力由主应力方

2、程可求得三个主应力将将求得的任一个主应力代入求得的任一个主应力代入：()0iijjjl1,0,ijijij方向余弦满足条件：方向余弦满足条件：2221231lll1i ill 即即联立得到联立得到321230III求出主应力所在平面方位求出主应力所在平面方位平均应力平均应力应力球张量应力球张量不引起塑性变形不引起塑性变形应力偏张量应力偏张量引起塑性变形引起塑性变形zyxmI3131313211ijijmijs2223222222222212)(6)()()(61 )(03xyzzxyyzzzxyzxyzyxzxyzxyxzzyyxzxyzxyxzzyyxmzyxzyxssssssJssssss

3、JsssJ应力偏张量不变量应力偏张量不变量321321323222121)()()(610sssJJJ八面体面（或等倾面）八面体面（或等倾面）1231/3lll正应力正应力和剪应力和剪应力m)(3132182132322218)()()(31322J=等效应力（或应力强度）等效应力（或应力强度）)(6)()()(21 )()()(2132322222222323222128zxyzxyxzzyyxiJ等效剪应力（或剪应力强度）等效剪应力（或剪应力强度）2232322218)()()(6123T最大最小剪应力：最大最小剪应力：max13min2 123222213312321斜面斜面上的剪应力上

4、的剪应力莫尔应力圆莫尔应力圆表示应力状态的表示应力状态的Lode参数：参数：31312313121121121)(2)(21)(21OPOOOPPOPO应力应力Lode参数的参数的物理意义：物理意义：1、与、与平均应力无关平均应力无关2 2、其、其值确定了应力圆的三个直径之比值确定了应力圆的三个直径之比3 3、如果两个应力状态的如果两个应力状态的Lode参数相等，就说明两个应力状态对应参数相等，就说明两个应力状态对应的应力圆是相似的，即偏量应力张量的形式相同的应力圆是相似的，即偏量应力张量的形式相同Lode参数是排除球形应力张量的影响而描绘应力状态特征的参数是排除球形应力张量的影响而描绘应力状

5、态特征的一个参数。它可以表征偏应力张量的形式。一个参数。它可以表征偏应力张量的形式。11 例例2.1 已知一点的应力状态由以下一组应力分量所确定已知一点的应力状态由以下一组应力分量所确定, 即即 x3, y0, z0, xy1 , yz 2, zx 1, 应力单位为应力单位为MPa。试求该点的主应力值。试求该点的主应力值。 解解: :11122333003I2223333111122212232331311(3 0 1 1)(0 02 2)(0 3 1 1)6I 11121332122233132333 0 01 2 1 1 2 1 1 0 12 2 3 1 1 08I 323680(4)(1

6、)(2)0解得主应力为解得主应力为:1234;1;2. 321230III代入代入例例2.2 已知结构内某点的应力张量如式，试求该点的球形应已知结构内某点的应力张量如式，试求该点的球形应力张量、偏量应力张量、等效应力及主应力数值。力张量、偏量应力张量、等效应力及主应力数值。 100100100MPa10010ij101010 / 310 / 310 / 300010 / 30MPa0010 / 320 / 3010040 / 3:0MPa10020 / 3mijS平均正应力球形应力张量量（）偏量应力张解解: :222222211222233331112233131()()()6()21400

7、400 0 6(0 0 100)70010 7 MPa2J 11122332222112222333311122331222311223312233111232213331210()( 100 100 100)00 100200|21000 1000000ijIII 等效应力等效应力: 20)20,0,10(10)0 主应力主应力: :也可由主应力求等效应力也可由主应力求等效应力小变形情况下，应变分量与位移分量的关系小变形情况下，应变分量与位移分量的关系(几何方程几何方程/柯西几何关系柯西几何关系)zuxwzwywzvyvxvyuxuxzzxzzyyzyyxxx ,

8、, ,yzzyzxyzyyxxzxyxzzyzxyzyyxxzxyxij 21 2121 2121 21 )(21,ijjiijuu张量形式张量形式重点重点：应变分量、主应变及应变不变量的定义应变张量不变量应变张量不变量zzyzxyzyyxxzxyxzxyzxyxzzyyxzyxIII 21 2121 2121 21 )(41)(322221321313322123211)(III（体积应变）平均线应变平均线应变zyxmI3131313211应变球张量及偏张量应变球张量及偏张量ijijmijemzzyzxyzmyyxxzxymxmmmzzyzxyzyyxxzxyx 21 2121 2121 2

9、1 0 00 00 0 21 2121 2121 21 如体积不变如体积不变ijije应变偏张量不变量应变偏张量不变量22232222222222141414141)(23)()()(61 )(41)(3xyzzxyyzxzxyzxyzyxzxyzxyxzzyyxzxyzxyxzzyyxmzyxzyxeeeeeeJeeeeeeJeeeJ321321323222121)()()(610eeeJJJ还可以写成：还可以写成：jiijeeJ212kjjkijeeeJ313八面体八面体面上的正应变：面上的正应变：m)(313218剪应变：剪应变：2132322218)()()(323222J等效应变（应

10、变强度）等效应变（应变强度）)(23)()()(32 )()()(32322122222221323222128zxyzxyxzzyyxiJ等效剪应变（剪应变强度）等效剪应变（剪应变强度） =2132322218)()()(3223最大剪应变最大剪应变31max表示应变状态的表示应变状态的Lode参数参数31312)(2几何意义：几何意义：应变莫尔圆应变莫尔圆上上Q2A与与Q1A之比之比应变协调方程应变协调方程 （判断某点应变场成立）（判断某点应变场成立）222220yxyxyxx y 保证物体在变形后不会出现保证物体在变形后不会出现撕裂撕裂，套叠套叠的现象的现象重点：重点：屈服条件、加载规律

11、和塑性流动法则屈服函数屈服函数应力空间应力空间等倾线等倾线平面平面屈服曲面和屈服轨迹屈服曲面和屈服轨迹应变空间应变空间 平面上的点所代表的应力状态平面上的点所代表的应力状态是偏张量，其球张量为零是偏张量，其球张量为零等倾线等倾线上的点所代表的应力状态上的点所代表的应力状态是球张量，其偏张量为零是球张量，其偏张量为零Tresca屈服条件屈服条件认为最大剪应力达到极限值时开始屈服认为最大剪应力达到极限值时开始屈服:max13()/ 2k123()Tresca屈服条件的完整表达式屈服条件的完整表达式222222122331()4()4()4032224623224()27()36()96640JJJ

12、JTresca屈服条件常用在主应力大小顺序为屈服条件常用在主应力大小顺序为已知的问题上已知的问题上p p平面上的屈服曲线平面上的屈服曲线 (正六边形正六边形)12()222xk 常量主应力空间内的屈服条件主应力空间内的屈服条件(正六边形柱面正六边形柱面)122331222kkk 平面应力状态的屈服条件平面应力状态的屈服条件（ 3 3 0 0） 常数常数k值由简单拉伸实验或纯剪实验确定值由简单拉伸实验或纯剪实验确定 s22 sMises屈服条件屈服条件用连接用连接p p平面上的平面上的Tresca六边形的六个顶六边形的六个顶点的圆来代替原来的六边形，即：点的圆来代替原来的六边形，即：222212

13、23311()()() 6JC常数常数C值由简单拉伸实验或纯剪实验确定值由简单拉伸实验或纯剪实验确定3SS在在主应力空间主应力空间中，中，Mises屈服面将是圆柱面，在屈服面将是圆柱面，在 3=0的平面应力情形的平面应力情形, Mises屈服条件可写成屈服条件可写成:2221122s 两种屈服条件的关系两种屈服条件的关系若规定若规定简单拉伸简单拉伸时两种屈服条件重合，则时两种屈服条件重合，则Tresca六边形内接于六边形内接于Mises圆，且圆，且若规定若规定纯剪纯剪时两种屈服条件重合，则时两种屈服条件重合，则Tresca六边形外接于六边形外接于Mises圆，且圆，且22max3 () (Tr

14、esca)ssJMises或22max()3 (Tresca)2sssJMises或加载条件加载条件 和和 加载曲面加载曲面初始屈服曲面初始屈服曲面加载曲面加载曲面（后继屈服面）（后继屈服面）强化现象强化现象加载函数加载函数加载准则加载准则对强化材料对强化材料对理想塑性材料对理想塑性材料当采用当采用Mises屈服条件时屈服条件时当采用当采用Mises屈服条件时屈服条件时注意：注意：加载或卸载都是对一个点上的加载或卸载都是对一个点上的整个应力状态整个应力状态而言。而言。如是如是加载加载，则在所有方向上都要使用，则在所有方向上都要使用塑性塑性应力应变关系；应力应变关系；如是如是卸载卸载，则在所有方

15、向上都要使用，则在所有方向上都要使用弹性弹性应力应变关系。应力应变关系。应力增量保持在屈服面上就称为应力增量保持在屈服面上就称为加载加载返到屈服面以内时就称为返到屈服面以内时就称为卸载卸载简单加载简单加载复杂加载复杂加载加载路径是通过原点的直线加载路径是通过原点的直线加载路径可以是通过原点或不通过原点的曲线或折线加载路径可以是通过原点或不通过原点的曲线或折线简单加载原理简单加载原理强化假设强化假设Tresca屈服条件和屈服条件和Mises屈服条件只适用屈服条件只适用于理想塑性材料；或者只作为强化材料第于理想塑性材料；或者只作为强化材料第一次开始屈服的初始屈服面，而不能正确一次开始屈服的初始屈服

16、面，而不能正确描述已进入塑性阶段并己产生一定塑性变描述已进入塑性阶段并己产生一定塑性变形（强化）以后的屈服性质形（强化）以后的屈服性质。等向强化假设等向强化假设随动强化假设（运动强化假设）随动强化假设（运动强化假设）q为强化参数，恒为正值为强化参数，恒为正值加载曲面（即强化条件）加载曲面（即强化条件）h为随材料而不同的常数，可由实验确定为随材料而不同的常数，可由实验确定塑性本构关系塑性本构关系全量理论全量理论/形变理论形变理论建立在弹塑性小变形理论上，它建立了应力与应变全量间的关系建立在弹塑性小变形理论上，它建立了应力与应变全量间的关系增量理论增量理论/流动理论流动理论描述材料在塑性状态时应力

17、与应变速度或应变增量之间关系的理论描述材料在塑性状态时应力与应变速度或应变增量之间关系的理论均与均与Drucker公设有密切关系公设有密切关系稳定材料稳定材料不稳定材料不稳定材料应力增加，应变随之增加应力增加，应变随之增加应变增加，应力减少应变增加，应力减少称之为称之为应变软化应变软化Drucker 公设公设对稳定材料，对稳定材料，在整个应力循环中做功不小于零在整个应力循环中做功不小于零推论推论1：屈服曲面一定是外凸的。屈服曲面一定是外凸的。(两个矢量的夹角是锐角两个矢量的夹角是锐角)推论推论2：塑性应变增量垂直于屈服曲面。塑性应变增量垂直于屈服曲面。推论推论3：塑性应变增量可用屈服塑性应变增

18、量可用屈服 函数的函数的梯度表示。梯度表示。在任何按照应力闭合的过程中附加在任何按照应力闭合的过程中附加应力所做的功非负应力所做的功非负0或者0ijijijd,d伊柳申伊柳申 公设公设在任何应变空间内闭合的等温过程中应在任何应变空间内闭合的等温过程中应力所做的功非负力所做的功非负0ijijd增量理论增量理论（流动理论流动理论）当材料进入塑性状态时，将当材料进入塑性状态时，将满足满足屈服条件屈服条件)0(ijF0F弹性或刚性状态弹性或刚性状态0F进入塑性状态进入塑性状态总变形速度是弹性变形速度与塑性变形速度之和总变形速度是弹性变形速度与塑性变形速度之和pijeijij变形偏量变形偏量常用表达式常

19、用表达式应力速度偏量应力速度偏量弹性极限内应力和应变之间的关系弹性极限内应力和应变之间的关系ijmijijEGs212塑性状态时，材料是不可压缩的塑性状态时，材料是不可压缩的0pijLevy-Mises理论理论假设材料是理想塑性材料，还认为材料达到塑性后，由于塑性变假设材料是理想塑性材料，还认为材料达到塑性后，由于塑性变形较大，总应变即等于塑性应变，即假设材料符合形较大，总应变即等于塑性应变，即假设材料符合刚塑性模型刚塑性模型ijsiijsdd23应力应变方程式应力应变方程式zxzxyzyzxyxyzzyyxxsss222spipiddd23231注意：注意：对于理想塑性材料，应变分量的对于理

20、想塑性材料，应变分量的增量与应力分量之间没有单值的关系增量与应力分量之间没有单值的关系如果已知应变增量，可求得应力偏量的分量，一般不能求出各个如果已知应变增量，可求得应力偏量的分量，一般不能求出各个方向的主应力分量方向的主应力分量；如果已知应力分量，则能求出应力偏量，但不能求得应变增量的如果已知应力分量，则能求出应力偏量，但不能求得应变增量的分量数值，只能求得它们之间的一个比例值分量数值，只能求得它们之间的一个比例值。Prandtl-Reuse理论理论基本假设与基本假设与Levy-Mises理论的相类似，但理论的相类似，但Prandtl-Reuse理论考虑了理论考虑了塑性区的弹性应变部分塑性区

21、的弹性应变部分，因而得到了不同的应，因而得到了不同的应力应变表达式力应变表达式dsGdsdijijij2应力应变方程式应力应变方程式可写为功的速率可写为功的速率形式形式)2(22ijijijskWGs全量理论全量理论2ijijsGeG与材料性质和塑性变形程度有关与材料性质和塑性变形程度有关与广义虎克定律形式上非常相似与广义虎克定律形式上非常相似解决具体问题比弹性力学复杂很多解决具体问题比弹性力学复杂很多111(),2xxyzyzyzEG111(),2yyzxzxzxEG111(),2zzxyxyxyEG应力偏量分量和应变偏量分量成正比应力偏量分量和应变偏量分量成正比应力应变方程式应力应变方程式

22、几种理论之间的关系几种理论之间的关系在比例加载条件下，增量理论的方程积分后就得出全量理论的方程，说明了在比例加载条件下，全量理论是正确的，而几种全量理论之间也有着密切的关系。例例4.1 薄壁圆筒受拉力薄壁圆筒受拉力P和扭矩和扭矩M的作用，写出该情况的的作用，写出该情况的Tresca和和Mises屈服屈服条件。若已知条件。若已知r=50mm，t=3mm，ss=400MPa，P=150kN， M=9kNm，试试分别用两种屈服条件判断圆筒是否进入屈服状态。分别用两种屈服条件判断圆筒是否进入屈服状态。解：解：622150 10005009 10600;2250322503ZZPMrtr tpppppp

23、先求应力：先求应力：用用Tresca屈服条件判断：屈服条件判断：22222245006004()4()4001.123 100zzspp用用Mises屈服条件判断：屈服条件判断：22222245006003()3()4002.524 100zzspp 屈服屈服未屈服未屈服例例4.2 试确定单向拉伸应力状态、单向压缩应力状态、纯剪切应力状态的试确定单向拉伸应力状态、单向压缩应力状态、纯剪切应力状态的塑性应变增量之比（理想刚塑性材料）。塑性应变增量之比（理想刚塑性材料）。解：解：单向拉伸应力状态：单向拉伸应力状态：123,0s1210123333,ssssss 32iijijsdds123123:

24、dddsss12312332isddddsss123:2: 1: 1ddd例例4.2 试确定单向拉伸应力状态、单向压缩应力状态、纯剪切应力状态的试确定单向拉伸应力状态、单向压缩应力状态、纯剪切应力状态的塑性应变增量之比（理想刚塑性材料）。塑性应变增量之比（理想刚塑性材料）。单向压缩应力状态：单向压缩应力状态：纯剪切应力状态：纯剪切应力状态：1230,s 111201233333,sssssss 123123:dddsss1:1:2123,0,ss 01230,0,sssss 123123:dddsss1:0 :1重点：重点：模型简化及求解弹塑性力学边值问题的基本方程弹塑性力学边值问题的基本方程

25、平衡方程平衡方程 + 几何方程几何方程 + 本构关系本构关系 + 边界条件边界条件(1) 平衡方程平衡方程(2) 几何几何方程方程(3) 本构关系本构关系(4) 边界条件边界条件在求解弹塑性力学边值问题时，还应该注意到下列几个问题：在求解弹塑性力学边值问题时，还应该注意到下列几个问题：例例5.1 图示等截面杆，截面积为图示等截面杆，截面积为A，在在x=a (ab)处作用集中力处作用集中力P，试求弹性试求弹性极限荷载极限荷载Pe和塑性极限荷载和塑性极限荷载Ps。若加载至若加载至Pe P*Ps时卸载，试求残余应力时卸载，试求残余应力和残余应变。材料为理想弹塑性。和残余应变。材料为理想弹塑性。解：解

26、：12NNP平衡方程：平衡方程：12/P A120ab变形协调方程：变形协调方程：理想弹塑性理想弹塑性12120baba 弹性阶段：弹性阶段：11/ E22/ E代入变形协调方程，可得：代入变形协调方程，可得：1(1)sesaPAb时达到弹性极限，故联立平衡方程，可得：联立平衡方程，可得：12,()()PbPaab Aab A 例例5.1 图示等截面杆，截面积为图示等截面杆，截面积为A，在在x=a (ab)处作用集中力处作用集中力P，试求弹性试求弹性极限荷载极限荷载Pe和塑性极限荷载和塑性极限荷载Ps。若加载至若加载至Pe P*Ps时卸载，试求残余应力时卸载，试求残余应力和残余应变。材料为理想

27、弹塑性。和残余应变。材料为理想弹塑性。弹塑性阶段：弹塑性阶段：由由 1= s，并利用平衡方程得，并利用平衡方程得22/ssP AP A卸载：卸载：加载至加载至Pe P*Ps时卸载，即时卸载，即D DP=P*。因卸载符合弹性规律，故因卸载符合弹性规律，故12*,()()P bP aab Aab ADD 22sssPA 时进入塑性流动，故例例5.1 图示等截面杆，截面积为图示等截面杆，截面积为A，在在x=a (ab)处作用集中力处作用集中力P，试求弹性试求弹性极限荷载极限荷载Pe和塑性极限荷载和塑性极限荷载Ps。若加载至若加载至Pe P*Ps时卸载，试求残余应力时卸载，试求残余应力和残余应变。材料

28、为理想弹塑性。和残余应变。材料为理想弹塑性。重点：重点：滑移线的概念及相关公式圣维南原理圣维南原理叠加原理叠加原理滑移线及其性质和滑移线及其性质和特点特点221()21()4CCCCCC沿沿 族滑移线族滑移线沿沿 族滑移线族滑移线Hencky方程方程滑移线滑移线滑移线的性质滑移线的性质(1) 沿着滑移线的压力变化与滑移线和沿着滑移线的压力变化与滑移线和x轴所成的角度变化成比例；轴所成的角度变化成比例；角度愈大角度愈大 滑移线的方向变化得愈大。滑移线的方向变化得愈大。(2) 如果由一条滑移线如果由一条滑移线 l转到另一条滑移线转到另一条滑移线 2 ，则沿任何一个，则沿任何一个 族的族的滑移线而变化的滑移线而变化的 角和压力角和压力 的改变值将保持常数。的改变值将保持常数。1112212 2121112212 2Hencky第一定理第一定理(3) 假定滑移线网格中各点的坐标假定滑移线网格中各点的坐标(x，y)， 值均为已知，则只要知道滑移值均为已知，则只要知道滑移线网格中任何一点的线网格中任何一点的 值，就可定出场内各处的值，就可定出场内各处的 值。值。(4) 如果滑移线的某些线段是直线，则沿着那些直线的如果滑移线的某些线段是直线，则沿着那些直线的 ， ，C ，C ，以，以及应力分量及应力分量