三角形各种心的性质归纳

1、时间：二O二一年七月二十九日c) a ；OD BC 于 D ,OG :GH 1:2;5.旁心：设 ABC在A内的旁切圆。Ii ( r1)与AB的延长线切于P,则，(1)BI1C 90APi(3 * 5 * *) S ABC1 Ar1ctg r1(b c12a b2 a)A；c- ；(3) BRabcC2；(4)AI1B ；三角形各种心的性质研究之阿布王创作时间：二O二一年七月二十九日一、基础知识 三角形的心是指重心、外心、垂心、旁心和界心.三角形的心是三 角形的重要几何点.在数学竞赛中，有关三角形的心的几何问题是 竞赛的热点问题，因此，我们对三角形的心的几何性质做概括归纳， 对有关的证明方法和

2、解题技巧做深入探讨.1 .重心：设G是ABC的重心，AG的延长线交BC于D,则，(1)BD DC ,( 2 ) AG : AD 2:3;222(3) AD2 2AB 2ACBC , (4) Sgbc2.外心：设。O (R)是 ABC的外接圆，OD BC于D交。于E, 则(1) OA OB OC R; (2)BOC 2 A 或 2(1800 A);abc(3) BD DC BE = EC； (4) S ABC 2Rsin Asin BsinC (正弓幺7E 4R理)3.内心：设 ABC的内心圆。I (r)切边AB于P, AI的延长线交外接圆于D ,则 (1)1 1 b c a 1BIC 90 A

3、;(2) AP rcot A -(a b2 222时间：二O二一年七月二十九日6 .三角形中内切圆、旁切圆和外圆半径的几个关系在 ABC中，内切圆。O分别与三边相切于点 M,K L, BC边上的帝 切圆。Oa与BC边切于点H ,且分别与AB边和AC这的延长线相切 于点Q、点P.设三边BC、CA、AB分别为a,b,c, A, B, C分别为,p 2（a b c）,内切圆半径为r,旁切圆半径分别为 Lb%, 外接圆半径为R,三角形面积为S ,则有如下关系式：（1） AP P,AK P a, LH b c; (2) 上；(3)直角三角形斜边 P a上的旁切圆的半径等于三角形周长的一半；(4)1, 、

4、1111, 、rra -(P b)(P c)； (5) ; (6) ra rra r rbrctan tan22如果三角形一边上的一点和这边对的顶点把三角形的7 .界心周界分割为两条等长的折线，那么就称这一点为三角形的周界中点.其中三角形的周界是指由三角形的三边所组成的围.由于三角形的任意两边之和大于第三边， 可知三角形任一边上的周界中点必 介于这边两端点之间.三角形的顶点与其对边的周界中点的连线，叫三角形的周界中线（有时也称周界中线所在直线为三角形的周界中线）.三角形的 周界中线交于一点.定义：称三角形的周界中线的交点为三角形的界心.二、例题分析例1 .设 ABC的外接圆O的半径为R,内心为

5、I , B 60 ,A C , A的外角平分线交圆。于E ,证明：(1) IO AE; (2) 2R IO IA IC (1 /3)R.【证明】(1)延长BI交外接圆于M,连结OA,OM , Am ,易知AOM B 60 ,故 AOM为正三角形，/. OM OA AM CM ,易证 MIA MAI , /. MA MI .同理，MC MI ,即A,O,I,C在以M为圆心，R为半径的圆上，设AI的延长线交BC于F ,则AF、AE分别为 A的内、外角平分 线， EAF 90 ,即 EF 为。O 的直径，. OAI OFI - AOE .21又在。M 中， OAI OMI , . AOE OMI ,

6、但 O M 与。O 为 2等圆，故AE OI .(2)连接FC ,同上易 为等边三角形，IC IF .11 AFE AOE 22AFE为2Rsin 2Rcos 2R(sin由 A C知，60 1 45 C 157522、. 2Rsin45 IO IAIF FC ,又 IFC ABC 60 ,. IFC11 .OMI -( AMI AMO) - ( C 60 ),记IO IA IC AE IA AF AE AFcos )C 120 ,从而有301c 60 ,即2IC2V2Rsin75 ,又 sin 754故 2R IO IA IC (1 V3)R .例2.锐角 ABC的外心为O ,线段OA,BC

7、的中点分别为M、N .,ABC 4 OMN ACB 6 OMN .求 OMN .【解】设 OMN , 则 ABC 4, ACB 6,BAC 180(ABCACB) 18010BOCBAC18010； MOC AOC 2 ABC 8从而 MON8(18010180即OMN为等腰三角形,ONOM11-OA -OC22ONC 90 ,NOC60又NOC 18010 ,OMN12例3.如图O,I分别为 ABC的外心和内心，AD是BC边上的高。I在线段OD求证： ABC的外接圆半径等于 BC边上的旁切圆半径。证明（1）记AB c, BC a,CA b ,设AI的延长线交 ABC的外接圆ACOCB于K从而

8、AI,则OK是圆O的半径，记为R ,因为 OK，BC ,所以 OK / AD ,IKABIAIIK(2)csin BIBCS ABIS KBI由（1）、2sin B sin C(2)设 ABC1 . c bcsin A S 2所rabcsin ABAKCBK = CAKA，一,/ AKB =/ ACB 221BAB BI sinBK BI sin-B AB. BK C cos 2sin CA sin2.B sin _2C cos 2BC2sin sin22.A sin2B C 2sin sin 得 2sinBsinC 22 ,所以A sin 2 的BC边上的旁切圆4sin&osB22C

9、 cos 2ABC2R半径为ra1八、-ra(b c a)。2sin Asin Bsin Csin B sin C sin A2Rsin Asin BsinCc . B C B C2sincos22c . B C B C2sincos22时间：二O二一年七月二十九日Rsin AsinBsinC, A B C _ 4Rsin coscos R , .B C B . C222sin 2sin sin 即 ABC的外接半径等于BC边上的旁切圆半径。证明(2) t己 AB c,BC a,CA ra , ABC的BC边上的高为b, ABC的BC边上的旁切圆半径为ha ,设AI交BC于P ,交外接圆于OK

10、 ± BC , OKR,PC又由AD ± BC ,知 OK /ab b AD OKc AI 1KBKIK , AKB ACP ,AD OKOKAKIk-AKBK AKB ACPAKBKACPCahababb c2SABC代入上式，hab c a b c a即 ABC的外接半径等于BC边上的旁切圆半径。证明为ra(3) AB c, BC a,CA b , ABC的BC边上的旁切圆半径, ABC的外接半径c“80/ AOCOAC -900 / ABC / BADOO1，BC 于 O1。DAII1O1BO1.ADAO又 S ABCaBI12c a _,R a1 八 2ra(b c

11、ADAOc b2AO证明（4）记 AB c, BCDI IO b2DIioI1O1AD a二 Ra,CA于K ,连OK交BC于O1ara (b2S ABCb c ac a) J Ob c ab ,设AI的延长线交ABC的外接圆则OKIiAD / lli H OK ,由 D,I,O 三点共线,DIiIiOi更IOADOKDIiBI1 BDcosB(b c)(ba)I1O1BO12aBI122ab c . b2 ，一ADR，时间:K时间：二O二一年七月二十九日ra (b c a)b c aPK O P MPIP AP DP2SABC ,又 Sabc1ra(b c a), 二 RABCab c a2

12、证明（5）连AI并延长交 ABC的外接圆。于K,设O旁切圆圆心， 则O在AK的延长线上，连OK ,过O作O M，BC于M。连OM , MK ,BI , CI , OB, OC,则OK , OM分别为外接圆半径及旁切圆半径。 又B,I,C,O四点共圆。BK IK CK ,设K为BICO的外接圆的圆心, 即 IK O K。又 AP PK BP PC IP O P ,” OP 又 AD / O MIP AP ''MK / ID , / PMK =/ IDP ,而 D,I,O 共线,OK ± BC , O M ± BC , OK / O M ,故 / IOK =/

13、KMO , / OKI =/ MO K , IK OK, /. OIK MKO，故 OK =O M ,即 R ra例4.设M是 ABC的AB边上作一内点，r1,r2,r分别是 AMC、 BMC、 ABC的内切圆半径；q1,q2,q分别是这些三角形在ACM、 BCM、ACB内的旁切圆半径.试证：ri 2 rq q2 q【证明】 设 CAB , ABC , BCA , AMC又设 ABC的内切圆的圆心为 R,且与AB切于P （如图），于是APR BPR 一,从而有：AB r cot r cot r(cot cot)22222由于三角形的角的内、外平分线互相垂直，因而类似地有:ABqtan q ta

14、n q(tan - tantan - tan 一进而有：- -22 tan-tan-；类似的结论对于AMC和q +22c cot cot22 BMC也成立，故有r- tantan和且 tan tan,以上式子相乘即可得结论:q 22q222ri2rq q2q例5.设I为乙ABC的内心，其4 ABC内切圆切三边BC、CA和AB于点K、L、M ,过点B平行于MK的直线 分别交直线LM和IK于点R和S.求证：RIS为锐角.【证明】为了证RIS为锐角.由余弦定理，只要证RI2 SI2 RS2 2RI SIcos RIS 0.为 此我们 来计算RI2 SI2 RS2。由 MK / RS ,考虑 BMR

15、及、BSK ,于11而 MBR MRB RMB1( C A) 2( B),同理：1KSB LKM -( A)C11_SKBLKC (C),2，由正弦定理，有， BR sin RMBA止匕里 8s5 BK oBM C BScos一2c1KSB -( B)2BMBKBSsin MRB ' sin KSB sin BKS又BI MK ,所以BI RS .又MIAB ,所以考虑直角 IRB , ISB ,是 MRB LMK -( C) 同理： RMB AML ( A), 22时间：二O二一年七月二十九日 BIM 有注意到 BK BM因止匕 BR BS BM 2. 所以别为 ABC的外接圆和内切

16、圆半径，则r 1)S DEFJL -'S ABC2R(2) S DEF1s4ABC 【证明】设BC a,CA b,2p a b c,则由题设条BDAEp件易知，CDAFpCEBFp由三角形面积比的性质，有,S AEFS ABCAE AFAC AB(p b)(p c)bc同理有：星FD S ABC(p c)(p a).caS 一C CDES ABC(p a)(pabb)S DEF 1S ABC(S AEFS ABCS BFDS ABCS 一。CDE )S ABCb)(P c)(p c)( p a)(Pa)(p b)理,三、bc把三角形恒等式得，芷L.S ABC 2R由欧拉不等式R训练题c

17、aababbcca4Rrr2和abc 2pRr代入并整得,DEF1s4ABC 1 .已知H是ABC的垂心,AHBC ,试求A的度数.2 . D,E,F 分别为 ABC的边BC,CA,AB 上的点，且 FDE A,DEF B ,又设 AEF、 BDF、 CED均为锐角三角形，其垂心依次为H1,H2,H3 ,求证：（H2DH3FH1E ; ( 2 )H1H2H3DEF .3.已知。O内切于ABC的外接圆。O ,而且与AB, AC分别相切于P,Q .证明 ABC的内心I平分PQ .4 .已知 ABC中，高AD在其内部，过 ABD、 ACD的内心I1,I2引 直线分别交AB,AC于E,F.(1 )若

18、BAC 90 ,贝U AE AF ;(2)若AE AF ,则 BAC 90也成立吗？若成立，请证明；若不 成立，请说明理由，并指出不成立的情形.5 .已知 ABC的内切圆。I与BC边切于D , DE是。I的直径，AE的 延长线交BC于F ,求证：BD CF .6 .在等腰 ABC中，AC BC , O是它的外心，I是它的内心，点D 在BC边上，使得OD与BI垂直，证明：直线ID与AC平行.三角形五心定理三角形的重心，外心，垂心，内心和旁心称之为三角形的五心。三角形五心定理是指三角形重心定理，外心定理，垂心定理，内心 定理，旁心定理的总称。一、三角形重心定理三角形的三条边的中线交于一点。该点叫做

19、三角形的重心。 三中线交于一点可用燕尾定理证明，十分简单。(重心原是一个物理概念，对于等厚度的质量均匀的三角形薄片，其重心恰为此三角形三条中线的交点，重心因而得名)。重心的性质：1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2 ： 1。2、重心和三角形任意两个顶点组成的3个三角形面积相等。即重心到三条边的距离与三条边长成反比3、重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。4、平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均数，即（X1+X2+X3）/3 , （Y1+Y2+Y3）/3。燕尾定理：因此图类似燕尾而得名，是一个关于三角形的定理（如 图AABC Dk E、F为BG CA AB上的中点，满足

20、AD BE、CF交 于同一点0）。SJAABC中，SAAOB SAA0C=SBDO SACD0=BD CD)同理，SAAOC SA BOC=SAFO SA BFO=AF BF; SA BOCSABOA=SCEO SAAEO=EC AB二、三角形外心定理：三角形外接圆的圆心，叫做三角形的外心。外心的性质有：1、三角形的三条边的垂直平分线交于一点，该点即为该三角 形外心。2、若O是4ABC的外心，则/ BOC=2A （/A为锐角或直角）或/BOC=360 -2/A（/A 为钝角）。3、当三角形为锐角三角形时，外心在三角形内部；当三角形 为钝角三角形时，外心在三角形外部；当三角形为直角三角形时， 外

21、心在斜边上，与斜边的中点重合。4、计算外心的坐标应先计算下列临时变量：di, d2, d3分别是三角形三个顶点连向另外两个顶点向量的点乘。c1=d2d3 ,c2=d1d3, c3=d1d2; c=c1+c2+c3。外心 坐标：(c2+c3)/2c , (c1+c3)/2c , (c1+c2)/2c )。5、外心到三顶点的距离相等外心公式：a - BC.b C-J .c - AB心Cfj 3e亡-4、TT-小广乂礼m7 "dP上4 十涓痔F1用豆y. z飞A*三、三角形垂心定理：三角形的三条高(所在直线)交于一点，该点叫做三角形的垂心。垂心的性质：1、三角形三个顶点，三个垂足，垂心这7

22、个点可以得到6个四点圆。2、三角形外心。重心G和垂心H三点共线，且 OG:GH=1:2 (此线称为三角形的欧拉线(Euler line )3、垂心到三角形一顶点距离为此三角形外心到此顶点对边距离的2倍。4、垂心分每条高线的两部分乘积相等。定理证明：已知： ABC中，AD BE是两条高，AD BE交于 点O,连接C»延长交 AB于点F ,求证：CF±AB证明： 连接 DE ./ADBWAEB=90 度.A、B、D> E 四点共圆./ADEh ABE时间：二O二一年七月二十九日 / EAOM DAC / AEON ADC . AE6 ADC .AE/AO=AD/AC =

23、EA OAC. / ACFh ADEh ABE又/ABE吆 BAC=90 度 ./ACF吆 BAC=90 度 /.CF! AB , 因此，垂心定理成立！ 垂心坐标公式： L- j v*I- rj ns*（T = BC.b -CAx- AB a = 一（月. c）（"白）y = c wKc$J aPpPyP,将P用Ki y*工代入.四、三角形内心定理：三角形内切圆的圆心，叫做三角形的内心。 内心的性质：1、三角形的三条内角平分线交于一点。该点即为三角形的内 心。2、直角三角形的内心到边的距离等于两直角边的和减去斜边 的差的二分之一。3、P为 ABC所在空间中任意一点，点0是 ABC内心

24、的充要条件是：向量P0=（ax向量 PA+bx向量PB+cX向量PC）/（a+b+c）.4、O为三角形的内心，A、B、C分别为三角形的三个顶点，延 长 AO交 BC边于 N,贝U有 AO:ON=AB:BN=AC:CN=（AB+AC）:BC5、点O是平面ABC上任意一点，点I是AABC内心的充要条 件是：a（向量OA）+b（向量OB）+c（向量OC）响量0.6、（欧拉定理）/ABC中，R和r分别为外接圆为和内切圆的 时间：二O二一年七月二十九日时间：二O二一年七月二十九日半径，。和I分别为其外心和内心，则 OIA2=RA2-2Rr .7、（内角平分线分三边长度关系）：4ABC中，。为内心，/A、

25、 /B、ZC的内角平分线分别交 BG AG AB于Q P、R, 则BQ/QC=c/b, CP/PA=a/c, BR/RA=a/b.8、内心到三角形三边距离相等。r 口就同/=/1 人若，花土叫三角形内心坐标公式：一口。五、三角形旁心定理三角形的旁切圆（与三角形的一边和其他两边的延长线相切的 圆）的圆心，叫做三角形的旁心。旁心的性质：1、三角形一内角平分线和另外两顶点处的外角平分线交于一 点，该点即为三角形的旁心。2、每个三角形都有三个旁心。3、旁心到三边的距离相等。如图，点M就是4ABC的一个旁心。三角形任意两角的外角平 分线和第三个角的内角平分线的交点。一个三角形有三个旁心， 而且一定在三角

26、形外。附：三角形的中心：只有正三角形才有中心， 这时重心，内心， 外心，垂心，四心合一。有关三角形五心的诗歌三角形五心歌（重外垂内旁）三角形有五颗心，重外垂内和旁心， 掌握莫记混.重心三条中线定相交，交点位置真奇巧，重心性质要明了，重心分割中线段，数段之比听分晓； 运用掌握好.外心三角形有六元素，三个内角有三边.相交共一点.此点定义为外心，用它可作外接圆.外接是关键.垂心三角形上作三高，三高必于垂心交.直角三对整，直角三角形有十二，构成六对相似形， 心分析可找清.内心三角对应三顶点，角角都有平分线，“内心”有根源；五心性质很重要，认真交点命名为“重心”，长短之比二比一，灵活作三边的中垂线，三线

27、 内心外心莫记混，内切高线分割三角形，出现四点共圆图中有，细三线相交定共点，叫做此圆圆心称“内心”，点至三边均等距，可作三角形内切圆, 如此定义理当然.五心性质别记混，做起题来真是好。五心的性质三角形的五心有许多重要性质，它们之间也有很密切的联系，如：(1)三角形的重心与三顶点的连线所构成的三个三角形面积相等；(2)三角形的外心到三顶点的距离相等；(3)三角形的垂心与三顶点这四点中，任一点是其余三点所 构成的三角形的垂心；(4)三角形的内心、旁心到三边距离相等；(5)三角形的垂心是它垂足三角形的内心；或者说，三角形 的内心是它旁心三角形的垂心；(6)三角形的外心是它的中点三角形的垂心；(7)三

28、角形的重心也是它的中点三角形的重心；(8)三角形的中点三角形的外心也是其垂足三角形的外心.(9)三角形的任一顶点到垂心的距离，等于外心到对边的距 离的二倍.下面是更为详细的性质：1、垂心三角形三边上的高的交点称为三角形的垂心。三角形垂心有下列有趣的性质：设 ABC的三条高为 AD BE CF,其中D E、F为 垂足，垂心为H。性质1垂心H关于三边的对称点，均在 ABC的外接圆上。性质2 ABC中，有六组四点共圆，有三组（每组四个）相似的 直角三角形，且 AH- HD=BH HE=CH HE性质3 H、A、B、C四点中任一点是其余三点为顶点的三角形 的垂心（并称这样的四点为一垂心组）。性质4 A

29、ABCAABH,ABCHACH的外接圆是等圆。性质5在非直角三角形中，过H的直线交AB AC所在直线分 别于 P、Q,则 AB/AP tanB+ AC/AQ tanC=tanA+tanB+tanC。性质6三角形任一顶点到垂心的距离，等于外心到对边的距 离的2倍。性质7设O, H分别为 ABC的外心和垂心，则/ BAON HAC /ABHh OBC /BCONHCA性质8锐角三角形的垂心到三顶点的距离之和等于其内切圆与外接圆半径之和的 2倍。性质9锐角三角形的垂心是垂足三角形的内心；锐角三角形 的内接三角形（顶点在原三角形的边上）中，以垂足三角形的周长最 短。2、内心三角形的内切圆的圆心简称为三角形的内心，即三角形三个角平分线的交点。内心有下列优美的性质：性质1设I为 ABC的内心，则I为其内心的充要条件是：至U ABC三边的距离相等。性质2设I为4ABC的内心，则/BIC=90° +12/A,类似地还 有两式；反之亦然。性质3设I为 ABC内一点，AI所在直线交 ABC的外接圆于D。I为 ABC内心的充要条件是 ID=DB=DC性质4设I为4ABC的内心，BC=q AC巾 AB=c, I在BG AG AB上的射影分别为 D. E、F;内切圆半径为r,令p= (1/2)(a+b+c), 则(1)SMBC=pr;(2)r=