2018版高中数学苏教版选修1-1学案：3.3.1单调性

1、3. 3.1 单调性【学习目标】1结合实例，直观探索并掌握函数的单调性与导数的关系2 能利用导数研究函数的单调性，并能够利用单调性证明一些简单的不等式.3 会求函数的单调区间.IT问题导学-知识点函数的单调性与导函数正负的关系 思考 i 观察下列各图，完成表格内容函数及其图象切线斜率 k 正负导数正负单调性0丿 71 2 3；正1 ,)上单调尸尹5-3 -2 -1y. y i 2 xR 上单调尸罚严a负(0,)上单调-1-2，0T心L-2 -1、1dOIX(0,)上单调( g,0)上单调第3章导数及苴应用 33导数在研究函数中的应用思考 2 依据上述分析，可得出什么结论?梳理导数值切线的斜率倾

2、斜角曲线的变化趋势函数的单调性00角单调0，函数在定义域内的解集上为增函数;(4)解不等式 f (x)0)的单调性.引申探究若将本例改为 f(x) = ax2 In x(a R)呢？反思与感悟(1)在判断含有参数的函数的单调性时，不仅要考虑到参数的取值范围，而且要结合函数的定义域来确定f (x)的符号，否则会产生错误.(2)分类讨论是把整个问题划分为若干个局部问题，在每一个局部问题中，原先的不确定因素就变成了确定性因素，当这些局部问题都解决了，整个问题就解决了.跟踪训练 2 已知函数 f(x)= 4x3+ 3tx2 6t2x+ t 1，其中 x R, t R.当 t 工 0 时，求 f(x)的

3、单 调区间.类型二 证明函数的单调性问题反思与感悟关于利用导数证明函数单调性的问题：(1) 首先考虑函数的定义域，所有函数性质的研究必须保证在定义域内这个前提下进行.(2) f (x)(或 (或w)0.跟踪训练 3 证明：函数 f(x)=血在区间(0, e)上是增函数.x类型三已知函数的单调性求参数范围2a例 4 已知函数 f(x) = x2+-(XM0，常数 a R).若函数 f(x)在 x 2 ,+ )上单调递增，求 ax的取值范围.反思与感悟已知函数的单调性，求函数解析式中参数的取值范围，可转化为不等式恒成立问题，一般地，函数 f(x)在区间 I 上单调递增(或减)，转化为不等式f(x)

4、 0(f (x)w0)在区 间 I 上恒成立，再用有关方法可求出参数的取值范围.跟踪训练 4 已知函数 f(x)= 3-3 lax2- (a + 1)x+ 2 在区间1,2上为减函数，求实数 a 的取值范围.例 3 证明：函数 f(x)=却区间2,X幺n上单调递减.甌当堂训练1.关于函数 f(x)= 1 X sin X,下列说法正确的是 _ .(填序号)1在(0,2n上是增函数；2在(0,2n上是减函数；3在(o,n上是增函数，在(n2n上是减函数；4在(0,n上是减函数，在(n2n上是增函数.2 .设函数 f(x)在定义域内可导，y= f(x)的图象如图所示，则导函数f(x)的图象可能是3.

5、函数 f(x)= In x ax(a0)的单调增区间为 _ .4 .若函数 y= x3 ax2+ 4 在(0,2)上单调递减，则实数 a 的取值范围为5.求函数 f(x)= (x k)ex的单调区间.规律与方法1.导数的符号反映了函数在某个区间上的单调性，导数绝对值的大小反映了函数在某个区间 或某点附近变化的快慢程度.2 .利用导数求函数 f(x)的单调区间的一般步骤(1)确定函数 f(x)的定义域；求导数f(x)；在函数 f(x)的定义域内解不等式 f (x)0 和f (x)0，则 f(x)在该区间上单调递增；2如果 f (x) 锐上升递增 0,解 f (x)0，得 ;3V3 由 x0,解

6、f (x)0, (x 2)20.由 f (x)0，得 x3,所以函数 f(x)的单调递增区间为(3,+a)；由 f (x)0，得 x0 ,函数 f(x)在区间(0, +)上为增函数;当 a0 时，由 g(x)= 0,得 x=亠岁或 x=亠岁(舍去).当 x (0,亠寻)时，g(x)0 , 即 f (x)0 , 即 f (x)0.所以当 a0 时，函数 f(x)在区间(0,)上为减函数，在区间(亠尹,综上，当 a= 0 时，函数 f(x)的单调增区间是(0,+8);当 a0 时，函数 f(x)的单调增区间是(一寻，+8)，单调减区间是(0, 引申探究f (x)= 2ax1=2ax-x x当 a0

7、 时，且 x (0, +8), f (x)0 时，令 f (x)= 0, f(x)为减函数;+8)上为增函数.2aV).解得 x=右拿或一72a2a(舍去).当 x (0,2a2a)时，f(x)0 , f(x)为增函数.综上所述，当 a0 时，f(x)在(0,2)上为减函数，在(負+m)上为增函数.跟踪训练 2 解 f (x) = 12x2+ 6tx- 6t2=6(x+ t)(2x-1),令 f (x)= 0，得 Xi= t, X2=2当 t0, x (2, t)时，f (x)0,此时 f(x)为增函数，同理当 x (1,+R)时，f(x)也为增函数. 当 t0, x ( t,2时，f (x)

8、0，此时 f(x)为增函数， 当 t0 时，f(x)的增区间为(一R,t), g, + R),f(x)的减区间为(t, 5.综上所述，当 t0 时，f(x)的单调增区间是(R,t), (；+R)，单调减区间是(一 t,土).xcos x- sin x例 3 证明 f (x)=2x当 x(詈，+m)时，f (x)0.又 x g, n，贝Ucos x0, / xcos x sin x0 , f（x）o, f（x）在層n上是减函数.1 In x2x又 0 xe, In x0,故 f(x)在区间(0, e)上是增函数.x3a 2 a例 4 解 f (x)= 2x电=2.x x要使 f(x)在2 , +

9、 s)上单调递增，则 f (x) 0 在 x 2 , +s)时恒成立，32 a 即一 l 0 在 x2,+s)时恒成立.23-x0,2 a0, aw2x3在 x 2,+s)时恒成立. a 0(x2,+s),有且只有 f(2)=0,入 a 的取值范围是(一s,16.跟踪训练 4 解 方法一 f (x)= x2 ax (a + 1),因为函数 f(x)在区间1,2上为减函数，所以 f (x)w0,即卩ax (a + 1)w0,解得 a1.因为在1,2上，ax 1 恒成立，所以 a (x 1)max= 1.跟踪训练 3 证明 f(x)=In x(x) =x In xx所以 a 的取值范围是1 , +.方法二f(x)= (x+ 1)x (a+ 1),由于函数 f(x)在区间1,2上为减函数，所以 f (x)w0,当 a 2 时，解得 K x 1.当 aw2 时，解得减区间为a+ 1, 1, 则函数 f(x)不可能在1,2上为减函数