专题：抛物线与圆综合探究题(含答案)

1、专题：抛物线与圆综合探究题合物线与圆综合探究题，综合性强，难度较大，通常都作为“压轴题”，解此类题通常需要熟练掌握抛物线与圆相关的基本知识和基本技能，求解时注意运用有关性质，进行综合、分析、探究解题思路。例1、抛物线y ax2 bx c交x轴于A、B两点，交y轴于点C,已知抛物线的对称轴为 x 1, 2B(3,0) ,C(0, 3),(1)求二次函数 y ax bx c的解析式；(2)在抛物线对称轴上是否存在一点P,使点P到B、C两点距离之差最大？若存在，求出 P点坐标；若不存在，请说明理由；(3)平行于x轴的一条直线交抛物线于M、N两点，若以 MN为直径的圆恰好与 x轴相切，求此圆的半径.解

2、：(1)将 C(0,3)代入 yax2bxc ,得c 3 .将 c3 ,B(3,0) 代入y ax2bx c ,得9a3bc 0. x 1是对称轴，b21.因此，可得a 1 , b 2二次函数得解析式是 y x2 2x 3. 2a(2)AC与对称轴的交点P即为到B、C的距离之差最大的点.二 C点的坐标为(0, 3), A点的坐标为(1,0), 直线AC的解析式是y 3x 3 ,又对称轴为x 1 ,：点P的坐标(1, 6) .2r,对称轴为x 1 , ：x2xi 2(3)设M(%,y)、N(x2，y),所求圆的半径为r,则x2 x1。由得:x2r 1 。将 N (r1, y)代入解析式yy (r

3、1)22(r 1)3。整理得：y由于圆与x轴相切，即有r=±y。y 0时，r2.17221172(舍去)；2当y 0时，r2 r4 0,解得,1.17221 .17 人,-(舍去).2所以圆的半径是一或二2.172例2、已知: 点A,抛物线y(1)试用含圈Iy=kx-4k的图象与x轴交于在平面直角坐标系xOy中，一次函数ax2 bx c经过。A两点。a的代数式表示b;(2)设抛物线的顶点为 D,以D为圆心，DA为半径的圆被x轴分为劣弧和优弧 两部分。若将劣弧沿x轴翻折，翻折后的劣弧落在。D内，它所在的圆恰与 O"目切， 求。D半径的长及抛物线的解析式；(3)设点B是满足(2

4、)中条件的优弧上的一个动点，抛物线在 x轴上方的部 分上是否存在这样的点 P,使得/ POA 4/OBA?若存在，求出点 P的坐标；若不 3存在，请说明理由。（1）解法一：:一次函数y kx 4k的图象与x轴交于点 a,：点 A的坐标为（4, 0）。 又;抛物线ax2 bx c经过Q a两点,0,16a 4b 0 b 4a经过解法二：:一次函数ykxQ A两点，抛物线的对称轴为直线（2）解：由抛物线的对称性可知,ax2 4ax :点d的坐标为（2,4k的图象与x轴交于点A, 点A的坐标为（4,0）。又.抛物线y ax2 bx cx 2 x 2 , b = - 4a o2aD0= DA, 点 O

5、在O D ±,且/ DOA= / DAO 又由(1)知抛物线的解析式为4a)当a0时，如图1,设。D被x轴分得的劣弧为OmA,它沿x轴翻折后所得劣弧为OnA,显然OnA所在的圆与OD关于x轴对称，设它的圆心为 D'。 ：点D'与点D也关于x轴对称,点O在QD'±,且OMOD'相切， ：点O为切OD /DOA= / D'OA45 ° ADO为等腰直角角形 OD2 ” :点D的纵坐标为 24a当综上，o(3)解:当点/OBA4a0时,:抛物线的解析式为y2同理可得：OD 2J2 ,d半径的长为2行,抛物线的解析式为孑2x；抛物线

6、的解析式为抛物线在X轴上方的部分上存在点P,使得/ POAP在抛物线1 ,- /ADO 2tan/ POEEPOE2x或y1 2-x21 2 x22x ；2x。tan603x:点P的坐标为4P在抛物线4 ， 一-ZOBA3设点P的坐标为(x, y),且 y>0o1y 2x452x上时（如图 2）,/4 /Z POA /OBA3,点 B是。D的优弧上的一点60过点P作PE，x轴于点3x解得:2xxiy14 2 36 43x2V20(舍去)01x222x上时（如图3)同理可得,解得:2xXi4 2,36 4.3,x2y2:点p的坐标为4 2.3,6 4M ；综上，存在满足条件的点 P,点P的

7、坐标为 4注意：动点B的变化不影响/ OBA的大小。（舍去）2 3,64 2 .3, 6 4.3例3、如图，在直角坐标系中，O C过原点O,交x轴于点A (2, 0),交y轴于点B (0, 24)。(1)求圆心的坐标；(2)抛物线y=ax2+bx + c过。A两点，且顶点在正比例函数3. 一.y=- 1x的图象上，求抛物线的解析式；(3)过圆心C作平行于x轴的直线 DE交O C于H E两点，试判断 两点是否在(2)中的抛物线上；(4)若(2)中的抛物线上存在点 P (xo, yo),满足/ APB为钝角，求 取值范围。解：(1) ;。经过原点O, ：AB为。C的直径。：C为AB的中点。过点C作

8、CH垂直x轴于点H,则有CH= 1oB=君2Ok1_OW 1。：圆心C的坐标为2(1,平)。(2) ;抛物线过 Q A两点，：抛物线的对称轴为x = 1。.抛物线的顶点在直线 y =,3x上,:顶点坐标为(1)把这三点的坐标代入抛物线抛物线y= ax2+bx3+ c,得c4a02b解得03"3"3T:抛物线的解析式为y2 3丁0BCDHO(3) O" 2, OB= 2 J3 ,AB <22(273)24.即。C的半径 r = 2。：D (3, V3),E( 1,6)代入3 22 3、y x x检验，知点 D> E均在抛物线上。33(4) .AB为直径，

9、当抛物线上的点 P在。C的内部时,满足/ APB为钝角。：一1<x0<0或2<x0<3例4、如图，已知抛物线的顶点坐标为M(1,4),且经过点N(2,3),与x轴交于A、B两点(点A在点B左侧)，与y轴交于点 C。(1)求抛物线的解析式及点A B、C的坐标；(2)若直线y=kx+t经过C M两点，且与x轴交于点D,试证明四边形 CDAN 是平行四边形；(3)点P在抛物线的对称轴 x=1上运动，请探索：在x轴上方是否存在这样 的P点，使以P为圆心的圆经过 A、B两点，并且与直线 CD相切，若存在，请求出 点P的坐标；若不存在，请说明理由。解：(1)由抛物线的顶点是 M (

10、1, 4),设解析式为y=a(x-12 + 4(a<0)，又抛物线经过点N (2, 3),所以2令 y = 0,得一x +2x+3= 0,解得:3= a (212+4解彳导a= 1。所以所求抛物线的解析式为 y= - (x 12+ 4= x2+ 2x + 3.x1=-1, x2= 3.得 A (1,0), B (3, 0);令 x=0,得 y = 3,所以 C(0, 3)t=3(2)直线y=kx+t经过G M两点，所以即k=1,t=3。：直线解析式为y = x + 3.令y = 0,得x=3,k + t=4故口( -3, 0),:3 3 应。、m+ n0 -连接AN,过N做x轴的垂线，垂

11、足为F. 设过A N两点的直线的解析式为 y = mx+ n,则解彳导m= 1,2m+ n=3n=1,所以过A、N两点的直线的解析式为 y = x+1o所以DC/ AN.在RtANF中，AN= 3, NF= 3,所以AN= 372 所以DC= AN0因此四边形CDAN1平行四边形另：也可以证明 CN / AD(3)假设在x轴上方存在这样的 P点，使以P为圆心的圆经过 A B两点，并且与直线 CD相切，设P (1, u)其中u>0,则pa是圆的半径，且 PA2= u2+22过P做直线CD的垂线，垂足为Q,则PQ= PA时以P为圆心的圆与直线 CD相切。由第(2)小题易得： MD时等腰直角三

12、角形，故PQMfe是等腰直角三角形,由 P (1, u)得 PE= u, PM= |4-u|PQ=PM _|4-u|1TF2_ _ 2由PQ=PA得方程:(4 u)=u2+22,解得 u = 422屈,舍去负值u= -4-276 ,符合题意的u=4+2J6,所以，满足题意的点P存在，其坐标为(1,例5、已知：如图，抛物线 y 1x232-3-xm与x轴交于 A、3B两点，与y轴交于C点，/ ACB= 90° ,m ,即 xi x?= - mi ： rm = 3nx 解得x2(1)求m的值及抛物线顶点坐标；(2)过A B、C的三点的。M交y轴于另一点 D,连结DM拜延长 交。M于点E,

13、过E点的。M的切线分别交x轴、y轴于点F、G 求直线FG的解析式；(3)在条件(2)下，设P为施上的动点(P不与C、D重合)， 连结PA交y轴于点H,问是否存在一个常数 k,始终满足AH - AP =k,如果存在，请写出求解过程；如果不存在，请说明理由.解：(1)由抛物线可知，点 C的坐标为(0, m),且m<0.设 A (xi, 0) , B (x2, 0).则有 xi - x2= 3nl又 OC是 RtABC 的斜边上的高，： AOS A COB . . 2A. OC xOC OB m1 2-x3mR 0或mR - 3,而nx 0,故只能取 m = 3。这时，y2llx 3 1(x

14、、3)2 4,因此，抛物线的顶点坐标 33为(A.I113 , - 4)。另外，由AC±BC,也可以用 AC2+ BC2 = AB2来求mb(2)解法一：由已知可得：M(J3 ,0),A (J3, 0), B (3J3, 0), C (0, 3) ,D(0,3 );.抛物线的对称轴是x=J3,也是。M的对称轴，连结CE,丁 DE是。M的直径，DCE= 90°,：直线x=J3,垂直平分CE,：E点的坐标为(243,3)。. OA 0M三3,/AOC= /DO* 90° ,ACO= /MDO= 30° , ： AC/DRACL CB,OC OD 3.CB&#

15、177;DE又FG,DE,：FG/ CB;由B (333,0)、C(0,-3)两点的坐标易求直线CB的解析式为：y= <3x3 可设直线FG的解析式为y=W3x+n，把(2 J3，33-3)代入求得n = 5故直线FG的解析式为y = X3x53解法二：由抛物线解析式可求得：A(一范,0),B (3v3,0),D (0,3),M(V3,0),则有E (2v3,3)。再由AQCO MO DO的长度可得：/ AC0 = /MDO= 30° ,结合 DE = 4V3, DEXFG可得：DG= 8, . G点坐标为(0, 5)。 . OG= 5, .OF = OG-芭'=5 V

16、3，; F点的坐标为(5芯，0),再由E、G两点坐标可得直线 FG的解析式为y=-3-x-5o (自解)(3)解法一：存在常数k=12,满足AH-AP= 12 连结CP由垂径定理可知 AD AC , ： / P= / ACH(或利用/ P= /ABC= / ACO 又/ CAH= /PAC ： ACHh APQ . - AC AP 即 AC2 AH AC= AH- AP 在 RtAAOO, AC = AO+OC=(望)2 + 32 = 12 (或利用 AC2 = AO- AB= <3x43 = 12, : AH- AP= 12o解法二：存在常数k = 12,满足AH- AP= 12设AH

17、= x, AP= y由相交弦定 理彳导 HD- HC= AH- HP 即(3 - MR - 3)(3 + M声-3) = x(y - x),化简得：xy = 12,即 AH - AP= 12o例6、抛物线y ax2 bx c（ a 0）交x轴于点A（-1,0）y轴于点Q顶点为D,以BD为直径的。M恰好过点C.（1）求顶点D的坐标（用a的代数式表示）；、B (3,0 )，交（2）求抛物线的解析式；（3）抛物线上是否存在点 标；若不存在，说明理由P使 PBD为直角三角形？若存在解：（1）（方法一）由题意：设抛物线的解析式为 ya(x1)(x 3)一 2.y ax 2ax3a a(x1)24a:点

18、C (0, 3a)D (1, 4a);，求出点P的坐（方法二）由题意:9a3b2a2ax 2ax3aDE CE（2）（方法一）过点D作DEXy轴于点E,易证 DES COB : OC OB3a2 D V Qa1故抛物线的解析式为：y x 2x 3（方法二）过点D作DELy轴于点E,过M作MGL y轴于点 G 设。M交x轴于另一点H,交y轴于另一点F,可先证四边形 OHD时矩形，贝U OH= DE= 1,再证 OF= CE= a,由 OT OB= OF- OC得：(a)( 3a)a 1 （下同法一）（方法三）用勾股定理，CD+C甘=BD2,也可得a2= 1.（自解）（3）符合条件的点若/ BPA

19、90° ,P存在，共3个：P点与C点重合，则P1 （0, 3） （P1表示第一个P点，下同）若 / DBP= 90°过点P2作P2R，x轴于点R,设点P2（P, PBR2p 3),由 BP2匕ADBIH导，dhP2R而,即2p 2p 333P2 (二,p 3 (舍去)，故 294)若/1 y -x 式为 2BDP= 90° ,设DP3的延长线交7y轴于点117N,可证 EDN sHDB 求得 EN= 2 , : N (0, 2 )求得15DN的解析2求抛物线与直线DN的交点得P3 （ 23，（二综上所述：符合条件的点 P为（0, 3）、21 15(2,4 )。例7

20、、已知抛物线y=ax2+bx+c(a W0)与x轴交于不同的两点 A和B (4, 0),与y轴交于点C (0, 8),其对 称轴为x=1.求此抛物线的解析式；过A、B C三点作。0与y轴的负半轴交于点 D,求经过原点 O且与直线AD垂直(垂足为 E)的直线OE 的方程；设。O与抛物线的另一个交点为P,直线OE与直线BC的交点为Q直线x=m与抛物线的交点为 R,直线求出m的值；若不存在，请说明理由。x=l x-mx=m与直线OE的交点为So是否存在整数 m,使得以点P、Q R S为顶点的四边形为平行四边形？若存在,b2aa 1解：(1)由已知，有c 8.c 8.a 42 b 4 c 0,解得 b

21、 2:抛物线的解析式是 y=-x 2+2x+8.(2)令y=0,得方程-x2+2x+8= 0,解得Xi=-2, x2=4.二点A的坐标为 (-2 , 0).在Q0，中，由相交弦定理，得 |OA| |OB|=|OC| |OD| , 即 2X 4=8X|OD|,|OD|=1.二点D在y轴的负半轴上，：点D的坐标为(0 , -1).|OE|= 2-.5在 RtAOD中，: |OA|=2 , |OD|=1 , OEL AD :由勾股定理，有 AD=后""1=5.又 1|OA| - |OD|=1|AD| |OE| , 22|OA| 2=|AE| - |AD| ,即 22=痣 |AE|

22、 , ： |AE|= 45.同理，由 |OD|2=|DE| |AD| ,得 |DE|=|y|= , . . y=-.在 RtDO即，工 552设点 E(x, y),且 x<0, y<0.在 RtAOE中，1 |AE| - |OE|= 1 |y| |OA| ,22|DE| |OE|= 1|x| |OD| ,|x|= 2, : x=- 2.;点 E 的坐标是(-2, - 4 ).25555设直线OE的方程为y=kx (k w 0).二直线OE经过点E(-2 , - 4 ), . - =- 2-k, k=2. :直线OE的方程为y = 2x.5555在QO中，:对称轴x=1垂直平分弦AB

23、,：由垂径定理的推论知直线x=1经过圆心O0 小 解得28.4 ,一 4k b C(0, 8), 由对称当得点 P的坐标为(2, 8).设直线BC的万程为y=kx+b (k，0).则有b 8.y2xx 2;直线BC的方程为y=-2x+8.联立方程组 )解得：点Q的坐标为(2 , 4).y-2x 8,y 4.点P(2, 8),点Q(2, 4),PQ/ RS (因此，只有一种情况).设点R的坐标为(m, -m2+2m+8),点S的坐标的(m, 2m).要使四边形PQRSJ平行四边形，已知 PQ/ RS,尚需条件|RS|=|PQ|.由|(-m 2+2m+8)-2m|=|8-4|=4 ,得|-m2+8

24、|=4 ,解得m= ±2,或m=± 2 石.而m=2, ±2后不合题意，应舍去.：存在整数m= -2,使得以P、Q、R S为顶点的四边形为平行四边形.例8、如图3,已知抛物线y = x2+ bx+ c,经过点A(0, 5)和点B (3, 2) (1)求抛物线的解析式：(2)现有一半径为 1,圆心P在抛物线上运动白动圆，问。 P在运动过程 中，是否存在。P与坐标轴相切的情况？若存在， 请求出圆心P的坐标：若 不存在，请说明理由；(3)若。Q的半径为r,点Q在抛物线上、O Q与两坐轴都相切时求半径 r的值解：(1)由题意，得；c 5解得3b c 9 2b=-4c=5抛

25、物线的解析式为 y x2 4x 5(2)当。P在运动过程中，存在。 P与坐标轴相切的情况.设点P坐标为(, y°),则有:当。P与y轴相切时，有|xo|=i , xo=± 1由 x01 ,得 y0 12 4 15 10P ( 1,10),由 xo 1 ,得 yo 12 4 1 5 2,F2(1,2).当。P与x轴相切时有| y0 | 1抛物线开口向上，且顶点在x轴的上方.y0 1由 yo 1 ,得 x。2 4x0 5 1 ,解得 y0=2,P3(2, 1).综上所述，符合要求的圆心P有三个，其坐标分别为：P( 1,10),P2(1,2),2(2,1)(3)设点Q坐标为(x,

26、 y),则当。Q与两条坐标轴都相切时，有 y= x21- 25:5由y=x得x 4x 5 x,即x 5x 5 0,解得x ；2由y x,得x2 4x 5x,即x2 3x 5 0,此方程无解;5 .5.。0的半径为r 。例9、已知：如图，抛物线y3 22 j3x x J3的图象与x轴分别交于A,OM经过原点。及点A, C,点D是劣弧? ? 一动点(D点与A, O不重合)(1)求抛物线的顶点 E的坐标；(2)求。M的面积；(3)连CD交AO于点F ,延长CD至G ,使FG2，试探究当点D运动到何处时，直线GA与。M相切，并请说明理由.解：(1)抛物线:7 3 2x3x2 2x 1.3 3E的坐标为

27、1 "1，3(2)连 AC； . OM 过 A, O, C, Z AOC 900,AC为。M的直径.可求得A点坐标为(3, 0), B点坐标为(1, 0),OA 3, OC 33,AC = 2v,ACSe M(3)当点D运动到？制中点时，直线3。GA与。M相切理由：在 RtACO中，OA 3, OC 73Qtan/ACO 石石/ ACO 60°, / CAO 30°Q 点 D 是?？灌中点，? ?= ? ? /ACG /DCO 30°OF OCgtan30° 1 , /CFO 60°。在 4GAF 中，AF 2, FG 2, ZAFG

28、 Z CFO 60°, / CAG / GAF / CAO 90°,°又AC为直径，：GA与。M相切。综上，当D为？?胸中点时，GA是。M的切线。(3)正面推：可得 A (-3, 0), B (1, 0), C (速，0),易得/ CAO = /BCO = 30°, ： BC± AC.又 GA与 OM 相切，GA±AC, ： / GAC = 90,且 GA/ BC,因止匕, 怎么推？ ？ ？例10、如图，在平面直角坐标系中，已知点 B( 2j2,0), A(m ,0)(/2 m 0),以AB为边在x轴下方作正方形ABCD,点E是线段O

29、D与正方形ABCD的外接圆除点 D以外的另一个交点，连结BE与AD相 交于点F .(1)求证：BF DO;(2)设直线l是ABDO的边BO的垂直平分线，且与 BE相交于点G.若G是ABDO的外心，试求经Q G是ABDO的外心，点G在DO的垂直平分线上.又BD是直径，可得 BELDO,点B也在DO的垂直平分线上.Z DAO 900.m. 点 F m, m .过B, F, O三点的抛物线的解析表达式；(3)在(2)的条件下，在抛物线上是否存在点P ,出所有这样的点的坐标；若不存在，请说明理由.解：(1)在 4ABF 和 AADO 中，Q四边形ABCD是正方形，AB AD, / BAF又Q/ABF

30、/ADO, ABFADO,BF DO.(2)由(1),有ABFADO, Q AO AF使该点关于直线 BE的对称点在x轴上？若存在，求 DBO为等腰三角形，BO BD J2AB.而BO2立 AB| | 272 m 2夜 m272 m , m 2 2V2.设经过B, F,。三点的抛物线的解析表达式为y ax2 bx c a 0 .Q抛物线过点O0,0 , c 0.2y ax把点B2x2,0，点 F 2 2 2,22衣的坐标代入中，得2.2b,2.22x2 2ab.2、2a2 2.20,解得1.12?2.抛物线的解析表达式为(3)假定在抛物线上存在一点Q BE是/OBD的平分线，1 2 - x 2

31、P,使点P关于直线BE的对称点P在x轴上.X轴上的点P关于直线BE的对称点P必在直线BD上，即点P是抛物线与直线 BD的交点.设直线BD的解析表达式为y kx b,并设直线BD与y轴交于点Q,则由 BOQ是等腰直角三角形.OQ OB . Q 0, 2短.把点B 2在,0，点Q 0, 2金代入y kx0 2、.2k b, k1,2.2 b.b2”.直线BD的解析表达式为 y X 2 J2 .设点 P Xo, V。，则有 y°Xo 2V2 .把代入，得-Xo 72X0Xo 2V2,21 22-Xo& 1X02720,即X22 夜 1X04720 .2Xo 2 拒 Xo 20.解得

32、Xo2拒或Xo2 .当 Xo2 衣时，yXo 2V2 2V2 2 72 0;当 Xo2 时，yoXo 2>/2 2 2尬.在抛物线上存在点 P 2尬,0 , P2 2,2 2衣，它们关于直线 BE的对称点都在X轴上.例11、若抛物线y=x2-(m+3)x+m+1与x轴交于 A、B两点(A在B的左侧)，以OA、OB为直径分别作。Oi、 。2。(1)试证：无论m取何实数，抛物线与 x轴总有两个交点；(2)当两圆相等时，求 m的值；(3)如果两圆外切，求 m的范围；(4)点B能否在原点的左侧？请说明理由；(5)两圆内切时，求 m的范围；(6)若两圆内切时，当 M点的坐标为(1, 0),试证：O

33、AvOMv OB;(7)如果两圆外切，且。01、。2的周长之比为2:1,求m的值；(8)若两圆面积之和为 7兀，求m的值；4(9)若两圆外切时，外公切线长为3,求m之值。解：设 y=x2-(m+3)x+m+1 与 x 轴交于 A(x1, 0)、B(x2,0),显然 x1x2。(1)因为抛物线y=x2-(m+3)x+m+1与x轴交点的横坐标，即为所对应的一元二次方程x2-(m+3)x+m+1=0的两根。所以，要证明抛物线与x轴总有两个交点，就是要证明方程x2-(m+3)x+m+1=0的根的判别式> 0 = -(m+3)2-4(m+1) = m2+2m+5 = (m+1)2+4> 0 显然，问题可证。(2)