大一高等数学第五章定积分习题

1、问题问题1:1:曲边梯形的面积曲边梯形的面积问题问题2:2:变速直线运动的路程变速直线运动的路程存在定理存在定理广义积分广义积分定积分定积分定积分定积分的性质的性质定积分的定积分的计算法计算法牛顿牛顿- -莱布尼茨公式莱布尼茨公式)()()(aFbFdxxfba 一、主要内容一、主要内容1 1、问题的提出、问题的提出实例实例1 （求曲边梯形的面积（求曲边梯形的面积A）iniixfA )(lim10 曲曲边边梯梯形形由由连连续续曲曲线线)(xfy )0)( xf、x轴轴与与两两条条直直线线ax 、bx 所所围围成成.实例实例2 （求变速直线运动的路程）（求变速直线运动的路程）iniitvs )(

2、lim10 设设某某物物体体作作直直线线运运动动，已已知知速速度度)(tvv 是是时时间间间间隔隔,21TT上上t的的一一个个连连续续函函数数，且且0)( tv，求求物物体体在在这这段段时时间间内内所所经经过过的的路路程程 S.方法方法:分割、求和、取极限分割、求和、取极限.2 2、定积分的定义、定积分的定义设设函函数数)(xf在在,ba上上有有界界，在在,ba中中任任意意若若干干若若干干个个分分点点bxxxxxann 1210把把区区间间,ba分分成成n个个小小区区间间，各各小小区区间间的的长长度度依依次次为为1 iiixxx，), 2 , 1( i，在在各各小小区区间间上上任任取取一一点点

3、i （iix ），定义定义,12110nnxxxxxx 怎怎样样的的分分法法， baIdxxf)(iinixf )(lim10 .也也不不论论在在小小区区间间,1iixx 上上的的取取法法，只只要要当当0 时时，和和S总趋于总趋于确确定定的的极极限限I，在区间在区间,ba上的上的定积分定积分，记为记为记记,max21nxxx ，如如果果不不论论对对,ba我我们们称称这这个个极极限限I为为函函数数)(xf作作乘乘积积iixf )( ), 2 , 1( i点点i 怎怎样样并并作作和和iinixfS )(1 ，可积的两个可积的两个条件：条件： 当当函函数数)(xf在在区区间间,ba上上连连续续时时，

4、定理定理1定理定理2 设设函函数数)(xf在在区区间间,ba上上有有界界，称称)(xf在在区区间间,ba上上可可积积.且且只只有有有有限限个个间间断断点点，则则)(xf在在区区间间,ba上上可可积积.3 3、存在定理、存在定理4 4、定积分的性质、定积分的性质 badxxgxf)()( badxxf)( badxxg)(性质性质1 babadxxfkdxxkf)()( (k为为常常数数)性质性质2 badxxf)( bccadxxfdxxf)()(假假设设bca 性质性质3 则则0)( dxxfba )(ba 性质性质5如如果果在在区区间间,ba上上0)( xf，推论：推论：则则dxxfba

5、)( dxxgba )( )(ba 如如果果在在区区间间,ba上上)()(xgxf ，（1）dxxfba )(dxxfba )()(ba （2）dxba 1dxba ab 性质性质4如果函数如果函数)(xf在闭区间在闭区间,ba上连续，上连续，则在积分区间则在积分区间,ba上至少存在一个点上至少存在一个点 ， 使使dxxfba )()(abf )(ba 性质性质7 (定积分中值定理定积分中值定理)设设M及及m分别是函数分别是函数 则则 )()()(abMdxxfabmba . )(xf在在区区间间,ba性质性质6上的最大值及最小值，上的最大值及最小值，积分中值公式积分中值公式5 5、牛顿、牛顿

6、莱布尼茨公式莱布尼茨公式 如果如果)(xf在在,ba上连续，则积分上限的函数上连续，则积分上限的函数dttfxxa )()(在在,ba上具有导数，且它的导数上具有导数，且它的导数是是 )()()(xfdttfdxdxxa )(bxa 定理定理1定理定理2（原函数存在定理）（原函数存在定理） 如果如果)(xf在在,ba上上连续，则积分上限的函数连续，则积分上限的函数dttfxxa )()(就是就是)(xf在在,ba上的一个原函数上的一个原函数.定理定理 3（微积分基本公式）（微积分基本公式） 如如果果)(xF是是连连续续函函数数)(xf在在区区间间,ba上上的的一一个个原原函函数数，则则 )()

7、()(aFbFdxxfba .)()(babaxFdxxf 也可写成也可写成牛顿牛顿莱布尼茨公式莱布尼茨公式.,:上上的的增增量量它它的的任任一一原原函函数数在在区区间间上上的的定定积积分分等等于于一一个个连连续续函函数数在在区区间间表表明明baba6 6、定积分的计算法、定积分的计算法 dtttfdxxfba )()()(换元公式换元公式（1）换元法）换元法（2）分部积分法）分部积分法分部积分公式分部积分公式 bababavduuvudv、广义积分、广义积分(1)无穷限的广义积分无穷限的广义积分 adxxf)( babdxxf)(lim当当极极限限存存在在时时，称称广广义义积积分分收收敛敛；

8、当当极极限限不不存存在在时时，称称广广义义积积分分发发散散. bdxxf)( baadxxf)(lim(2)无界函数的广义积分无界函数的广义积分 badxxf)( badxxf )(lim0当当极极限限存存在在时时，称称广广义义积积分分收收敛敛；当当极极限限不不存存在在时时，称称广广义义积积分分发发散散. badxxf)( badxxf)(lim0 badxxf)( cadxxf)( bcdxxf)( cadxxf)(lim0 bcdxxf )(lim0例例1 1解解.2sin120 dxx求求 20cossindxxx原原式式 2440)cos(sin)sin(cosdxxxdxxx. 22

9、2 二、典型例题二、典型例题例例2 2解解.cossinsin20 dxxxx求求,cossinsin20 dxxxxI由由,cossincos20 dxxxxJ设设,220 dxJI则则 20cossincossindxxxxxJI 20cossin)sin(cosxxxxd. 0 ,22 I故得故得.4 I即即例例3 3解解.12ln02 dxex求求,sintex 令令.sincos,sinlndtttdxtx 则则 62)sincos(cosdtttt原原式式 262sincosdtttxt02ln2 6 2626sinsintdttdt.23)32ln( 例例4 4解解.2sinln

10、40 xdx求求,2tx 令令.sinln212sinln2040 tdtxdx 402sinlnxdxI 40)cossin2ln(dxxx 40)coslnsinln2(lndxxx 2440sinlnsinln2ln4xdxxdx 20sinln2ln4xdxI22ln4 . 2ln4 I例例5 5. )1(ln1sin212128 dxxxx求求解解dxx 2121)1ln(0原式原式dxxdxx 210021)1ln()1ln(.21ln23ln23 例例6 6.,1min222 dxxx求求解解 1,11,1min22xxxxxx是偶函数是偶函数,dxxx,1min2220 原原式

11、式 21102122dxxdxx. 2ln232 例例7 7.)()1(,)(102022 dxxfxdyexfxyy求求设设解解 10022)1(2dxdyexxyy原原式式 10231002322)1(31)1(31dxexdyexxxxyy 1021)1(2)1()1(612xdexxux 2)1(令令 016duueeu).2(61 e例例8 8.cos1)(sin2cos1)(sin:, 0)(0202 dxxxfdxxxxfxf证证明明上上连连续续在在设设证证, tx 令令)(cos1)(sin)(02dtttft 左左边边,dtdx dxxxfx 02cos1)(sin)(dxx

12、xxfdxxxf 0202cos1)(sincos1)(sindxxxfdxxxxf 0202cos1)(sincos1)(sin2即即.cos1)(sin2cos1)(sin0202dxxxfdxxxxf 例例9 9.)()()(. 0)(,)(2abxfdxdxxfxfbaxfbaba 证证明明上上连连续续，且且在在区区间间设设证证作辅助函数作辅助函数,)()()()(2axtfdtdttfxFxaxa )(2)(1)()(1)()(axxfdttfdttfxfxFxaxa ,2)()()()( xaxaxadtdtxftfdttfxf0)2)()()()()( dtxftftfxfxFx

13、a即即2)()()()( xftftfxf, 0)( xf.)(单调增加单调增加xF, 0)( aF又又, 0)()( aFbF.)()()(2abxfdxdxxfbaba 即即例例1010.123)2(;94)1(:2122 xxxdxxxdx求下列广义积分求下列广义积分解解 (1) 02029494xxdxxxdx原原式式 bbaaxdxxdx02025)2(lim5)2(limbbaaxx0052arctan51lim52arctan51lim .5 (2),1231lim)(lim211 xxxxfxx.)(1的瑕点的瑕点为为xfx 2120123lim xxxdx原原式式)11(2)

14、11(lim21220 xxd210211arcsinlim x.43arcsin2 一、一、 选择题：选择题： 1 1、 2222221limnnnnnnnn ( ( ) ) （A A）0； （B B）21； （C C）4 ； （D D）2 . . 2 2、 xdttdxd02)1ln(= =（ ） （A A）)1ln(2 x； （B B）)1ln(2 t； （C C）)1ln(22 xx； （D D）)1ln(22 tt . .测测 验验 题题3 3、3020sinlimxdttxx =(=( ) ) （A A）0； （B B）1； （C C）31； （D D） . .4 4. .、定积分

15、、定积分 10dxex的值是的值是（ ） （A A）e； （B B）21； （C C）21e； （D D）2 . .5 5、下列积分中，使用变换正确的是、下列积分中，使用变换正确的是（） （A A）,sin103 xdx令令 txarctan ； （B B） 30321dxxx，令，令 txsin ； （C C） 21221)1ln(dxxxx，令，令 ux 21； （D D） 1121dxx，令，令31tx . .6 6、下下列列积积分分中中，值值为为零零的的是是（ ） （A A） 112dxx； ( (B B） 213dxx； （C C） 11dx； （D D） 112sin xdxx .

16、 .7 7、 已知已知5)2(,3)2(,1)0( fff, , 则则 20 )(dxxxf（ ） （A A）1212； （B B）8 8； （C C）7 7； （D D）6 6. . 8 8、设、设 0,110,11)(xexxxfx，则定积分，则定积分 20)1(dxxf = =（ ）（A A）)11ln(1e ； （B B）3ln)1ln(22 e；（C C）2ln)11ln(1 e; ; （D D）)11ln(1e . .9 9、广义积分、广义积分 222xxdx= =（ ） （A A）4ln； （B B）0； （C C）4ln31； （D D）发散）发散. .1010、广义积分、广义

17、积分 20234xxdx（ ） （A A）3ln1 ； （B B）32ln21； （C C）3ln； （D D）发散）发散. .二、证明不等式二、证明不等式: : )2(,6121210 nxdxn . .三、求下列函数的导数：三、求下列函数的导数： 1 1、 3241)(xxtdtxF; ; 2. 2.、由方程、由方程1sin2200 xytdtttdte，的的为为确定确定xy 函数，求函数，求dxdy. .四、求下列定积分：四、求下列定积分： 1 1、 41)1(xxdx； 2 2、 axaxdx022； 3 3、 301arcsindxxx； 4 4、 52232dxxx； 5 5、 11121xdx； 6 6、 942xxdx； 7 7、 212123xxxdx； 8 8、 111dxxx. .五、五、 设设 1,0)(在在xf上有连续导数，上有连续导数，,0)0( f 且且1)(0 xf, ,试证：试证： 103210)()(dxxfdxxf. .六、六、 设设)(xf在在00，11上有二阶连续导数，证明：上