空间几何体的直观图与三视图

1、 空间几何体的直观图与三视图一、【知识点回顾】1.中心投影与平行投影：（1）投影：由于光的照射，在不透明物体后面的屏幕上可以留下这个物体的影子，这种现象叫做投影，其中，我们把光线叫做投影线，把留下物体的影子的屏幕叫做投影面.（2）中心投影：把光由一点向外散射形成的投影，叫做中心投影.特点：投影线交于一点，直观性强，看起来和人的视觉效果一样.（3）平行投影：把在一束平行光线照射下形成的投影，叫做平行投影.平行投影的投影线是平行的.在平行投影中，投影线正对着投影面的，叫做正投影，否则叫做斜投影.当图形中的直线或线段不平行于投影线时，平行投影具有以下性质：直线或线段的平行投影仍是直线或线段；平行直线

2、的平行投影是平行或重合的直线；平行于投影面的线段，它的投影与这条线段平行且相等；与投影面平行的平面图形，它的投影与这个平面图形全等；在同一直线或平行直线上，两条线段平行投影的比等于这两条线段的比.（4）正投影的定义与性质：定义：在物体的平行投影中，如果投影线与投影面垂直，则称这样的平行投影为正投影.性质：正投影是特殊的平行投影，它除了具有平行投影的性质外，还具有如下的性质：垂直投影面的直线或线段的正投影是一个点；垂直于投影面的平面图形的正投影是直线或直线的一部分.2.空间几何体的三视图的形成及其形成规律：（1）光线从几何体的前面向后面的正投影，得到投影图，这种投影图叫做几何体的正视图（或主视图

3、）；（2）光线从几何体的左面向右面的正投影，得到投影图，这种投影图叫做几何体的侧视图（或左视图）；（3）光线从几何体的上面向下面的正投影，得到投影图，这种投影图叫做几何体的俯视图.几何体的正（主）视图、侧（左）视图、俯视图统称为几何体的三视图.投影规律：长对正：即正视图和俯视图在左右方向应对正；高平齐：即正视图与俯视图在上下方向应平齐；宽相等：即俯视图和侧视图在前后方向的宽度应相等.3.常见的柱、锥、台、球等简单几何体的三视图（1）球的三视图都是圆，并且三个圆全等；（2）长方体的三视图都是矩形；（3）圆柱的正视图、侧视图是矩形，而俯视图是圆；（4）圆锥的正视图、侧视图是等腰三角形，而俯视图是圆

4、及圆心点；（5）圆台的正视图、侧视图是等腰梯形，俯视图是两个同心圆；（6）棱柱的正视图、侧视图都是平行四边形，俯视图是棱柱的底面多边形；题型一：空间几何体的三视图画法【例1】如图1中两个几何体是一些简单的空间几何体的组合体，其中（3）中几何体的下部是一个底面为正六边形、侧面全为矩形的棱柱，上部是一个侧面为等腰三角形的棱锥，试画出它们的三视图.解析：图1（1）中物体从上到下分别是球和圆柱，故它的三视图如图2所示；图1（2）中物体从上到下是六棱锥、六棱柱，其底面是正六边形，其三视图如图3所示. 题型二：空间几何体的三视图还原成实物图【例2】根据三视图想象成物体原形，并画出实物草图.（1）三视图4；

5、（2）三视图5. 解析：（1）由三视图知，这个物体由一个圆柱和一个正四棱柱组合而成，圆柱的下底面圆和正四棱柱的的上底面正方形内切，它的实物草图如图6所示；（2）由三视图知，该物体下部分是一个长方体，上部分的表面是两个等腰题型和两个等腰三角形，它的实物草图如图7所示. 题型二：水平放置的平面图形的直观图【例3】画出如图8所示的水平放置的平行四边形的直观图.解：画法如下（1）画轴：如图9（1）所示，以点为坐标原点，以边所在直线为轴建立平面直角坐标系，使，画对应的坐标系，使；（2）定点：如图9（1）所示，分别过点、作平行于轴的平行线交轴于点、，分别在轴选取点、，使得，分别过、作轴的平行线，并在这两条

6、平行线上截取，则点为点的对应点，点为点的对应点，点的对应点为；（3）连线成图：连接相应的端点，可得到线段、，得到图9（2），把辅助线擦去，则就是水平放置的的直观图，如图9（3）所示.题型三：空间几何体直观图的画法【例4】用斜二测画法画出正六棱锥的直观图.解：画法为：（1）画出六棱锥的底面.在正六边形中，取所在的直线为轴，对称轴所在的直线为轴，两轴相交于点（如图10（1）所示），画相应的轴、轴、轴，三轴相交于点，使，（如图10（2）所示）；在图10（2）中，以为中点，在轴上取，在轴上取，以点为中点画平行于轴，并且等于；再以点为中点画平行于轴，并且等于；连接、，得到六边形水平放置的直观图.（2）画

7、正六棱锥的顶点，在轴上截取点，使；（3）连线成图：连接、，被遮挡的部分改为虚线并擦去轴、轴和轴，便得六棱锥的直观图，如图10（3）所示.【例5】用斜二测画法画出正四棱台的直观图.解：画法如下：（1）画轴.以底面正方形的中心为坐标原点，画轴、轴、轴，三轴交于点，使，；（2）画下底面.以为中点，在轴上取线段，使，在轴上取线段，使，再过、分别作、，且使得的中点为，的中点为，连接、，这样就得到正四棱台的下底面的直观图；（3）画上底面.在轴上截取线段，过点作、，使，建立坐标系，在重复（2）的步骤画出上底面的直观图；（4）连接、，得到的图形便是所求的正四棱台的直观图，如图11所示.题型四：空间几何体的三视

8、图与直观图的转化【例6】如图12所示是一个空间几何体的三视图，用斜二测画法画出它的直观图.解：画法为（1）画轴.如图13（1），画轴、轴、轴，使，；（2）画四棱柱的底面.在轴上取、两点，使的长度等于侧视图中线段的长度，且为的中点，再分别以、为中点作轴的平行线、，使.这样四边形即为四棱柱的下底面；（3）画四棱柱的上底面.在轴上截取点，使等于正视图的长度.过点作分别平行于轴的轴，平行于轴的轴.类似四棱柱下底面作出四棱柱的上底面；（4）画圆锥的底面.在轴上取、两点，使的长度等于俯视图中圆的直径，且.选择椭圆模板中适当的椭圆过、两点，使它为圆锥的底面；（5）画圆锥的顶点.在轴上截取点，使等于正视图中的

9、的高度；（6）连线成图.连接、，整理得三视图表示的几何体的直观图.题型五：直观图与原图形之间的转化【例7】在原来图形中，两条线段平行且相等，则在直观图中对应的两条线段 （ ） 平行且相等 平行不相等 相等不平行 既不平行也不相等解析： 根据斜二测画法的规则，不论这两条线段与坐标轴的位置关系如何，它们自身的相对位置是确定不变的.【例8】如图14为某一平面图形的直观图，则此平面图形可能是 （ ）解析： 根据斜二测画法的规则：平行于轴或在轴上的线段的长度在新坐标系中不变，平行于轴或在轴上的线段的长度在新坐标系中的长度变为原来的，并注意到，然后将图形还原成原图形.题型六：直观图与原图形面积之间的等量关

10、系【例9】水平放置的矩形长为，宽为，以、为轴作斜二测直观图，则四边形的面积是 （ ） 解析： 平面图形的原面积与其直观图面积之间的换算关系是，.【例10】有一块多边形菜地，它的水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形（如图15所示），则这块菜地的面积为 . 解析：法一：设菜地的原面积为，直观图（即直角梯形）的面积为，根据平面图形的原面积与其直观图面积之间的换算关系是，.法二：根据斜二测画法的原则将原图形进行还原得到图16，则在原图中，且，则.题型六：空间几何体的体积与直观图体积之间的转化【例11】已知正四棱锥的底面边长为，高为，利用斜二测画法作它的直观图，则其直观图中四棱锥的体积为 .解析：

11、四棱锥的体积，由于在直观图中，平行于轴或轴的线段在新坐标系中长度不变，平行于轴的线段在新坐标系中长度变为原来的，则几何体的底面积变为原来的，高不变，故直观图的体积.题型七：空间几何体的三视图的识别【例12】（2008年广东卷）将正三棱柱截去三个角（如图17所示，、分别是三边的中点）得到几何体如图（2），则该几何体按图（2）所示方向的侧视图是 （ ）解析： 由于为的中点，依对称性知，侧视图是以为顶点的等腰三角形，故排除.又平面平面，故正确.题型八：由三视图计算空间几何体的表面积与体积【例13】如图18所示，一个简单组合体的主视图和左视图相同，是由一个正方形与一个正三角形构成，俯视图中，圆的半径为

12、，则该组合体的表面积为 （ ） 解析： 由三视图图可知，该几何体是由一个圆锥和一个圆柱组合而成，圆柱底面半径为，母线长为，圆锥的底面半径也为，母线长为，故该组合体的表面积，故选.【例14】（2007年宁夏、海南卷）已知某个几何体的三视图如图19所示，根据图中标出尺寸（单位：），可得这个几何体的体积为 （ ） 解析： 作几何体如图20所示，且平面平面，四边形为正方形，作于，得平面，故选.五、【课后作业】 【基础训练A组】1.下列投影是中心投影的是 （ ） 三视图 人的视觉 斜二测画法 在中午太阳光下的投影2.若一个几何体的主视图和左视图都是等腰三角形，俯视图是圆，则该几何体可能是（ ） 圆柱 三

13、棱柱 圆锥 球体3.关于用斜二测画法得到的水平放置的图形，下列说法：角的水平放置的直观图一定是角；相等的线段在直观图中仍然相等；平行（或垂直）的两线段在直观图中仍然平行（或垂直）；菱形的直观图还是菱形；梯形的直观图仍然是梯形；如果一个三角形的直观图仍是三角形，那么它的重心在直观图图中仍然是重心.其中正确的个数是 （ ） 4.如图21所示的正方体是用一个铁丝围成的模型框架，、分别是、的中点，为正方形的中心，用铁丝将、连接起来得到一组合框架，则该组合体的正视图、侧视图、俯视图分别是 （ ） （1）（4）（2） （1）（2）（4） （1）（4）（3） （2）（4）（3）5.等腰梯形上底边，腰，下底，

14、按平行于上、下底边取轴，则直观图的面积为_6.一个三角形在其直观图中对应一个边长为正三角形，原三角形的面积为 .解析： ，.7.画出如图22所示的两个几何体的三视图.8.用斜二测画法作出边长为、高的矩形的直观图【综合训练B组】1.一个几何体由几个相同的小正方体组合而成，它的正视图、侧视图、俯视图如图23所示，则这个组合体包含的小正方体的个数是 （ ） 2.如图24所示为物体的实物图，在以下四个选项中有一个是它的俯视图，正确的是（ ）3.已知某几何体的三视图如图25所示，则该几何体是 （ ） 三棱锥 三棱柱 四棱锥 四棱柱4.如图26所示的是一个几何体的三视图，根据图中数据，计算该几何体的表面积

15、为（ ） 5.一个空间几何体的三视图如图27所示，则该几何体的体积为 （ ） 6.水平放置的的斜二测直观图如图28所示，已知，则边上的中线的实际长度为 .7.已知的斜二测直观图是边长为的等边，那么原的面积为 .解析： ，则.8.如图29所示的是一个奖杯的三视图，试指出该奖杯的结构组织的情况.【提高训练C组】1.（2007年山东卷）如图30所示，下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个三视图相同的是 （ ） 2.（2011年山东卷理，11）图31是长和宽分别相等的两个矩形给定下列三个命题：存在三棱柱，其正（主）视图、俯视图如下图；存在四棱柱，其正（主）视图、俯视图如右图；存在圆柱，其正（主）视图、

16、俯视图如右图其中真命题的个数是 3.（2011年全国新课标理，6）在一个几何体的三视图中，正视图与俯视图如图32所示，则相应的侧视图可以为 （ ）4.（2010年广东卷理）如图33所示，为三角形，平面且，则多面体的正视图（也称主视图）是5.（2011年安徽卷理，6）一个空间几何体的三视图如图34所示，则该几何体的表面积（ ） 6.（2011年广东卷理，7）如图35所示，某几何体的正视图（主视图）是平行四边形，侧视图（左视图）和俯视图都是矩形，则该几何体的体积为 （ ） 7.（2008年山东卷）如图36所示的是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积为 （ ） （ ） 解析： 由三

17、视图知：几何体是由圆柱和球组成，球的半径和圆柱底面半径均为，圆柱的高为，所求表面积，故选.8.（2011年陕西卷理，5）某几何体的三视图如图37所示，则它的体积是 （ ） 附加答案【基础训练A组】1.解析： 三视图和斜二测画法显然不是中心投影，太阳光可认为是平行光，也不是中心投影.根据定义可选.2.解析： 圆柱、三棱柱的主视图和左视图都是矩形，而球的主视图和左视图都是圆.画出图形可选.3.解析： 提示：可举实例验证.4.解析： 提示：物体是框架，可以看到几何体的内部，正视图是从前向后观察，易知为（1），同理，侧视图是从左向右观察，应为（4），俯视图为（2）.5.解析： 如图38所示，分别过点、

18、作、，垂足分别为点、，则，故，.6.解析：如图39所示7. 解析：用统一的画图标准：斜二测画法，即在已知图形所在的空间中取水平平面，作轴，轴使，然后依据平行投影的有关性质逐一作图.（1）在已知中取、所在边为轴与轴，相交于点（与重合），画对应轴，轴使；（2）在轴上取使，在轴上取，使，过作平行轴的直线，且长度等于.（3）连 、所得四边形就是矩形的直观图.如图40所示.【综合训练B组】1.解析： 将该组合体还原成实物图如图41所示.2.解析： 提示：组合体最上面的背脊线短于底座矩形的长.3.解析： 提示：一般情况下柱体的三视图中有两个图是矩形，另外一个图决定柱体的形状.4.解析： 由三视图知，该几何体是由半球和圆锥组合而成，半球的半径为，圆锥的底面半径为，母线长为，所求表面积为.5.解析： 由三视图可知该几何体是由圆柱中挖去一个半球形成的，且圆柱的底面半径