十四章超静定结构

1、14.1 14.1 超静定结构概述超静定结构概述14.2 14.2 用力法解超静定结构用力法解超静定结构14141 1 超静定结构概述超静定结构概述1 1 超静定结构（系统）超静定结构（系统）若未知力的个数多于独立平衡方程的数目，则仅由平衡方程无法若未知力的个数多于独立平衡方程的数目，则仅由平衡方程无法确定全部未知力的结构确定全部未知力的结构( (系统系统) )。2 2多余约束多余约束从维持静力平衡角度而言是多余的约束，称为从维持静力平衡角度而言是多余的约束，称为多余约束，多余约束，相对应相对应的反力称为的反力称为多余约束反力。多余约束反力。3对结构稳定和安全而言并不多余对结构稳定和安全而言并

2、不多余12P P12P PP PP P1)1)外力超静定外力超静定3 3 超静定分类超静定分类2)2)内力超静定内力超静定3)3)混合超静定：混合超静定：既有内力超静定，又有外力超静定既有内力超静定，又有外力超静定结构的外部约束力不能完全用静平衡方程求出的问题。结构的外部约束力不能完全用静平衡方程求出的问题。结构的内力不能完全用静平衡方程求出的问题。结构的内力不能完全用静平衡方程求出的问题。312P PP P4 4 超静定次数超静定次数多余约束的数目多余约束的数目一次超静定一次超静定三次超静定三次超静定1 1）判断超静定次数的原则）判断超静定次数的原则解除几个约束后结构成为静定，就称为几次超静

3、定。解除几个约束后结构成为静定，就称为几次超静定。解除一个可动铰时相当于解除一个约束，解除一个可动铰时相当于解除一个约束，解除一个固定铰或中间铰相当于解除两个约束，解除一个固定铰或中间铰相当于解除两个约束，解除一个固定端相当于解除三个约束，解除一个固定端相当于解除三个约束，解除一个刚性连接相当于解除三个约束。解除一个刚性连接相当于解除三个约束。BAC2 2）静不定次数确定方法）静不定次数确定方法静不定次数静不定次数 = = = = 未知力个数未知力个数- -独立平衡方程数独立平衡方程数 (1) (1) 外力静不定次数的确定外力静不定次数的确定根据约束的性质及力系的类型来确定。根据约束的性质及力

4、系的类型来确定。(2) (2) 含内力的静不定次数的确定含内力的静不定次数的确定u 平面桁架平面桁架未知力个数未知力个数 = = 约束反力数约束反力数 + + 杆件数杆件数独立方程数独立方程数 = = 节点数节点数 2 2多余约束数目多余约束数目u 平面刚架平面刚架对对平面刚架平面刚架，截面上有三个内力。，截面上有三个内力。增加一个刚性连接，就增加了三个约束增加一个刚性连接，就增加了三个约束。每增加一个闭合框架，就增加三次内力超静定。每增加一个闭合框架，就增加三次内力超静定。PPPqqP2次次1次次1次次3次次4次次6次次5 5 静定基和相当系统静定基和相当系统超静定结构解除多余约束后得到的静

5、定结构称静定基。超静定结构解除多余约束后得到的静定结构称静定基。在静定基上共同作用外载及多余约束力的系统称相当系统。在静定基上共同作用外载及多余约束力的系统称相当系统。X1X2相当系统相当系统=X1X1相当系统相当系统=X1X2或或 与超静定系统与超静定系统静力等效静力等效。14142 2 用力法解超静定结构用力法解超静定结构1 1 力法及基本思路力法及基本思路解：解：1 1）判定为一次超静定）判定为一次超静定例如图所示，试求支座反力。例如图所示，试求支座反力。梁梁EI为常数。为常数。X1PABC(b)力法：以力为基本未知量求解超静定问题的解法。力法：以力为基本未知量求解超静定问题的解法。C2

6、lPAB2l(a)2 2）选取静定基）选取静定基3 3）变形协调方程）变形协调方程0B 相当系统相当系统14142 2 用力法解超静定结构用力法解超静定结构X1PABC(b)3 3）根据叠加原理）根据叠加原理: :10BBXBP PABC(c)X1ABC(d) 1BX是由是由X1单独作用引起的单独作用引起的B点位移点位移BP是由是由P单独作用引起的单独作用引起的B点位移点位移1111BXX11B是单位力在 点产生的位移 也可用莫尔积分或图乘法求得BP：用莫尔积分或者图乘法可求X1ABC(d) 是由是由X1单独作用引起的单独作用引起的B点位移点位移1111BXX11B是单位力在 点产生的位移1A

7、BC(e) 莫尔积分：莫尔积分：11( )( )EIM x M xdxPABC(c)BP是由是由P单独作用引起的单独作用引起的B点位移点位移( )( )EIBPM x M xdx 莫尔积分：莫尔积分：1110BBPX 代入协调方程：代入协调方程：可求得未知约束反力可求得未知约束反力X1，X1PABC(b)进而求得杆件的外力、内力等进而求得杆件的外力、内力等2 2 力法正则方程力法正则方程01111PXX1 多余未知力（多余未知力（广义力广义力）；）；变形协调方程的标准形式，即所谓的力法正则方程。变形协调方程的标准形式，即所谓的力法正则方程。11 在静定基上，在静定基上，X1取单位值时即单位载荷

8、引起的在取单位值时即单位载荷引起的在X1 作用点沿作用点沿X1方向的位移；方向的位移；1P 在静定基上，由外载荷（不包括在静定基上，由外载荷（不包括X1 ）引起的在）引起的在X1作作 用点沿用点沿X1方向的位移。方向的位移。PABCX1(b)1）一次超静定）一次超静定解：解：1）解除）解除B点约束，建立相当系统点约束，建立相当系统B点变形协调条件点变形协调条件如图所示，等截面梁如图所示，等截面梁EIEI已知已知，求其支座反力。求其支座反力。12121111222200XXqXXq 111112212211222200qqXXXX 3）由莫尔积分计算）由莫尔积分计算相应相应系数系数111212(

9、 )( )EIM x Mxdx2121( )( )EIMx M xdx1111( )( )EIM x M xdx11( )( )EIqMx M xdx2222( )( )EIMx Mxdx22( )( )EIqMx M xdx1111221211222200qqXXXX代入变形协调方程：代入变形协调方程：求得求得X1，X2进而可以求得全部支座反力进而可以求得全部支座反力总结：力法正则方程( )( )EIijijjiM x Mxdx( )( )EIiiFM x M xdx1111221211222200FFXXXX- -外力引起的外力引起的 i 方向位移方向位移-X-Xj j引起的引起的 i 方

10、向位移方向位移等于：等于： -Xi引起的引起的 j 方向位移方向位移推广：n次超静定的力法正则方程( )( )EIiiFMx M xdx( )( )EIijijjiM x Mxdx ij 表示在静定系上由表示在静定系上由Xj 取单位值取单位值, , 引起的在引起的在Xi作用点沿作用点沿Xi方向的位移；方向的位移；iF 表示在静定系上由外载荷（不包括多于约束载表示在静定系上由外载荷（不包括多于约束载 荷）引起的在荷）引起的在Xi 作用点沿作用点沿Xi 方向的位移。方向的位移。3 3 解静不定问题的一般步骤解静不定问题的一般步骤1)1)判定判定静不定静不定次数次数；2)2)选择选择静定基静定基，得

11、到，得到相当系统相当系统；3)3)分解载荷分解载荷：分别分别将将外载荷外载荷、各、各单位载荷单位载荷作用在作用在静定基静定基上；上；4)4)画出各载荷下的内力画出各载荷下的内力(弯矩弯矩)图或写出内力图或写出内力(弯矩弯矩)方程；方程；5)5)用图乘法或莫尔积分等求出用图乘法或莫尔积分等求出iF 和和 ij ；6)6)求解正则方程，解出未知力。求解正则方程，解出未知力。例例2 2 试求图示刚架的全部约束反力，刚架试求图示刚架的全部约束反力，刚架EIEI为常数。为常数。qaABa解：解：刚架有两个多余约束刚架有两个多余约束选取静定基，去除多余约束，选取静定基，去除多余约束， 代以多余约束反力代以

12、多余约束反力qABX1X2建立力法正则方程建立力法正则方程0022221211212111PPXXXXqABaEIqaaqaaEIEIMCP623114211EIqaaqaaEIEIMCP84323114222EIaaaaaEIEIMc34)322(1331111EIaaaaEIEIMc2)2(132112EIaaaaEIEIMc3)322(132222qM1M2M用图乘法求解用图乘法求解a计算系数计算系数ij和自由项和自由项iP22qa4aAB11AB求多余约束反力求多余约束反力将上述结果代入力法正则方程可得将上述结果代入力法正则方程可得0832062344231342313EIqaXEIa

13、XEIaEIqaXEIaXEIa121( )283()7XqaXqa 求其它支反力求其它支反力由平衡方程得其它支反力，全由平衡方程得其它支反力，全部表示于图中。部表示于图中。qABqa73qa281qa74qa2812283qa0022221211212111PPXXXX例例3 3 试求图示平面刚架的支座反力。已知各杆试求图示平面刚架的支座反力。已知各杆 EI=EI=常数。常数。EIaaaaaEI3432213221101111PX由解：解：1 1）相当系统如图）相当系统如图2 2）外载和单位载荷的）外载和单位载荷的M图图EIqaaqaEIP221431 831qaX得3 3）正则方程）正则方

14、程qMM14143 3 对称及对称性质的应用对称及对称性质的应用1 1 对称结构的对称变形与反对称变形对称结构的对称变形与反对称变形反对称变形：反对称变形：若外载荷反对称于结构对称轴，则结构将产生若外载荷反对称于结构对称轴，则结构将产生 反对称变形。反对称变形。E1I1E1I1EI对称轴E1I1E1I1EI对称轴E1I1E1I1EI对称轴对称结构：对称结构：结构几何尺寸、形状结构几何尺寸、形状、构件材料及约束条件均构件材料及约束条件均 对称于某一轴。对称于某一轴。对称变形：对称变形：对称结构受载荷也对称于结构对称轴时，则结构对称结构受载荷也对称于结构对称轴时，则结构 将产生对称变形将产生对称变

15、形。对称轴X1X2X2X3PX1X3X1X3PX1X3PX2X2PP2 2 利用对称性减少未知力数目，简化计算利用对称性减少未知力数目，简化计算1 1）对称内力和反对称内力：）对称内力和反对称内力：对称内力对称内力反对称内力反对称内力对称变形的对称对称变形的对称截面截面上，反对称内力为零或已知；反对称变上，反对称内力为零或已知；反对称变形的反对称形的反对称截面截面上，对称内力为零或已知。上，对称内力为零或已知。2 2）对称及反对称问题的性质：）对称及反对称问题的性质：3 3）证明：）证明：X2X2PP0)(1221122112CCCCCPPMMMMEIEIM21CM12CMX1X3PX1X3PX2X2X3X3X1X103223211202323222121PXXX0)(1221122112CCCCCPPMMMMEIEIM同理：同理：002222XX例例4 4 试求图示刚架的全部约束反力。刚架试求图示刚架的全部约束反力。刚架EIEI为常数。为常数。因结构是对称的，而载荷反对称，故因结构是对称的，而载荷反对称，故对称轴横截面上轴力、弯矩为零，只对称轴横截面上轴力、弯矩为零，只有一个多余未知力（