材料力学 内力与内力图

1、弯曲内力弯曲内力当作用在杆件上的载荷当作用在杆件上的载荷和支反力都垂直于杆件和支反力都垂直于杆件轴线时，杆件的轴线因轴线时，杆件的轴线因变形由直线变成了曲线，变形由直线变成了曲线，此变形称为此变形称为弯曲变形弯曲变形。6-16-1对称弯曲的概念及梁的计算简对称弯曲的概念及梁的计算简图图一一. . 弯曲的概念弯曲的概念1.工程实例工程实例桥梁，屋梁，车轴都桥梁，屋梁，车轴都是最常见梁的例子。是最常见梁的例子。2.2.定义定义工程中以弯曲变形为主的杆件称为工程中以弯曲变形为主的杆件称为纵向对称面纵向对称面：梁的轴线与横截面纵向对称轴：梁的轴线与横截面纵向对称轴所构成的平面所构成的平面 平面弯曲平面

2、弯曲：当作用在梁上的载荷和支反力均：当作用在梁上的载荷和支反力均位于纵向对称面内时，梁的轴线由直线弯成位于纵向对称面内时，梁的轴线由直线弯成一条位于纵向对称面内的曲线。一条位于纵向对称面内的曲线。二二. .梁的计算简图梁的计算简图1.1.杆件的简化杆件的简化用梁的轴线来代替实际的梁用梁的轴线来代替实际的梁Pq(x)2.2.载荷载荷3.3.支座的分类支座的分类据支座对梁在载荷面内的约束情据支座对梁在载荷面内的约束情况，一般可简化为三种基本形式况，一般可简化为三种基本形式a.a.固定铰支座固定铰支座b.b.可动铰支座可动铰支座c.c.固定端支座固定端支座4.4.静定梁的基本形式静定梁的基本形式a.

3、a.简支梁简支梁b.b.外伸梁外伸梁c.c.悬臂梁悬臂梁6-2 6-2 梁的内力和内力方程梁的内力和内力方程PablxABPblRARP blAlaPRBlbPRFAQlPbxMxRMARARBQFQFMMRBP(1)(1)求支反力求支反力(2)1-1(2)1-1面上的内力面上的内力RAx一一. . 梁的剪力与弯矩梁的剪力与弯矩剪力剪力弯矩弯矩剪力剪力F FQ Q的符号规定的符号规定弯矩弯矩M M的符号规定的符号规定左上右下为正左上右下为正上压下拉上压下拉( (上凹下凸上凹下凸) )为正为正或使该段梁顺或使该段梁顺时针转动为正时针转动为正FQFQFQFQ 例例6-16-1求梁求梁1-11-1、

4、2-22-2、3-33-3和和4-44-4截面上的剪力和弯矩。截面上的剪力和弯矩。得由0BMqaRA45由得MA0qaRB474/51qaRFAQ5/5212qaaRMMA4/23qaqaRFFAQQ2/3223qaaqaaRMA解：解：（1）求支座反力）求支座反力（2 2）求剪力与弯矩）求剪力与弯矩FQ1FQ2FQ4FQ3434qaRqaFBQ,Mqa4254 QFQFMll llM.小结：小结：一般情况下：一般情况下：F FQ Q=F=FQ Q（x x）剪力方程剪力方程M=MM=M（x x）弯矩方程）弯矩方程2. 剪力图和弯矩图剪力图和弯矩图：以以X X轴表示横截面位置，以纵坐标表示相应截

5、轴表示横截面位置，以纵坐标表示相应截面面上的剪力上的剪力F FQ Q、弯矩、弯矩M M，称为剪力图、弯矩图。，称为剪力图、弯矩图。表示表示F FQ Q、M M沿梁轴线变化情况。沿梁轴线变化情况。二、内力方程与内力图二、内力方程与内力图1. 剪力和弯矩方程剪力和弯矩方程RRqlAB2qxl qqxRxFAQ2)(M xq lxqxx( ) 22ABlxq()0 xl qxlq l22822()0 xlQMRA2/qlRB2/qla.a.求支反力求支反力b.b.求内力方程求内力方程 例例6-26-2简支梁受均布荷载简支梁受均布荷载, ,求内力方程并画内力图求内力方程并画内力图8/2l q2/ql2

6、/qlRPblRPalAB,AC段：lbPRxFAQ)()0 xaxlbPxRxMA)()0 xaCB段：laPRxFBQ)()axlM xRlxPallxB( )()()()axlRARBPablxxACB 例例6-36-3简支梁受集中力作用简支梁受集中力作用, ,写出内力方程并画内力图写出内力方程并画内力图)0 ()()0 ()(axxlbPxMaxlbPxFACQ段：QFPabxxACBlPb l /Pa l /M讨论：讨论：a.a.集中力作用点集中力作用点C C处：处：PFFFcQcQQ剪力发生突变，突变量为剪力发生突变，突变量为P PlbP /Pa l /)( )()()()(lxa

7、xllaPxMlxalaPxFCBQ段：Pabl/MARBRxLMxRxMLMRxFaxACLMRRAAQBA)()()0(:11)()()()()(:22xLLMxLRxMLMRxFlxaCBBBQFQLMLMaLMbMABabC讨论讨论: : 集中力偶集中力偶M M作用点作用点C C处：处：MMMMcc 例例6-46-4用静力法作出受集中如图简支梁的内力图用静力法作出受集中如图简支梁的内力图6-3 6-3 剪力、弯矩和载荷集度间的关系剪力、弯矩和载荷集度间的关系一、剪力和弯矩与载一、剪力和弯矩与载荷荷 集度间的微分关系集度间的微分关系q x( )q x( )(xFQ)(dF)(xxFQQM

8、 x( )M xM x( )( )ddxx)(d)(dxqxxFQxxqxFxxFQQQd)()()(dF)(6-1a)q x( )(xFQ)(dF)(xxFQQM x( )M xM x( )( )d0)(21d)()()(d)(2dxxqxxFxMxMxMQ)(d)(dxFxxMQ剪力、弯矩和载荷集度剪力、弯矩和载荷集度的微分关系的微分关系: :)(d)(dxqxxFQ)(d)(dxFxxMQ)(d)(dd)(d22xqxxFxxMQ(6-1b)(6-1c)1 1、梁上无分布荷载作用：、梁上无分布荷载作用：q q（x x）=0=0)()()()(常量CxFxqdxxdFQQ剪力图斜率为零，剪

9、力图斜率为零，F FQ Q（x x）为平）为平行于行于X X轴的直线。轴的直线。FQC0C0C00有极小值有极小值)(d)(d22xqxxM当00有极大值有极大值0q0q0q0q注意坐标方向注意坐标方向不同、曲线开不同、曲线开口不同。口不同。FQM各种形式荷载作用下的剪力、弯矩图各种形式荷载作用下的剪力、弯矩图无载荷无载荷(q=0)(q=0)均布载荷均布载荷(q=c)(q=c)0QF0QFmCPC0QF0QF尖角尖角突变突变P PC无变化无变化突变突变m0q0q0q0q载荷情况载荷情况剪力图剪力图弯矩图弯矩图 例例6-56-5作外伸梁的内力图作外伸梁的内力图ql / 2QFM8/2qlRARB

10、qll2ACB8/ l qRqlRqlAB858二、载荷集度、剪力和弯矩的积分关系二、载荷集度、剪力和弯矩的积分关系)(d)(dxqxxFQxxqxFQd)()(d21d)()(dxxBAQxxqxF21d)(xxAQBQxxqFFq x( )ABxx2x1qAQBQSF Fd)(21xxqxxqS式中)(d)(dxFxxMQxxFxMQd)()(d21d)()(dxxQBAxxFxM21d)(xxQABxxFMMQABSMMd)(21xxQQxxFS式中（6-3a）（6-3b）解解:(1)求支反力求支反力EPP4m4m4m3mABCDMqARBRkNRkNRBA57(2)(2)剪力图剪力图k

11、NqRFkNRFACACQAAQ347:斜直线段73kNPqRFkNPqRFCDADQACQ3814:11斜直线段1-3FQ面积法画内力图面积法画内力图2213BD：水平直线kNFBQ3BE：水平直线kNPFBQ22 例例6-66-6外伸梁外伸梁 q=1kN/m, P=2kN M=10kN.m4m4m4m3mABCDEM1P2PqARBR（3 3）作弯矩图）作弯矩图kNqRMMACACA202440:抛物线M抛物线:CDkNmMkNmMD162/335 .205 .202/112/ ) 37( 4max731-3FQ22136-6kNmMkNmMMMBDBDD643661016:斜直线0236

12、:EMBE 斜直线2020.516 例例6-66-6用面积法作用面积法作如图梁的内力图。如图梁的内力图。QqqqaP aaaqa2qaqaqaqa 作剪力图，从左往作剪力图，从左往右，看着上就上，右，看着上就上，看着下就下看着下就下qaRAqaRB22/2qa2/2qaMqQl2l238qlq l838ql8ql12892ql162ql 例例6-76-7画出如图梁的内力图画出如图梁的内力图支座反力支座反力83qlRA8qlRBMPlPQqqlQ22l qlMlP6-46-4叠加法画弯矩图叠加法画弯矩图一一. .简单载荷弯矩图简单载荷弯矩图Mabmlm l /m l /Qm l /Mlma /l

13、bm/2/PQ2/P2/PalPa2/PM4/Pl 例例6-86-8作如图梁的弯矩图作如图梁的弯矩图aaam PaPPPMPamMMPa 练习练习6-16-1作出如作出如图结构的弯矩图图结构的弯矩图PaPm aaPa2Pa-PaPaMpMm解：解：1)作作M图图由：由：M0=0MA=M0+23=6kNmMB=MA+2 (-1)=4kNmOA段：斜直线AB段：斜直线64BC段：抛物线，顶点(a=3m)3FQx3kN1kN1kN3kN02m2m4mABCEME=MB+1/2(11)=4.5kNmMMQ xxBAxx( )d124.5M0 例例6-106-10已知已知Q Q图，作图，作M M图及荷图

14、及荷载图（梁上无集中力偶）载图（梁上无集中力偶）M0FQM643x3kN1kN1kN3kN02m2m4mABCE4.52)作荷载图：作荷载图：由剪力图：由剪力图：P=3kNP1=4kNP2=2kNP3=3kNqQQq xxBAxx( ) d12求求q:mkNpppqqpppQc/1)3 (413421211. 1. 刚架的内力图刚架的内力图 刚架的组成刚架的组成横梁、立柱横梁、立柱与刚节点。与刚节点。立柱立柱刚节点刚节点横梁横梁刚架内力图刚架内力图内内 力力 图图7-6平面刚架（折杆）内力图平面刚架（折杆）内力图 面内载荷作用下，刚架各杆横截面面内载荷作用下，刚架各杆横截面 上的上的 内力分量

15、内力分量轴力、剪力和弯矩。轴力、剪力和弯矩。无关无关无关无关有关有关刚架内力图刚架内力图特 点内内 力力 图图 内力分量的正负号与观察者位置的内力分量的正负号与观察者位置的 关系：关系： 刚架内力图的画法刚架内力图的画法 (1) (1) 无需建立坐标系；无需建立坐标系； (2) (2) 控制面、平衡微分方程；控制面、平衡微分方程； 刚架内力图刚架内力图内内 力力 图图(3) (3) 弯矩的数值标在受拉边，轴力、弯矩的数值标在受拉边，轴力、 剪力画在里侧和外侧均可，但需剪力画在里侧和外侧均可，但需 标出正负号；标出正负号；(4) (4) 注意节点处的平衡关系。注意节点处的平衡关系。例例:绘刚架内

16、力图绘刚架内力图解：一）求支反力：q=1kN/mAB8kN1kNCDE4m1m2m3mRAXRAYRB:0AMkNRB5311818kNRRqXAxAx3014:008:0BAyRRYkNRAy3二）分析内力：1）BC杆：（0 x13）1111)(1)(xxMkNxQ弯矩剪力8kNRAYq=1kN/mABCDE4m1m2m3mRAXRB1kN1kNRBx1)(1xQ)(1xMN1kNRNB51轴力2）DC杆：（0 x23）分段列出EC段：（0 x22）3531)(5)(122222xxRxMkNRxQkNNBB2N)(2xQ)(2xMX2q=1kN/mAB8kN1kNCDE4m1m2m3mRA

17、XRAYRBQE段：（3x22）X213331)2(8)(58)(;1222222xxxRxMkNRxQNBBX33N)(3xQ)(3xM23323323333321321)(31)3()(3xxqxxRxMxxqxRxQkNRNAxAxAy3）AD段：（0 x34）三、作内力图1）轴力图q=1kN/mAB8kN1kNCDE4m1m2m3mRAXRAYRBkNNADkNNDCkNNBC3:1:5:321杆杆杆ABDECq=1kN/mAB8kN1kNCDE4m1m2m3mRAXRAYRBABDEC2）剪力图:用简易法：取控制点1kNBC杆：取一点（水平线）DC杆：取两点（水平线）5kN3kNDA杆：取两点（斜直线）1kN3kNq=1kN/mAB8kN1kNCDE4m1m2m3mRAXRAYRB3）弯矩图 用简易法：取控制点BC杆：取两点（斜直线）DC杆：取两点（水平线）D