《一元二次方程》复习资料(打印版)

1、一元二次方程 第一节 认识一元二次方程知识点一：一元二次方程的定义（重点） （温馨提示：紧扣定义理解一元二次方程的三要素：整式方程、只含有一个未知数、未知数的最高次数是2，这三个要素必须同时满足，缺一不可。）例题1：下列方程中，关于x的一元二次方程是（） A（x+1）2=2（x+1） B Cax2+bx+c=0 Dx2+2x=x2-1 对应练习1：下列方程是一元二次方程的是（） A B2x-3y+1=0 C（x-3）（x-2）=x2 D（3x-1）（3x+1）=3 知识点二：一元二次方程的一般形式（重点） （温馨提示：一元二次方程的一般形式的特点为方程右边是0，方程左边是关于x的二次整式，其中

2、a0是重要组成部分。）例题1、一元二次方程2x2-5x-7=0的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（） A5；2；7B2；-5；-7C2；5；-7D-2；5；7对应练习1：把一元二次方程（1-x）（2-x）=3-x2化成一般形式ax2+bx+c=0（a0）其中a、b、c分别为（） A2、3、-1B2、-3、-1C2、-3、1D2、3、1对应练习2：下列一元二次方程是一般形式的为（） A（x-1）2=0B3x2-4x+1=0Cx（x+5）=0D（x+6）2-9=0对应练习3：把方程（x-1）2+2=2x（x-3）化为一般形式是 ，其中二次项是 ，一次项系数是 知识点三：一元二次方程的解温馨提示

3、：根据方程的解的定义，用代入法和整体思想求代数式的值。例题1、已知m是方程x2-2014x+1=0的一个根，求代数式2m2-4027m-2+ 的值对应练习1：（2016攀枝花）若x=-2是关于x的一元二次方程x2+ ax-a2=0的一个根，则a的值为（） A-1或4B-1或-4C1或-4D1或4对应练习2：易错题哦（2016济宁二模）关于x的一元二次方程（a-1）x2+x+a2-1=0的一个根是0，则a的值是（） A-1B1C1或-1D-1或0知识点四：根据实际问题列一元二次方程（重点）例题1：（2016兰州）公园有一块正方形的空地，后来从这块空地上划出部分区域栽种鲜花（如图），原空地一边减少

4、了1m，另一边减少了2m，剩余空地的面积为18m2，求原正方形空地的边长设原正方形的空地的边长为xm，则可列方程为（） A（x+1）（x+2）=18Bx2-3x+16=0C（x-1）（x-2）=18Dx2+3x+16=0第二节：用配方法求解一元二次方程（温馨提示：适用方程为一边是未知数或含有未知数的代数式的平方，另一边是非负常数。） 知识点一：用直接开平方法解一元二次方程例题1：（1）x2=9 （2） x2-1=0 （3）（x-2）2=4 （4）（x-2）2 4=0对应练习1：（1） 4x2=16 （2）（2x-5）2=9 （3）（2x+3）2 -25=0知识点二：用配方法解一元二次方程（重难

5、点）【到九年级下册学二次函数还会用配方法哦】温馨提示：用配方法解一元二次方程x2+bx+c=0（a0）的一般步骤：（1）化二次项系数化为1；（2）移移项，把方程x2+bx+c=0的常数项c移到方程另一侧,得方程x2+bx=-c；（3）配配方，方程两边同加上一次项系数一半的平方,方程左边成为完全平方式；【关键步骤就是配方哦】（4）开开方，用直接开平方法求。方程两边同时开平方,目的是为了降次,得到一元一次方程.（5）解解一元一次方程,得出原方程的解. 例题1：解方程：（1）x2-2x=4 （2） x2+4x-1=0 （3）x2-6x+5=0 （4）2x2-3x-3=0【要小心了哦】 （5

6、）2x2-4x-3=0知识点三：配方法的应用(拓展点)（温馨提示：配方法是一种常用技巧，除了用来解一元二次方程，还可以用来进行某些代数式的变形、取值范围界定及求值等。）【注意要恒等变形哦】例题1：若a、b、c是ABC的三边，且a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，判断这个三角形的形状对应练习1：已知 x2+5y2-4xy+2y+1=0，求x和y的值例题2：我们把选取二次三项式ax2+bx+c（a0）中的两项，配成完全平方式的过程叫配方例如x2-4x+2=x2-4x+4-2=（x-2）2-2，根据上述材料，解决下面问题：（1）写出x2-8x+4的配方过程；（2）求出x2+y2-4

7、x+8y+25的最小值。对应练习：（1）求x2-2x+3的最小值（2）无论m取何值，代数式m2-4m+2015总有一个最小值，请尝试用配方法求出当m取何值时代数式的值最小，并求出这个最小值（3）求证：x，y取任何实数时，多项式x2+y2-2x-4y+16的值总为正数第三节 用公式法求解一元二次方程【解一元二次方程的万能方法哦】知识点一：用公式法解一元二次方程（重点）温馨提示：用公式法解一元二次方程的一般步骤：（1）变形把方程化为一般形式 （2）确定系数确定a,b,c的值，【注意：各项系数包括它前面的符号哦】（3）计算计算b2-4ac 的值,并判断出与 0 的大小关系 （4）代入当 b2-4ac

8、 0时,用公式计算（5）定根写出原方程的根。例题1：解方程：（1）x2-6x+3=0 （2） x2=3（x+1） （3）2x2+5x+3=0；对应练习：解方程：（1）3x2-6x-1=0 （2） 2x2-3x-1=0   （3） x2 +1=3x知识点二：一元二次方程根的判别式（难点）（温馨提示：常常用根的判别式确定字母的取值或取值范围. 应用根的判别式解题时，要先将方程整理成一般形式，再确定a,b,c的值。）例题1：（2016岳阳）已知关于x的方程x2-（2m+1）x+m（m+1）=0（1）求证：方程总有两个不相等的实数根；（2）已知方程的一个根为x=0，求代数式（2m-

9、1）2+（3+m）（3-m）+7m-5的值（要求先化简再求值）对应练习1 ： （2016枣庄）若关于x的一元二次方程x2-2x+kb+1=0有两个不相等的实数根，则一次函数y=kx+b的大致图象可能是（） ABCD对应练习2：（2016丽水）下列一元二次方程没有实数根的是（） Ax2+2x+1=0Bx2+x+2=0Cx2-1=0Dx2-2x-1=0对应练习3：（2016昆明）一元二次方程x2-4x+4=0的根的情况是（） A有两个不相等的实数根B有两个相等的实数根C无实数根D无法确定对应练习4：（2016桂林）若关于x的一元二次方程方程（k-1）x2+4x+1=0有两个不相等的实数根，则k的取

10、值范围是（） Ak5Bk5，且k1Ck5，且k1Dk5对应练习5：（2016十堰）已知关于x的方程（x-3）（x-2）-p2=0（1）求证：无论p取何值时，方程总有两个不相等的实数根；（2）设方程两实数根分别为x1，x2，且满足x12+x223x1x2，求实数p的值2.4用因式分解法解一元二次方程考点一：用因式分解法解一元二次方程（温馨提示：整理方程，使其右边为0，左边分解为两个一次因式的乘积。）例题1：解方程：（1）（x+4）（x-1）=0 （2）x（x-1）=0 （3）x2+3x=0（4）x2=4x （5）3x（x-3）=5（x-3） （6） x（x-2）=x-2（7）（x-1）2=x-1

11、 （8）x2-7x+10=0 （9）x2-12x+35=0 例题2、使分式的值等于零的x值是（）A6B-1或6C-1D-6例题3、（2015安顺）三角形两边的长是3和4，第三边的长是方程x2-12x+35=0的根，则该三角形的周长为（）A14B12C12或14D以上都不对考点二：选择适当方法解一元二次方程（难点）（温馨提示：选择解法的顺序是“先特殊，再一般”，即先考虑能否用开平方法和因式分解法，再考虑公式法。若无特殊说明，一般不使用配方法，但是若二次项系数为1，一次项系数为偶数时，选用配方法解方程也比较简单。）例题1：选择适当的方法解一元二次方程（1）3x(x+5)=5(x+5) (2)3x2

12、=4x+1 (3)5x2=4x-1 例题2、用多种方法解一元二次方程 （y-2）2=(2y+5)2考点三：含有字母系数的方程的解法温馨提示：对于含有字母系数的一元二次方程，一般把其中的一个字母（一般题目中会告知）看作未知数，其他字母看作字母系数，而后利用解一元二次方程的方法求解即可。例题：解下列关于x的方程（1）x2-2ax+a2=0 (2)x(x-m)=10m2+2mx第六节 应用一元二次方程考点一：平均增长率问题（生活中有许多原型，如经济增长率、人口增长率等，可以牢记公式找等量关系）温馨提示：平均增长率中的数量关系：若增长的基数为a，平均每次增长率为x,则第一次增长后的数量为 ，第二次增长

13、是以 为基数的，增长率也为x，所以第二次增长后的数量为 。速记方法：原有量×（1+增长率）2=现有量 原有量×（1-增长率）2=现有量例题1、（2016大连）某文具店三月份销售铅笔100支，四、五两个月销售量连续增长若月平均增长率为x，则该文具店五月份销售铅笔的支数是（）A100（1+x） B100（1+x）2 C100（1+x2） D100（1+2x）例题2：（2016衡阳）随着居民经济收入的不断提高以及汽车业的快速发展，家用汽车已越来越多地进入普通家庭，抽样调查显示，截止2015年底某市汽车拥有量为16.9万辆己知2013年底该市汽车拥有量为10万辆，设2013年底至2

14、015年底该市汽车拥有量的平均增长率为x，根据题意列方程得（）A10（1+x）2=16.9 B10（1+2x）=16.9 C10（1-x）2=16.9 D10（1-2x）=16.9巩固练习1、（2016随州）随州市尚市“桃花节”观赏人数逐年增加，据有关部门统计，2014年约为20万人次，2016年约为28.8万人次，设观赏人数年均增长率为x，则下列方程中正确的是（）A20（1+2x）=28.8 B28.8（1+x）2=20 C20（1+x）2=28.8 D20+20（1+x）+20（1+x）2=28.8巩固练习2、（2016天门模拟）某经济技术开发区今年一月份工业产值达50亿元，且一月份、二月

15、份、三月份的产值为175亿元，若设平均每月的增长率为x，根据题意可列方程（）A50（1+x）2=175 B50+50（1+x）2=175 C50（1+x）+50（1+x）2=175 D50+50（1+x）+50（1+x）2=175巩固练习3、某种商品原价是100元，经两次降价后的价格是90元设平均每次降价的百分率为x，可列方程为（）A100x（1-2x）=90 B100（1+2x）=90 C100（1-x）2=90 D100（1+x）2=90考点二：购物、销售问题（温馨提示：分清相关的词语及购物销售中的关系式是解题的关键，此类题目的等量关系是总利润=每件利润×销售量。注意哦销售量随每

16、件利润的减少而增大，随每件利润的增加而减少。）例题1、新华商场为迎接家电下乡活动销售某种冰箱，每台进价为2500元，市场调研表明；当销售价定为2900元时，平均每天能售出8台；而当销售价每降低50元时，平均每天就能多售出4台，商场要想使这种冰箱的销售利润平均每天达到5000元，每台冰箱的定价应为多少元？例题2、某水果批发商场经销一种高档水果，如果每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克，现该商场要保证每天盈利5000元，同时又要使顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？考点三：数字问题温馨提示：注意数字的表示方法哦例题

17、1、有一个两位数等于其各位数字之积的3倍，其十位数字比个位数字小2，求这个两位数。考点四、握手问题、互送礼物问题例题（2016台州）有x支球队参加篮球比赛，共比赛了45场，每两队之间都比赛一场，则下列方程中符合题意的是（）A x（x-1）=45 B x（x+1）=45 Cx（x-1）=45 Dx（x+1）=45巩固练习：元旦节班上数学兴趣小组的同学，互赠新年贺卡，每两个同学都相互赠送一张，小明统计出全组共互送了90张贺年卡，那么数学兴趣小组的人数是多少设数学兴趣小组人数为x人，则可列方程为（）Ax（x-1）=90 Bx（x-1）=2×90 Cx（x-1）=90÷2 Dx（x

18、+1）=90考点五：面积问题例题1、（2016兰州）公园有一块正方形的空地，后来从这块空地上划出部分区域栽种鲜花（如图），原空地一边减少了1m，另一边减少了2m，剩余空地的面积为18m2，求原正方形空地的边长设原正方形的空地的边长为xm，则可列方程为（）A（x+1）（x+2）=18 Bx2-3x+16=0 C（x-1）（x-2）=18 Dx2+3x+16=0巩固练习（2016历下区二模）如图，在宽为20米，长为30米的矩形地面上修建两条同样宽为x米的道路，余下部分作为耕地，则耕地面积表示为（） A（30-x）（20-x）-x2 B（30-x）（20-x） C（30-2x）（20-2x） D（30-2x）（20-x）考点六、一次函数与一元二次方程的综合应用题（温馨提示：读懂图象所传达的信息是解此类问题的前提，根据图象确定出的两点求出一次函数的表达式，将实际问题转化为数学问题，结合题目给出的等量关系，列出一元二次方程并求解，在确定自变量的取值时要根据题目的实际意义选取。）例题1、博物馆每周都吸引大量中外游客前来参观如果游客过多，对馆中的珍贵文物会产生不利影响但同时考虑到文物的修缮和保存费用问题，还要保证一定的门票收入因此，博物馆采取了