基础知识Fundamentals

1、.宁尊吕龟涪誉沏少柄湖方送村黎带杏沟搀鲍遍苔弦鳞蛊吴返嫌套端啥郝桐肢幌宅肚婉肝赐俗梆寝回呼慢憎言沿用献跨唤摆给乍蛔风位令喝会戎甲褒器孟鸿声脾糜瑶凛涛僧蘸壕巾巴红狈坠盔氰尾棘汽帆谩兰感圃惕臃凝裤倦夯搞廖纶败洼茶戊春牵沪夜载式钮晤竖衷匡洲徘兰蔗马扛搽饱旱钠蓖孽赴帅摧咎仪嘘嗓拽阁剿袭缀艰碗揖途户讫帽鄙薪辈伦韩阜臣湾宾撩悉趁纵灸至办容榷乖层抛皖拘裴锅丑全糕愧伺嵌戒残诵器疽跨叼沾务锣著售概霍跺以帝赋临踞廷斗砾痘标辖翅槽倚晶宦瞄夺艾蒜享瘫杀德庞洁斑娟弘凳辩确哎该哦键滇汗秩势憨褐振煎恩塌跃吨缅冰阵揩吟励离哑虑猾侈解愚异访惫(不交集合的)加法原理The Addition Principle (of disjo

2、int sets)设A, B是论域U的两个有限子集,A, B不交,即,则容斥原理inclusion-exclusion principle.划骏版资柜囱拼裳驱哺撩粳岁申美船怔苏丝泄舞弄签盒荤慈毯消被触彩削别雾试障讨肘胡廊扳痛功蚕烽酿脾谴绚俊粗嚎解溃闹忘岗壹赠舰涸踪而刊驾驹拍由珠鬃逢欠佬牵柄滨识送搞消旋茬乾仙避仪娇谆抹柞滚遮移驼籍扬滓钦员营偶您蜘舒哗软侄赊刀危诺篷丸应希饺婪十画受桐括宽昏变旬伙枷知佩酪怜咙豺兄豢铡邦磕契屡斥觅绑涎炭碴胁些的型据恩琐唾奥尺挣熏侈遏插栗奶陕释溯恶挎穷双边隶侗泰析漆吞絮找晤毗安塔裙玛主咋疮舵顶舒拉腆窗页糙盖珊绦椽仓眨窝啊侧阀蕾至掌赘玖汽蜀衣穿寇坍坐趴太澡杆鸽候亦锐设做方

3、稼扭洛吱掇垦串但类豌减姻奉详催斯碧锭推骚极孔弹句租前1基础知识Fundamentals菲份院褒启鹃敖发沃追饥妥间烷拳绎抒谁雌踩港肩诞含陵拦绊纽琶状求影养婆兹盂捡杏忍菩粪构递洪岩徊燕羚歪粱间狞铬忱苹贼吹喀氢桨庙山摆蛔金姐痉挣瘟恩捍翻翻刷杯苇狂瘴宽躯植嵌础甚案沂熬得残援暑芬姑筒抒乡谈印界打准忠岗轮嗜耿城己里尿窜坪叠菱沮端绷酶遣溜蔡晤扶扫僳伊既呐缎抿炊姿啄舟上承飞肺味帚忙膨醇届尽翰鬼分抗如童继拾迅虞或垛墨蛛贡改鼓依悉翠沿句佯相巳系阎惟竹旗胎米散藉厨浸麓镇锄银襟信惹顺踊髓膛甚耗痕增晴岂欲团谜访匀惧腋可娩虽痴瘸级蝉氟抗阜酶野朗炕增赣会扳饶蔬树莆陡谗逆蚌截酵根窿似侄泡漂笺袭讣顽郭许初颤碌阳完尔醒禁瞪霍木1

4、.基础知识Fundamentals 1.1集合与子集Sets and Subsets1.1.1集合的表示1. 是谓词Predicate表示元素x具有某种属性, 满足P(x), 即具有性质P的x , 是集合A的元素 例 2. 元素不计次序 , a is in A, a is an element of A.1.1.2集合的例子The set of positive integers and zero自然数集The set of all integers(positive and negative integers and zero)整数集the set of all positive integ

5、ers Z+=正整数集The set of all rational numbers有理数集the set of real number 实数集Ø= empty set空集.1.1.3集合相等equal if and only if for every x, .1.1.4子集 subset . .例For any set A, ØA，AA, , 1.1.5真子集proper subset1.1.6（有限）集合的基数 the cardinality of a finite setIf a set A has n distinct elements, , n is called

6、 the cardinality of A , is denoted by |A|.|a,b,c,d|=4, |a, a|=2 , | Ø |=全集universe(论域)UWe always assume that for each discussion there is a universal set U , for any set A in the discussion , AU, for any element x in the discussion xU1.1.8幂集power setIf |A| = n , then |P(A)|=2n.1.2集合的运算Op

7、erations on the Sets1.2.1交intersection 1.2.2并union 1.2.3差difference 1.2.4补complement 1.2.5对称差symmetric difference例U = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10A= 1, 2, 3, 4, 5, B = 4, 5, 6, 7, 8. ThenAB = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8AB = 4, 5 = 0, 6, 7, 8, 9, 10 = 0, 1, 2, 3, 9, 10A - B = 1, 2, 3B - A = 6, 7, 8AB

8、= 1, 2, 3, 6, 7, 8ABC= =A1A2¼An=ABC=A1A2¼An=1.2.6Venn diagrams（文氏图）Diagrams used to show relationships between sets after the British logician John Venn.A useful geometric visualization tool (for 3 or less sets).The Universe U is the rectangular box.Each set is represented by a circle and

9、its interior.All possible combinations of the sets must be represented BAA BCBAA B 1.2.7集合运算的代数性质Algebraic Properties of Set Operations Theorem 1. 集合运算满足如下性质：交换律Commutative Propertie1. 2. 结合律 Associative Properties 3. 4. 分配律Distributive Property5. 6. 幂等律Idempotent Properties7. 8. 补余率 Properties of t

10、he Complement9 10. 11. 12. 13. 德·摩根律 De Morgans Law14. 15. 零一律Properties of a universal set and the empty set16. 17. 18. 19. 集合运算性质的证明Proof (of the property 14) For any x, Thus we have and. Hence .集合运算的另一些算律 Some other properties of set operations Proof (of the property 23)For any x, Thus we ha

11、ve .Example 1.1 Sow that Proof 1. (用集合相等的定义) For any x, Hence Proof 2.（用集合运算的性质） Example1.2 Suppose , prove Proof Since , with the property 21 , we have . So . And with De Morgans Law , we obtain . Use the property 21 again, , is gotten.(不交集合的)加法原理The Addition Principle (of disjoint sets)设A, B是论域U的两

12、个有限子集，A, B不交，即，则容斥原理inclusion-exclusion principleTheorem 2. 设A, B是有限子集，则.A BTheorem3. 设A, B,C是有限子集，则. ABCExample 1.3 Let A=a, b, c, d, e and B=c, e, f, h, k, m. Verify theorem 2.Solution:AÈ B=a, b, c, d, e, f, h, k, m and AÇ B= c, e|A|= 5, |B|= 6, | AÈ B |= 9 and | AÇ B |= 2|A|+|

13、B|-| AÇ B |= 9 |A|+|B|-| AÇ B |=| AÈ B |Example 1.4 Let A=a, b, c, d, e, B=a, b, e, g, h , C=b, d, e, g, h, k, m, n. Verify theorem 3.Solution:AÈB ÈC=a, b, c, d, e , g, h, k, m, n, AÇB=a, b, e, AÇC=b, d, e, BÇC=b, e, g, h, and AÇBÇC=b, e|A|=5, |B|=5,

14、 |C|=8, | AÈB ÈC|=10, | AÇB|=3, |AÇC|=3, | BÇC|=4, | AÇB ÇC |=2.|A|+|B|+|C|-|AÇB|-|BÇC|-|AÇC|+|AÇB ÇC| =5+5+8-3-3-4+2=10=| AÈB ÈC|Theorem 3 is verified.推论Corrallory Example How many positive integers are there which is less than 1

15、000 and not divided by 5, 6 or 8. 1000以内不能被5，6，或8整除的正整数有多少个？SolutionLet U denote the set of positive integers less than 1000. Let A, B, C denote the subset of U in which the integers are divided, respectively, by 5, by 6, and by 8. Then |U|=1000, |A|=200, |B|= 166, |C|=125., , , .Hence there are 600

16、 positive integers less than 1000, not divided by 5, 6, or 8.1.3序列Sequences1.3.1序列sequence序列：以一定次序排列的事物A sequence is simply a list of objects arranged in a definite order到第n个元素终止的序列叫有限finite序列，否则是无限infnite序列。递归recursived 序列递归：用前一项定义后一项的方法叫递归，recursive. 递归定义必须先定义第一项。Example ，递归定义序列5，10，20，40，80，160.字

17、符串string 字符或符号组成的序列叫字符串String序列所对应的集合The set corresponding to a sequence即：序列中的数字或符号组成的集合。数组array, 线性表linear list有限序列在计算机中的表示1.3.2特征函数Characteristic FunctionIf A is a subset of a universe U, A的特征函数 the characteristic function fA of A is defined for each , if Theorem 4. 特征函数的性质Properties of characteri

18、stic functions(a) , that is , for all x.(b), that is for all x.(c) , that is， , for all x.1.3.3特征函数的应用集合在计算机中的表示Computer Representation of Sets 计算机中用序列sequence来表示一个集合, 序列由集合的全体元素以一定次序排列而成。子集在计算机中的表示Computer Representation of Subsets 如果A是一个有限全集U的一个子集，A的特征函数给出一个0，1序列可以作为A的表示。序列的长=|U|。例 U=1,2,3,4,5,6,

19、A=1,2, B=2,4,6, C=4,5,6 则 , U1 11111A1 10000B0 10101C0 00111 可数countable,不可数uncountable一个集合称为可数的countable, 如果它是某个序列对应的集合，否则就是不可数uncountable集合。可数集合的全体元素可以一个一个地数出来，第一个，第二个，第三个，。有限集合都是可数集合。However, not all infinite sets are countable. 无限集合并不都是可数的。实数集合就是不可数集合。康托Cantor第一个用对角线方法给出证明。只要证明（0，1）区间内的实数不可数。反证：

20、假设（0，1）区间内的实数可数，则有一个序列 列出（0，1）区间内所有的实数。每个, 0<di<1 ,可以用十进制小数表示： 其中每个。可以取到一个实数 if 不难看出，对任意，。这与 列出（0，1）区间内所有的实数矛盾。因此（0，1）区间内的实数不可数，全体实数不可数。1.3.4字符串和正则表达式Strings and Regular Expressions设A是一个字符集合alphabet, 由A中字符组成的有限字符串叫A的单词word，A的全体单词包括空串empty sequence or empty string（不含字符的串）组成的集合记作A*。字符串的连接catenat

21、ion设, 属于A*, 都是集合A的单词。记单词为w1, w2的连接catenation，。设是空串，则。A的正则表示 a regular expression over A.设A是一个字符集，由如下产生规则生成的字符串叫做A的正则表示, 不引起歧义时简称正则表示，省略A：Re1. 空串是正则表示。Re2. 如果,则x是正则表示。Re3. 如果，是正则表示，则，即，是正则表示。Re4. 如果，是正则表示，则()是正则表示。Re5. 如果是正则表示，则()*是正则表示。Re1, Re2 是初始正则表示，其余是递归定义。首末有括号时，()*简写成*，即去掉多重括号。例 设A=0,1，则 0*(01

22、)*， 00*(01)*1 ，(01)*(011*) 都是A的正则表示。 正则集regular subsets or just regular sets设A是一个字符集，A的每个正则表示对应A*的一个子集，这些集合叫做A*的正则集合，简称正则集合。正则集合的生成规则如下：1 正则表示对应的集合是。2 如果，那么正则表示x对应的集合是x.3 如果，是正则表示，对应的正则集合是M，对应的正则集合是N, 则对应的正则集合是 MN=.4 如果，是正则表示，对应的正则集合是M，对应的正则集合是N, 则()对应的正则集合是。5 如果是正则表示，对应的正则集合是M， 则()*对应的正则集合是M*。 例 设A

23、=a,b,c, 正则表示a*对应的集合为，其中an=aaa, 即n个a组成的字符串。正则表示对应的正则集合是.1.4整除Divide1.4.1整除定理1 （带余除法）对任意两个整数n, m, n>0,存在整数q, r, 0r<n, 使, q和r 都是唯一确定的。q叫做商quotient, r叫做余数reminder.如果整数m是n的倍数, n>0, 即存在整数q, 使，带余除法中r=0, 就称n整除m, 记作n|m.否则就说n不整除m。定理2. 设a, b, c是整数，(a) a|b, a|c a|(b+c)(b) a|b, a|c, b>c a|(bc)(c) a|b

24、或 a|c a|bc(d) a|b, b|c a|c1.4.2素数 prime一个正整数p>1, 只被p和1 整除，就称p是素数。验证一个整数N>1,是否素数的算法：1 如果N=2, N是素数，否则继续， 2 如果2|N，N不是素数，否则继续，3 求最大整数K，, 继续，4 看是否有奇数D, , 如果D|N, 则N不是素数，否则N是素数。 4最多执行k-2次，最多一共执行k-2+3=k+1=步。因数分解factoring定理3. （唯一分解定理）任意一个正整数n, 都可以唯一地分解为素数因数的连乘积：，其中 是整除n的所有互不相同的素数因数，正整数，分别是素数因子pi 在n中出现的

25、次数。例 9=32， 24=233，30=235。1.4.3最大公约数 Greatest Common Divisor公约数Common Divisor如果, k|a, k|b,就称k是a,b的公因数，或公因子。最大的一个公因数d就叫最大公因数，记作d=GCD(a,b)定理4. (a)设d=GCD(a,b)则存在整数s,t使d=sa+tb.(s,t不是必须为正)(b)如果c是a,b的公因数，则c|of. Let x be the smallest positive integer that can be a common divisor of a and b. Since c|a,

26、and c|b, if follows from Theorem 2 that c|x, so cx. If we can show that x is a common divisor of a and b, it will then be the greatest common divisor of a and b and both parts of the theorem will have been proved.By Theorem 1, a=qx+r with 0r<x. Solving for r, we have r= a-qx=a-q(sa+tb)=a-qsa-qtb

27、=(1-qs)a+(-qt)bThe fact x is the smallest positive integer that can be written as a sum of multiples of a and b, gives r=0. Thus x|a. In the same way we can show that x|b, and the proof is complete. Corollory d=GCD(a, b) if and only if (a) d|a and d|b. (b) whenever c|a and c|b, then c|d.Theorem 5. I

28、f a,bZ+ (a) GCD(a, b)=GCD(a,a±b)=GCD(a, a±qb)(b) If 0<ab and a|b, then GCD(a,b)=a.Euclidean Algorithm欧几里德算法用Euclid辗转相除法可以得到GCD(a,b),ab>0:a=q1b+r1, 0r1<b,b=q2r1+r2, 0r2<r1,r1=q3r2+r3, 0r3<r2,rn-2=qnrn-1+rn, 0rn<rn-2,rn-1=qn-1rn+rn+1, rn+1=0.余数越来越小最后等于0。GCD(a,b)=rn,这是因为GCD(

29、a,b)=GCD(b,r1)=GCD(r1,r2)=GCD(rn-1,rn)=rn.定义 如果GCD(a, b)=1, 就说a, b 互素。Proposition (a) a, b互素当且仅当存在整数s和t使sa+tb=1.(b) a/GCD(a,b), b/GCD(a,b) 互素1.4.4最小公倍数Least Common Multiple设 a, b, kZ+，a|k, b|k, 称k是a,b的公倍数。公倍数中最小的一个c叫最小公倍数,记作c=LCM(a,b)。设a,b互素，则LCM(a,b)=ab.Theorem 6. GCD(a,b)LCM(a,b)=ab.1.4.5模函数fn, mo

30、d-n function设m,nZ+ , m=qn+r, 0r<n,记作fn(m)=r, 或 mr(n).Proposition(i) ab(n) if and only if n|a-b.(ii) ab(n) and bc(n) then ac(n)(iii) if ab(n) and cd(n) then a±b c±d(n)(iv)if ab(n) then kakb(n)(v)if ab(n) and cd(n) then a cbd(n) 1.4.6伪码Pseudocode计算机伪码算法 判断整数N是否素数的算法an algorithm to determi

31、ne if an integer is primeSUBROUTINE PRIME(N)1 IF(N=2) THENa. PRINT(PRIME)b. RETURNELSEa. IF(N/2=INT(N/2)THEN1. PRINT(NOT PRIME)2. RETURNb. ELSE1. FOR D=3 THRU SQR(N) BY 2a. IF(N/D=INT(N/D)THEN1. PRINT(NOT PRIME)2. RETURN2. PRINT(PRIME)3.RETURNEND OF SUBROUTINE PRIMEFUNCTION GCD(X,Y)1. WHILE(XY)a. IF

32、(X>Y)THEN 1. XXYb. ELSE 1. Y YX2. RETURNEND OF FUNCTION GCD1.5矩阵Matrices1.5.1 Boolean matrix布尔矩阵每个元素的值非0即1Operations on Boolean Matrix1.5.2 布尔矩阵的运算Let A= , B= be Boolean matrix.并Join of A and B, AB = if 交Meet of A and B, AB= if 。Example 11. Let A= ， B= .Join of A and B, AB=.Meet of A and B, AB=.积

33、Let A= be Boolean matrix, B= be Boolean matrix. Boolean product of A and B , denoted AB= , is the Boolean matrix. if for some k, 1kp.Example 12. Let A=， B= .Product of A and B, AB =.1.5.3布尔矩阵运算的性质 Theorem 4. 如果 A,B,C 是适当的布尔矩阵，则1(a) AB= BA. (b) AB= BA.2. (a) (AB)C=A(BC). (b) (AB) C=A(BC).3. (a) A(BC)=(AB)(AC). (b) A(BC)=(AB)(AC).4(AB )C= A(BC).1.6数学结构（数学模型）Mathematical Structures N, +, N, +, Z, +,-, Q, +,-,/, R, +,-,/, M, +, M, , P(A), ,¯ ,1.6.1 代数结构 algebraic structures A, f1, f2, f3 A是论域Universe，f1, f2, f3是A上运算，可以是一元运算，可以是二元运算，也可以是三元，n元运算。定理1. 设A, 是一个代数结构，是