抛物线的焦点弦性质

1、二、抛物线的焦点弦性质二、抛物线的焦点弦性质例例1.过抛物线过抛物线y2=2px(p0)的焦点的一条直线和的焦点的一条直线和抛物线相交抛物线相交,两交点为两交点为A(x1,y1)、B(x2,y2),则则(1)|AB|=x1+x2+p (2)通径长为通径长为2 p (3)x1x2=p2/4; y1y2=-p2; (4)若直线若直线AB的倾斜角为的倾斜角为,则则|AB|=2p/sin2 (5)以以AB为直径的圆与准线相切为直径的圆与准线相切.(6)焦点焦点F对对A、B在准线上射影的张角为在准线上射影的张角为90o。OyABF112(7)AFBFpx xy yo oAABBFxOyABF过抛物线过抛

2、物线y2=2px(p0)的焦点的一条直线和抛物线的焦点的一条直线和抛物线相交相交,两交点为两交点为A(x1,y1)、B(x2,y2),则则(1)|AB|=x1+x2+p (2)通径长为通径长为2pAXyOFBl lA1M1B1M过抛物线过抛物线y2=2px(p0)的焦点的一条直线和抛物线相交的焦点的一条直线和抛物线相交,两两交点为交点为A(x1,y1)、B(x2,y2),则则(5)以以AB为直径的圆与准线相切为直径的圆与准线相切.222111证明：如图，AABBAFBFABMM故以故以AB为直径的圆与准线相切为直径的圆与准线相切.XyFAOBA1B1过抛物线过抛物线y2=2px(p0)的焦点的

3、一条直线和抛物线相交的焦点的一条直线和抛物线相交,两两交点为交点为A(x1,y1)、B(x2,y2),则则(6)焦点焦点F对对A、B在准线上射影的张角为在准线上射影的张角为90o。12345600023563518049090AFB 证明：如图，1=， 4=，又 14，1，即过抛物线过抛物线y2=2px(p0)的焦点的一条直线和抛物线相交的焦点的一条直线和抛物线相交,两两交点为交点为A(x1,y1)、B(x2,y2),则则(3)x1x2=p2/4; y1y2=-p2; 证明：思路分析：韦达定理证明：思路分析：韦达定理01ABx当轴时，pppp易得A（ ， ），B（ ，- ），2222224py

4、px11y-，x；02 AB斜率存在时设为k，（k0）p则直线AB方程为y=k（x- ）22px2代入抛物线方程y22202yppyppkk22消元得y（）即y22yp1y-；222112224yypxpp1xxOyABF2222212224212222()2220(2244ypxpyp mypxmyypmypy ypyyppppp 12即：（定值）x x定值）2pABxmymR设方 程法 二 ： 由 题 知 AB不为， （与 x轴 平 行）xOyABFQPBA,为点作准线的垂线，垂足，解：过)0 ,2(),2(),2(21pFypQypPQFPF 0QFPF0),(),(21ypyp即021

5、2yyp221pyy即4221pxx易得：FxOyABPQ过抛物线过抛物线y2=2px(p0)的焦点的一条直线和抛物线相交的焦点的一条直线和抛物线相交,两两交点为交点为A(x1,y1)、B(x2,y2),则则(3)x1x2=p2/4; y1y2=-p2; 法法3：利用性质焦点：利用性质焦点F对对A、B在准线上射影的张角为在准线上射影的张角为90 。代入抛物线得代入抛物线得y2ms，练习练习 (1).若直线过定点若直线过定点M(s,0)(s0)与抛物线与抛物线y2=2px(p0)交于交于A(x1,y1)、B(x2,y2),求证求证:x1x2=s2;y1y2=-2ps.证明：设证明：设AB 的方程

6、为的方程为=ms（m）2222121222224yypsx xsppp（）122syyp (2). 若直线与抛物线若直线与抛物线y2=2px(p0)交于交于A(x1,y1)、B(x2,y2),且有且有x1x2=s2;y1y2=-2ps.求证：直线过定点求证：直线过定点 (s,0)(s0)证明证明：21122222ypxypx1212122AByypkxxyy相减得11122pAByyxxyy直线方程为（）21121022yyy ypxpx令得2112ypx12因为，y y =-2ps代入上式得0 xsABs 直线必过点（ ， ）lyy2=2pxAMxB过抛物线过抛物线y2=2px(p0)的焦点

7、的一条直线和抛物线相交的焦点的一条直线和抛物线相交,两两交点为交点为A(x1,y1)、B(x2,y2),则则(4)若直线若直线AB的倾斜角为的倾斜角为,则则|AB|=2p/sin2 xOyABF证明证明: 思路分析思路分析|AB|=|AF|+|BF|= 12xxp0190pp20（）时，k不存在，pp易得A（ ， ），B（ ，- ），222pAB =2P=sin 9002290tantankyxpx12p（ ）时，斜率，直线方程为（）22p然后联立方程组用韦达定理得 ABxsin思考：焦点弦何时最短？思考：焦点弦何时最短？过焦点的所有弦中，通径最短过焦点的所有弦中，通径最短1212121212

8、1222212121212127)221111222222()()244422()2ppAFXBFXppXXppppAFBFXXXXxxpxxppppppx xxxxxxxpppxxpxOyABF过抛物线过抛物线y2=2px(p0)的焦点的一条直线和抛物线相交的焦点的一条直线和抛物线相交,两两交点为交点为A(x1,y1)、B(x2,y2),则则112AFBFp例例2.过抛物线过抛物线y2=2px(p0)的焦点的焦点F的一条直线和的一条直线和抛物线相交于抛物线相交于A(x1,y1)、B(x2,y2),(1)AO交准线于交准线于C,则直线则直线CB平行于抛线的对称轴平行于抛线的对称轴.222212

9、12:,2,220.ABpxmyypxypmypAyByy yp 12证明 设直线的方程代入得设（x， ），（x ， ）则xC1111ypyppy=，x=-联立得（-，-）x222x121221y yypyy11c211pypyy-y2x22p|BCX轴yFABCO例例2.过抛物线过抛物线y2=2px(p0)的焦点的焦点F的一条直线和的一条直线和抛物线相交于抛物线相交于A(x1,y1)、B(x2,y2),(2)过过B作作BC准线准线l,垂足为垂足为C,则则AC过原点过原点O共线共线. 22221212:,2,220.ABpxmyypxypmypAyByy yp 12证明 设直线的方程代入得设（

10、x， ），（x ， ）则|BX轴2Cyp（-， ），221pCyp即（-，）2221111111212OApyyypkpyxyxOCk|OC OAO且共点 ，ACO直线过点yFABCO例例3.3. A、B是抛物线是抛物线 y2 = 2px(p0)上的上的两点，且两点，且OAOB， 1. 求求A、B两点的横坐标之积和纵坐标之积；两点的横坐标之积和纵坐标之积； 2. 求证：直线求证：直线AB过定点；过定点； 3. 求弦求弦AB中点中点P的轨迹方程；的轨迹方程； 4. 求求AOB面积的最小值；面积的最小值； 5. 求求O在在AB上的射影上的射影M轨迹方程轨迹方程.二、抛物线中的直角三角形问题二、抛物

11、线中的直角三角形问题例例3.3. A、B是抛物线是抛物线 y2 = 2px(p0)上的两点，且上的两点，且OAOB， (1) 求求A、B两点的横坐标之积和纵坐标之积；两点的横坐标之积和纵坐标之积； 解答解答 (1)设设A(x1, y1)，B(x2, y2)，中点，中点P(x0, y0)， 2211,xykxykOBOA OAOB kOAkOB=-1， x1x2+y1y2=0 y12 = 2px1，y22 = 2px2 022212221 yypypy y10, y20, y1y2= 4p2 x1x2=4p2.例例3.3. A、B是抛物线是抛物线 y2 = 2px(p0)上的两点，且上的两点，且

12、OAOB，(2) 求证：直线求证：直线AB过定点；过定点；解答解答(2) y12=2px1，y22=2px2 (y1 y2)(y1+y2) = 2p(x1 x2)2121212yypxxyy 212yypkAB )(2:1211xxyypyyAB 直直线线21112122yypxyyypxy 21211212122yyyypxyyypxy 2211214,2pyypxy 2122142yypyypxy )2(221pxyypy AB过定点过定点T(2p, 0).)2,2(2kpkpA同理，同理， 以代以代k得得B(2pk2, -2pk) .k1 )1()1(0220kkpykkpx例例3.3.

13、 A、B是抛物线是抛物线 y2 = 2px(p0)上的两点，且上的两点，且OAOB， (3) 求弦求弦AB中点中点P的轨迹方程；的轨迹方程； 2)1(1222kkkk2)(200 pypx即即 y02 = px0-2p2， 中点中点M轨迹方程轨迹方程 y2 = px-2p2(3)设设OA y = kx，代入，代入y2=2px 得得: k 0， |)|(|)|(|212121yypyyOTSSSBOMAOMAOB(4)2214|2pyyp 当且仅当当且仅当|y1|=|y2|=2p时，等号成立时，等号成立. 例例3.3. A、B是抛物线是抛物线 y2 = 2px(p0)上的两点，且上的两点，且OA

14、OB，(4)求求AOB面积的最小值；面积的最小值；(5)法一：设法一：设M(x3, y3), 则则 33xykOM33yxkAB )(:3333xxyxyyAB 得代入即pxyxyyxyx2)(23333, 02223323332pxxpyyxpyy例例3.3. A、B是抛物线是抛物线 y2 = 2px(p0)上的两点，且上的两点，且OAOB，(5)求求O在在AB上的射影上的射影M轨迹方程轨迹方程.由由(1)知，知，y1y2=-4p2， 23323422ppxxpy 整理得：整理得：x32+y32 -2px3=0， 点点M轨迹方程为轨迹方程为x2+y2-2px=0(去掉去掉(0, 0). M在以在以OT为直径的圆上为直径的圆上 点点M轨迹方程为轨迹方程为(x-p)2+y2=p2, 去掉去掉 (0, 0). 评注：此类问题要充分利用评注：此类问题要充分利用(2)的结论的结论. OMT=90 , 又又OT为定线段为定线段法二：法二： AB过定点过定点T(2p, 0).7.7. A、B是抛物线是抛物线 y2 = 2px(p0)上的两点，且上