材力07 弯曲变形

1、127 71 1 梁的挠度和转角梁的挠度和转角7 72 2 挠曲线近似微分方程挠曲线近似微分方程 主要内容主要内容7 74 4 叠加法求弯曲变形叠加法求弯曲变形 7 75 5 梁的刚度校核梁的刚度校核 提高梁弯曲刚度的措施提高梁弯曲刚度的措施7 76 6 简单静不定梁简单静不定梁7 73 3 积分法求弯曲变形积分法求弯曲变形 7 77 7 提高梁弯曲刚度的措施提高梁弯曲刚度的措施7 7 梁的挠度和转角梁的挠度和转角研究范围：等直梁在对称弯曲时位移的计算。研究目的：对梁作刚度校核； 解超静定梁（变形几何条件提供补充方程）。1.挠度：横截面形心沿垂直于轴线方向的线位移。用v表示。 与 y 同向为正

2、，反之为负。2.转角：横截面绕其中性轴转动的角度。用 表示，逆时针转动为正，反之为负。二、挠曲线：变形后，轴线变为光滑曲线，该曲线称为挠曲线。二、挠曲线：变形后，轴线变为光滑曲线，该曲线称为挠曲线。 其方程为：其方程为： v =f (x)三、转角与挠曲线的关系：三、转角与挠曲线的关系：一、度量梁变形的两个基本位移量一、度量梁变形的两个基本位移量 (1) )( ddtgxfxv小变形小变形PxwC C1y 7-2 挠曲线近似微分方程挠曲线近似微分方程zzEIxM)(1zzEIxMxf)()( 即挠曲线近似微分方程。即挠曲线近似微分方程。)( )(1 ()(1232xfxfxf 小变形小变形yxM

3、00)( xfyxM00)( xf挠曲线曲率（式挠曲线曲率（式6.26.2）: :EIxMxf)()( 6)()(xMxfEI 对于等截面直梁，挠曲线近似微分方程可写成如下形式：7)()(xMxfEI 用积分法求弯曲变形（挠曲线方程）用积分法求弯曲变形（挠曲线方程）)()(xMxfEI 1d)()(CxxMxfEIEI21dd)()(CxCxxxMxEIfEIw 1.微分方程的积分C1、C2为积分常数，据边界条件确定8-3 8-3 积分法求弯曲变形积分法求弯曲变形挠曲线近似微分方程：挠曲线近似微分方程：2.位移边界条件PABCPD支点位移条件：连续光滑条件：PABC右左CCvv右左CC00BA

4、vv00DDv（集中力、集中力偶作用处，截面变化处）讨论：讨论： 适用于小变形情况下、线弹性材料、细长构件的平面弯曲。适用于小变形情况下、线弹性材料、细长构件的平面弯曲。 积分常数由挠曲线变形的几何相容条件（边界条件、连续条积分常数由挠曲线变形的几何相容条件（边界条件、连续条 件）确定。件）确定。 可应用于求解承受各种载荷的等截面或变截面梁的位移。可应用于求解承受各种载荷的等截面或变截面梁的位移。 优点：使用范围广，直接求出较精确；优点：使用范围广，直接求出较精确； 缺点：计算较繁。缺点：计算较繁。例例1 1 求下列各等截面直梁的弹性曲线、最大挠度及最大转角。建立坐标系并写出弯矩方程)()(L

5、xPxM写出微分方程的积分并积分应用位移边界条件求积分常数)()(xLPxMEIv12)(21CxLPEIv213)(61CxCxLPEIv061)0(23CPLEIf021)0()0(12CPLfEIEI322161 ; 21PLCPLC解：PLxy写出弹性曲线方程并画出曲线3233)(6)(LxLxLEIPxfEIPLLff3)(3maxEIPLL2)(2max最大挠度及最大转角xyPL解：建立坐标系并写出弯矩方程)( 0)0( )()(LxaaxaxPxM写出微分方程的积分并积分112)(21DCaxPEIv21213)(61DxDCxCaxPEIv)( 0)0( )(LxaaxaxPE

6、IvxyPLa应用位移边界条件求积分常数061)0(23CPaEIf021)0(12CPaEI32221161 ; 21PaDCPaDC)()()(afafaf)()(aa11DC 2121DaDCaCPLa322161 ; 21PaCPaCxy写出弹性曲线方程并画出曲线)(a 36)0( 3)(6)(23323Lx xaaEIPax axaaxEIPxfaLEIPaLff36)(2maxEIPaa2)(2max最大挠度及最大转角PLaxy8-4 8-4 叠加法求弯曲变形叠加法求弯曲变形一、载荷叠加：一、载荷叠加：多个载荷同时作用于结构而引起的变形 等于每个载荷单独作用于结构而引起的变形的代数

7、和。)()()(),(221121nnnPPPPPP )()()(),(221121nnnPfPfPfPPPf 二、结构形式叠加（逐段刚化法）：二、结构形式叠加（逐段刚化法）：前提：小变形，线弹性使梁的挠度、转角均与载荷成线形关系。例例 按叠加原理求A点转角和C点挠度。解、载荷分解如图由梁的简单载荷变形表， 查简单载荷引起的变形。EIPafPC63EIPaPA42EIqafqC2454EIqaqA33qqPP=+AAABBB CaaEIPafPC63EIPaPA42EIqafqC2454EIqaqA33qqPP=+AAABBB Caa叠加qAPAA)43(122qaPEIaEIPaEIqafC

8、624534例例 按叠加原理求C点挠度。解：载荷无限分解如图由梁的简单载荷变形表， 查简单载荷引起的变形。叠加EIbLbPfdPC48)43()d(22bLbqxxqPd2d)(d0bEILbLbqd24)43(2220dPCqCffEIqLbEILbLbqL240d24)43(45.002220q00.5L0.5LxdxbxfC例例 结构形式叠加（逐段刚化法) 原理说明。=+PL1L2ABCBCPL2f1f2等价等价xx21ffffPL1L2ABC刚化刚化AC段段PL1L2ABC刚化刚化BC段段PL1L2ABCMx8-5 8-5 梁的刚度校核梁的刚度校核 提高梁弯曲刚度的措施提高梁弯曲刚度的

9、措施 maxwv max一、梁的刚度条件一、梁的刚度条件其中称为许用转角；w称为许用挠度。由具体工作条件定,可查手册.通常依此条件进行如下三种刚度计算：、校核刚度：、设计截面尺寸；、设计载荷。 max(但：对于一般工程结构，强度常处于主要地位。特殊构件例外） maxwvPL=400mmP2=2kNACa=0.1m200mmDP1=1kNB例例 下图为一空心圆杆，内外径分别为：d=40mm、D=80mm，杆的E=210GPa，工程规定C点的f=0.00001m,B点的=0.001弧度,试校核此杆的刚度。=+=P1=1kNABDCP2BCDAP2=2kNBCDAP2BCaP2BCDAMP2BCa=

10、+图图1 1图图2 2图图3 3EIaLPafBC162111EILPB16211EILaPEIMLB3323EILaPafBC32233解：结构变换，查表求简单 载荷变形。02BEIaPfC3322PL=400mmP2=2kNACa=0.1m200mmDP1=1kNBP1=1kNABDCP2BCDAMxyP2BCa=+图图1 1图图2 2图图3 3PL=400mmP2=2kNACa=0.1m200mmDP1=1kNBP1=1kNABDCP2BCDAMxyEILaPEIaPEIaLPfC3316223221EILaPEILPB316221叠加求复杂载荷下的变形48124444m10188 10

11、)4080(6414. 3 )(64dDIm1019. 533166223221EILaPEIaPEIaLPfC)(10423. 0)320016400(18802104 . 03164221弧度EILaPEILPB 001.010423.04maxm10m1019.556maxff校核刚度25强度：正应力：剪应力： maxzWM zzbIQS* zEIXMv)(刚度：稳定性：都与内力和截面性质有关。 二、提高梁弯曲刚度的主要措施二、提高梁弯曲刚度的主要措施26（一）、选择梁的合理截面（一）、选择梁的合理截面矩形木梁的合理高宽比矩形木梁的合理高宽比北宋李诫于1100年著营造法式 一书中指出:矩

12、形木梁的合理高宽比 ( h/b = ) 1.5英(T.Young)于1807年著自然哲学与机械技术讲义 一书中指出:矩形木梁的合理高宽比 为刚度最大。时强度最大时, 3 ;, 2bhbhRbh27一般的合理截面AQ3433. 1mmax 3231DWz13221.18 6)(6zzWRbhWmmax5 . 1)2/( ;,41221 DRaaD时当1 1、在面积相等的情况下，选择抗弯模量大的截面、在面积相等的情况下，选择抗弯模量大的截面zDzaa 1.0512 132zzIbhI28mmax2143375. 2 )0.8-(132zzWDW1222167. 1,4)8 . 0(4 DDDDD时

13、当1121212,24 DaaD时当1312467. 1 646zzWabhWmmax5 . 1zD0.8Da12a1z 59. 4)8 . 01 (64 1443zzIDI 2.0912812z14134Iabh Iz29 55.9 15zzII)(= 3 . 2mmaxfAQ工字形截面与框形截面类似。1557. 4zzWW1222222105. 1,6 . 18 . 024 DaaaD时当0.8a2a21.6a22a2z302 2、根据材料特性选择截面形状、根据材料特性选择截面形状 Gz如铸铁类材料，常用T字形类的截面，如下图：（二）、采用变截面梁（二）、采用变截面梁最好是等强度梁，即)(

14、)()(maxxWxMx若为等强度矩形截面，则高为)(6)(bxMxh同时)(5 . 1maxxbhQ5 . 1)(bQxhPx31EIPLy3max021. 0EIPLy3max014. 0EIPLy3max0073. 0（三）、合理布置外力（包括支座），使（三）、合理布置外力（包括支座），使 M max 尽可能小。尽可能小。PL/2L/2Mx +PL/4PL/43L/4Mx3PL/16P=qLL/54L/5对称MxqL2/1032EIqLy4max013.0EIqLy43max107875. 0EIqLy43max10326. 0Mx82qLqLL/5qL/5402qL502qL MxqL

15、/2L/2322qL Mx512/92qL33ZYcrIILGEb （四）、梁的侧向屈曲（四）、梁的侧向屈曲1.矩形纯弯梁的临界载荷LMMxyz342.工字钢形截面纯弯梁的临界载荷LMMxyzhZYZYZYcrIIIIEGIILEL2222)(2h 由上可见，I y过小时，虽然强度和刚度较高，但侧向失稳的可能性却增大了，这点应引起注意。35（五）、选用高强度材料，提高许用应力值（五）、选用高强度材料，提高许用应力值 同类同类材料材料，“E”值相差不多值相差不多，“ jx”相差较大相差较大，故换故换用同类材料只能提高强度，不能提高刚度和稳定性用同类材料只能提高强度，不能提高刚度和稳定性。 不同类

16、材料，不同类材料，E和和G都相差很多（钢都相差很多（钢E= =200GPa , , 铜铜E= =100GPa），故可选用不同的材料以达到提高刚度和稳），故可选用不同的材料以达到提高刚度和稳定性的目的。但是，改换材料，其定性的目的。但是，改换材料，其原料费用原料费用也会随之发生也会随之发生很大的改变！很大的改变！* *简单静不定简单静不定梁梁1、处理方法：变形协调方程、物理方程与平衡方程相结合，求全部未知力。解：建立静定基 确定超静定次数，用反力代替多余约束所得到的结构静定基。=EIq0LABLq0MABAq0LRBABxy几何方程变形协调方程0BBRBqBfff+q0LRBAB=RBABq0AB物理方程变形与力的关系补充方程EILRfEIqLfBBRBqB