阅读型数学题

1、阅读理解题型一、代数型阅读理解1阅读材料：如果两个正数a，b，即a0，b0，则有下面的不等式：，当且仅当a=b时取等号，我们把叫做正数a，b的算术平均数，把叫做正数a，b的几何平均数，于是上述的不等式可以表述为：两个正数的算术平均数不小于（即大于或等于）他们的几何平均数它在数学中有广泛的应用，是解决最大（小）值问题的有力工具实例剖析：已知x0，求式子的最小值解：令a=x，b=，则由，得，当且仅当x=时，即x=2时，式子有最小值，最小值为4学以致用：根据上面的阅读材料回答下列问题：（1）已知x0，则当x=时，式子取到最小值，最小值为：（2）用篱笆围一个面积为100m2的长方形花园，问这个长方形的

2、长、宽各为多少时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是多少米？（3）已知x0，则x取何值时，式子取到最大值，最大值是多少？变式1通过观察a2+b22ab=（ab）20可知：，与此类比，当a0，b0时，（要求填写），你观察得到的这个不等式是一个重要不等式，它在证明不等式和求函数的极大值或者极小值中非常有用请你运用上述不等式解决下列问题：（1）求证：当x0时，；（2）求证：当x1时，；（3）的最小值是2按照某学者的理论，假设一个生产某产品单件成本为a元，如果他卖出该产品的单价为m元，则他的满意度为；如果他买进该产品的单价为n元，则他的满意度为如果一个人对两种交易（卖出或买进）的满意度分别为h1和h2，则他

3、对这两种交易的综合满意度为现假设甲生产A、B两种产品的单件成本分别为12元和8元，设产品A、B的单价分别为mA元和mB元，甲买进A与卖出B的综合满意度为h（1）求h关于mA、mB的表达式；（2）设mA=3mB，求甲的综合满意度h的最大值（当a、b均为正数时，可以使用公式a+b2）2数学问题：各边长都是整数，最大边长为21的三角形有多少个？为解决上面的数学问题，我们先研究下面的数学模型：数学模型：在1到21这21个自然数中，每次取两个不同的数，使得所取的两个数之和大于21，有多少种不同的取法？为了找到解决问题的方法，我们把上面数学模型简单化（1）在14这4个自然数中，每次取两个不同的数，使得所取

4、的两个数之和大于4，有多少种不同的取法？根据题意，有下列取法：1+4，2+3，2+4，3+2，3+4，4+1，4+2，4+3；而1+4与4+1，2+3与3+2，是同一种取法，所以上述每一种取法都重复过一次，因此共有=4=种不同的取法（2）在15这5个自然数中，每次取两个不同的数，使得所取的两个数之和大于5，有多少种不同的取法？根据题意，有下列取法： 1+5，2+4，2+5，3+4，3+5，4+2，4+3，4+5； 5+1，5+2，5+3，5+4，而1+5与5+1，2+4与4+2，是同一种取法，所以上述每一种取法都重复过一次，因此共有=6=种不同的取法（3）在16这6个自然数中，每次取两个不同的

5、数，使得所取的两个数之和大于6，有多少种不同的取法？根据题意，有下列取法：1+6，2+5，2+6，3+4，3+5，3+6，4+3，4+5，4+6，5+2，5+3，5+4，5+6，6+1，6+2，6+3，6+4，6+5；而1+6与6+1，2+5与5+2，是同一种取法，所以上述每一种取法都重复过一次，因此共有 =9= 种不同的取法（4）在17这7个自然数中，每次取两个不同的数，使得所取的两个数之和大于7，有多少种不同的取法？根据题意，有下列取法：1+7，2+6，2+7，3+5，3+6，3+7，4+5，4+6，4+7，5+3，5+4，5+6，5+7，6+2，6+3，6+4，6+5，6+7，7+1，7

6、+2，7+3，7+4，7+5，7+6；而1+7与7+1，2+6与6+2，是同一种取法，所以上述每一种取法都重复过一次，因此共有=12=种不同的取法问题解决：依照上述研究问题的方法，解决上述数学模型和提出的问题（1）在121这21个自然数中，每次取两个不同的数，使得所取的两个数之和大于21，有种不同的取法；（只填结果）（2）在1n（n为偶数）这n个自然数中，每次取两个不同的数，使得所取的两个数之和大于n，有种不同的取法；（只填最简算式）（3）在1n（n为奇数）这n个自然数中，每次取两个不同的数，使得所取的两个数之和大于n，有种不同的取法；（只填最简算式）（4）各边长都是整数，最大边长为21的三角

7、形有多少个？（写出最简算式和结果，不写分析过程）问题拓展：（5）在1100这100个自然数中，每次取两个不同的数，使得所取的两个数之和大于100，有种不同的取法；（只填结果）（6）各边长都是整数，最大边长为11的三角形有多少个？（写出最简算式和结果，不写分析过程）（7）各边长都是整数，最大边长为31的三角形有多少个？（写出最简算式和结果，不写分析过程）3设x表示不超过x的最大整数，如4.3=4，4.3=5（1）下列各式正确的是（）Ax=|x|Bx=|x|1 Cx=x Dxx+1（2）解方程：2x+1=x（3）已知x，满足方程组，如果x不是整数，求x+y的取值范围变式1阅读下列材料：我们a用表示

8、不大于a的最大整数例如：1.5=1，2=2，1.5=2 用b表示不小于b的最小整数例如：1.5=2，3=4，2.5=2解决下列问题：（1）3.5=，4.5=（2）若a=6，则a的取值范围是，若b=1，则b的取值范围是（3）已知a、b满足方程组，求a、b的取值范围4设a1=3212，a2=5232，an=（2n+1）2（2n1）2（n为大于0的自然数）（1）根据上述规律，求a4，a5的值并写出an+1的表达式；（2）探究an是否为8的倍数，并用文字语言表述你所获得的结论；（3）若一个数的算术平方根是一个正整数（例如1，25，81等），则称这个数是“完全平方数”，试找出a1，a2，an，这一列数中

9、从小到大排列的前4个完全平方数，并指出当n满足什么条件时，an为完全平方数（不必说明理由）22阅读下列解答过程，然后回答问题已知多项式x3+4x2+mx+5有一个因式（x+1），求m的值解法一：设另一个因式为（x2+ax+b），则x3+4x2+mx+5=（x+1）（x2+ax+b）=x2+（a+1）x2+（a+b）x+b，a+1=4，a+b=m，b=5，a=3，b=5，m=8；解法二：令x+1=0得x=1，即当x=1时，原多项式为零，（1）3+4×（1）2+m×（1）+5=0，m=8用以上两种解法之一解答问题：若x3+3x23x+k有一个因式是x+1，求k的值5因为（x+2

10、）（x1）=x2+x2，所以（x2+x2）÷（x1）=x+2，这说明x2+x2能被x1整除，同时也说明多项式x2+x2有一个因式为x1，另外当x=1时，多项式x2+x2的值为0利用上述阅读材料求解：（1）已知x2能整除x2+kx16，求k的值；（2）已知（x+2）（x1）能整除2x44x3+ax2+7x+b，试求a、b的值6请你阅读引例及其分析解答，希望能给你以启示，然后完成对探究一和探究二中间题的解答引例：设a，b，c为非负实数，求证：+（a+b+c），分析：考虑不等式中各式的几何意义，我们可以试构造一个边长为a+b+c的正方形来研究解：如图设正方形的边长为a+b+c，则AB=，B

11、C=，CD=，显然AB+BC+CDAD，+（a+b+c）探究一：已知两个正数x、y，满足x+y=12，求+的最小值：解：（图仅供参考）探究二：若a、b为正数，求以，为边的三角形的面积二、函数型阅读理解1如果10b=n，那么b为n的劳格数，记为b=d（n），由定义可知：10b=n与b=d（n）所表示的b、n两个量之间的同一关系（1）根据劳格数的定义，填空：d（10）=，d（102）=；（2）劳格数有如下运算性质：若m、n为正数，则d（mn）=d（m）+d（n），d（）=d（m）d（n）根据运算性质，填空：=（a为正数），若d（2）=0.3010，则d（4）=，d（5）=，d（0.08）=；（3）

12、如表中与数x对应的劳格数d（x）有且只有两个是错误的，请找出错误的劳格数，说明理由并改正x1.5356891227d（x）3ab+c2aba+c1+abc33a3c4a2b3b2c6a3b2初中我们学过了正弦 余弦的定义，例如sin30°=，同时也知道，sin（30°+30°）=sin60°sin30°+sin30°，根据如图，设计一种方案，解决问题：已知在任意的三角形ABC中，ADBC，BAD=，CAD=，设AB=c，AC=b，BC=a（1）用b，c及，表示三角形ABC的面积S；（2）sin（+）=sincos+cossin3阅读：

13、画函数y=|x|的图象解：当x0时，函数解析式为y=x； 当x0时，函数解析式为y=x，故该函数的图象如图1所示应用：（1）请在图2中画出函数y=|x+1|的图象（2）利用图象，请根据k的取值范围，讨论关于x的方程|x+1|=k的根的个数的情况（只需要写出结论）4我们知道：根据二次函数的图象，可以直接确定二次函数的最大（小）值；根据“两点之间，线段最短”，并运用轴对称的性质，可以在一条直线上找到一点，使得此点到这条直线同侧两定点之间的距离之和最短这种数形结合的思想方法，非常有利于解决一些数学和实际问题中的最大（小）值问题请你尝试解决一下问题：（1）在图1中，抛物线所对应的二次函数的最大值是；（

14、2）在图2中，相距3km的A、B两镇位于河岸（近似看做直线l）的同侧，且到河岸的距离AC=1千米，BD=2千米，现要在岸边建一座水塔，分别直接给两镇送水，为使所用水管的长度最短，请你：作图确定水塔的位置；求出所需水管的长度（结果用准确值表示）（3）已知x+y=6，求+的最小值；此问题可以通过数形结合的方法加以解决，具体步骤如下：如图3中，作线段AB=6，分别过点A、B，作CAAB，DBAB，使得CA=，DB=；在AB上取一点P，可设AP=，BP=；+的最小值即为线段和线段长度之和的最小值，最小值为三、几何型阅读理解1定义：我们把三角形被一边中线分成的两个三角形叫做“友好三角形”性质：如果两个三

15、角形是“友好三角形”，那么这两个三角形的面积相等理解：如图，在ABC中，CD是AB边上的中线，那么ACD和BCD是“友好三角形”，并且SACD=SBCD应用：如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，点E在AD上，点F在BC上，AE=BF，AF与BE交于点O（1）求证：AOB和AOE是“友好三角形”；（2）连接OD，若AOE和DOE是“友好三角形”，求四边形CDOF的面积探究：在ABC中，A=30°，AB=4，点D在线段AB上，连接CD，ACD和BCD是“友好三角形”，将ACD沿CD所在直线翻折，得到ACD，若ACD与ABC重合部分的面积等于ABC面积的，请直接写出ABC的面积2【

16、几何模型】如图（1），ABC中，AB=AC，P为底边BC上任意一点，点P到两腰的距离分别为r1，r2，腰上的高为h，连接AP，则SABP+SACP=SABC即：ABr1+ACr2=ABh，r1+r2=h（定值）【模型应用（1）】：如图（2），在边长为3的正方形ABCD中，点E为对角线BD上的一点，且BE=BC，F为CE上一点，FMBC于M，FNBD于N，试利用上述结论求出FM+FN的长【模型应用（2）】：如图（3），如果把“等腰三角形”改成“等边三角形”，那么P的位置可以由“在底边上任一点”放宽为“在三角形内任一点”，即：已知等边ABC内任意一点P到各边的距离分别为r1，r2，r3，等边ABC

17、的高为h，试证明r1+r2+r3=h（定值）【模型应用（3）】：若正n边形A1、A2An内部任意一点P到各边的距离为r1，r2，rn，请问是r1+r2+rn是否为定值？如果是，请直接写出这个定值如果不是，请说明理由3阅读下面资料：小明遇到这样一个问题：如图1，对面积为a的ABC逐次进行以下操作：分别延长AB、BC、CA至A1、B1、C1，使得A1B=AB，B1C=BC，C1A=CA，顺次连接A1、B1、C1，得到A1B1C1，记其面积为S1，求S1的值小明是这样思考和解决这个问题的：如图2，连接A1C、B1A、C1B，因为A1B=AB，B1C=BC，C1A=CA，根据等高两三角形的面积比等于底之比，所以S=S=S=SABC=a，由此继续推理，从而解决了这个问题（1）请直接写出S1=；（用含字母a的式子表示）请参考小明同学思考问题的方法，解决下列问题：（2）如图3，对面积为a的ABC逐次进行以下操作：分别延长AB、BC、CA至A1、B1、C1，使得A1B=2AB，B1C=2BC，C1A=2CA，顺次连接A1、B1、C1，得到A1B1C1，记其面积为S2，求S2的值（3）如图4，P为ABC内一点，连接AP、BP、CP并延长分别交边BC、AC、AB于点D、E、