培优提升立体几何5

1、【例 1】 如图，是直角三角形，、的长分别是3和4将绕旋转一周，求扫出的立体图形的体积() 【解析】 如右上图所示，扫出的立体图形是一个圆锥，这个圆锥的底面半径为3，高为4，体积为：【例 2】 已知直角三角形的三条边长分别为，分别以这三边轴，旋转一周，所形成的立体图形中，体积最小的是多少立方厘米？(取)【解析】 以的边为轴旋转一周所得到的是底面半径是，高是的圆锥体，体积为以的边为轴旋转一周所得到的是底面半径是，高是的圆锥体，体积为以的边为轴旋转一周所得到的是底面半径是斜边上的高的两个圆锥，高之和是的两个圆的组合体，体积为【巩固】如图，直角三角形如果以边为轴旋转一周，那么所形成的圆锥的体积为，以

2、边为轴旋转一周，那么所形成的圆锥的体积为，那么如果以为轴旋转一周，那么所形成的几何体的体积是多少？【解析】 设，那么以边为轴旋转一周，所形成的圆锥的体积为，以边为轴旋转一周，那么所形成的圆锥的体积为，由此可得到两条等式：，两条等式相除得到，将这条比例式再代入原来的方程中就能得到，根据勾股定理，直角三角形的斜边的长度为，那么斜边上的高为如果以为轴旋转一周，那么所形成的几何体相当于两个底面相等的圆锥叠在一起，底面半径为，高的和为5，所以体积是【例 3】 如图，是矩形，对角线、相交、分别是与的中点，图中的阴影部分以为轴旋转一周，则白色部分扫出的立体图形的体积是多少立方厘米？(取3) 【解析】 扫出的

3、图形如右上图所示，白色部分实际上是一个圆柱减去两个圆锥后所形成的图形两个圆锥的体积之和为(立方厘米)；圆柱的体积为(立方厘米)，所以白色部分扫出的体积为(立方厘米)【巩固】(2006年第十一届华杯赛决赛试题)如图，是矩形，对角线、相交图中的阴影部分以为轴旋转一周，则阴影部分扫出的立体的体积是多少立方厘米？ 【解析】 设三角形以为轴旋转一周所得到的立体图形的体积是，则等于高为10厘米，底面半径是6厘米的圆锥，减去2个高为5厘米，底面半径是3厘米的圆锥的体积后得到所以，(立方厘米)，那么阴影部分扫出的立体的体积是(立方厘米)【例 4】 (人大附中分班考试题目)如图，在一个正方体的两对侧面的中心各打

4、通一个长方体的洞，在上下底面的中心打通一个圆柱形的洞已知正方体边长为10厘米，侧面上的洞口是边长为4厘米的正方形，上下底面的洞口是直径为4厘米的圆，求此立体图形的表面积和体积 【解析】 先求表面积表面积可分为外侧表面积和内侧表面积外侧为6个边长10厘米的正方形挖去4个边长4厘米的正方形及2个直径4厘米的圆，所以，外侧表面积为：(平方厘米)；内侧表面积则为右上图所示的立体图形的表面积，需要注意的是这个图形的上下两个圆形底面和前后左右4个正方形面不能计算在内，所以内侧表面积为：(平方厘米)，所以，总表面积为：(平方厘米)再求体积计算体积时将挖空部分的立体图形取出，如右上图，只要求出这个几何体的体积

5、，用原立方体的体积减去这个体积即可挖出的几何体体积为：(立方厘米)；所求几何体体积为：(立方厘米)课后练习练习1. （小学生数学报邀请赛）从一个棱长为10厘米的正方形木块中挖去一个长10厘米、宽2厘米、高2厘米的小长方体，剩下部分的表面积是多少？(写出符合要求的全部答案)【解析】 按图1所示沿一条棱挖，为592平方厘米；按图2所示在某一面上挖，为632平方厘米；按图3所示在某面上斜着挖，为648平方厘米；按图4所示挖通两个对面，为672平方厘米 图1 图2 图3图4练习2. 一个酒瓶里面深，底面内直径是，瓶里酒深把酒瓶塞紧后使其瓶口向下倒立这时酒深酒瓶的容积是多少？(取3)【解析】 观察前后，

6、酒瓶中酒的总量没变，即瓶中液体体积不变当酒瓶倒过来时酒深，因为酒瓶深，这样所剩空间为高的圆柱，再加上原来高的酒即为酒瓶的容积酒的体积：瓶中剩余空间的体积，酒瓶容积：练习3. 如右图所示，由三个正方体木块粘合而成的模型，它们的棱长分别为1米、2米、4米，要在表面涂刷油漆，如果大正方体的下面不涂油漆，则模型涂刷油漆的面积是多少平方米？【解析】 该图形从前、后、左、右四面观察到的面积都是平方米，从上面观察到的面积是平方米，由于下面不涂油漆，所以涂刷油漆的面积是平方米练习4. (2008年第二届两岸四地”华罗庚金杯”少年数学精英邀请赛)一个圆柱体形状的木棒，沿着底面直径竖直切成两部分已知这两部分的表面

7、积之和比圆柱体的表面积大，则这个圆柱体木棒的侧面积是_(取)【解析】 根据题意可知，切开后表面积增加的就是两个长方形纵切面设圆柱体底面半径为，高为，那么切成的两部分比原来的圆柱题表面积大：，所以，所以，圆柱体侧面积为：练习5. 如图，厚度为毫米的铜版纸被卷成一个空心圆柱(纸卷得很紧，没有空隙)，它的外直径是180厘米，内直径是50厘米这卷铜版纸的总长是多少米？【解析】 卷在一起时铜版纸的横截面的面积为(平方厘米)，如果将其展开，展开后横截面的面积不变，形状为一个长方形，宽为毫米(即厘米)，所以长为厘米米所以这卷铜版纸的总长是米本题也可设空心圆柱的高为，根据展开前后铜版纸的总体积不变进行求解，其

8、中在计算过程将会消掉月测备选【备选1】如右图，一个正方体形状的木块，棱长l米，沿水平方向将它锯成3片，每片又锯成4长条，每条又锯成5小块，共得到大大小小的长方体60块那么，这60块长方体表面积的和是多少平方米?【解析】 我们知道每切一刀，多出的表面积恰好是原正方体的2个面的面积现在一共切了(31)(41)(51)9刀，而原正方体一个面的面积1l1(平方米)，所以表面积增加了92118(平方米)原来正方体的表面积为616(平方米)，所以现在的这些小长方体的表积之和为618=24(平方米)【备选2】一个透明的封闭盛水容器，由一个圆柱体和一个圆锥体组成，圆柱体的底面直径和高都是12厘米其内有一些水，

9、正放时水面离容器顶厘米，倒放时水面离顶部5厘米，那么这个容器的容积是多少立方厘米？()【解析】 设圆锥的高为厘米由于两次放置瓶中空气部分的体积不变，有：，解得，所以容器的容积为：(立方厘米)【备选3】如图，有一个边长为20厘米的大正方体，分别在它的角上、棱上、面上各挖掉一个大小相同的小立方体后，表面积变为2454平方厘米，那么挖掉的小立方体的边长是多少厘米？【解析】 大立方体的表面积是202062400平方厘米在角上挖掉一个小正方体后，外面少了3个面，但里面又多出3个面；在棱上挖掉一个小正方体后，外面少了2个面，但里面多出4个面；在面上挖掉一个小正方体后，外面少了1个面，但里面多出5个面所以，最后的情况是挖掉了三个小正方体，反而多出了6个面，可以计算出每个面的面积：(24542400)69平方厘米，说明小正方体的棱长是3厘米 【备选4】一个圆柱体底面周长和高相等如果高缩短4厘米，表面积就减少平方厘米求这个圆柱体的表面积是多少？ 【解析】 圆柱体底面周长和高相等，说明圆柱体侧面展开是一个正方形高缩短厘米，表面积就减少平方厘米阴影部分的面积为圆柱体表面积减少部分，值是平方厘米，所以底面周长是(厘米)，侧面积是：(平方厘