机械振动基础第四章多自由度系统

1、将具体的结构简化成：多个以各种方式相连接的离散将具体的结构简化成：多个以各种方式相连接的离散质量、弹性元件和阻尼元件组成的质量、弹性元件和阻尼元件组成的离散振动系统离散振动系统。这种系统称为多自由度振动系统。描述它振动的运动这种系统称为多自由度振动系统。描述它振动的运动微分方程为微分方程为常微分方程组常微分方程组。 第第4章章 多自由度系统多自由度系统 23231221222222122121111111)()()()()()(xcxkxxcxxktFxmxxcxxkxcxktFxm )(tFxKxCxM 本章内容：本章内容：1) 多自由度系统振动的基本理论，多自由度系统的多自由度系统振动的基

2、本理论，多自由度系统的固有固有频率和振型的理论频率和振型的理论；2) 分析多自由度系统动力响应常用的分析多自由度系统动力响应常用的振型迭加方法振型迭加方法；3) 用用变换方法变换方法求多自由度系统求多自由度系统动力（态）响应动力（态）响应的问题。的问题。 4.1 运动微分方程运动微分方程n个自由度的振动系统的运动微分方程可以写为个自由度的振动系统的运动微分方程可以写为)0(,)0(00 xxxxfxKxCxM 一般一般 MCK 不会同时为对角矩阵，方程存在耦合。不会同时为对角矩阵，方程存在耦合。解解耦是在时域内求解方程的重要一环。耦是在时域内求解方程的重要一环。 分别叫：分别叫：矩阵矩阵 向量

3、向量在静力学中，各自由度的位移在静力学中，各自由度的位移x、系统的刚度矩阵、系统的刚度矩阵K、各自由度上所受到的外力关系为：各自由度上所受到的外力关系为：刚度矩阵刚度矩阵K的元素的元素kij的意义的意义 ：xKf如系统第如系统第j个自由度沿其坐标正方向有一个个自由度沿其坐标正方向有一个单位位移单位位移，其余其余各个自由度的位移保持各个自由度的位移保持为零为零，为保持系统这种变形状，为保持系统这种变形状态态需要在需要在各个自由度各个自由度施加外力施加外力，其中在第其中在第i个自由度上施个自由度上施加的外力就是加的外力就是kij。 11121112122222j 1212 0010jjnjjnjj

4、jjjnjjnnnjnnnjfKekkkkkkkkkkkkkkkkkkkk K的定义：外力的定义：外力f正好是刚度矩阵正好是刚度矩阵K的第的第 j 列。列。 系统第系统第j个自由度有一个正向单位位移，其余自由度位移个自由度有一个正向单位位移，其余自由度位移为零这种变形状态可以由向量为零这种变形状态可以由向量xej描述。描述。为使系统保持为使系统保持ej的变形状态，所加的外力为：的变形状态，所加的外力为： 例例 4.1 求图示的简化的汽车求图示的简化的汽车4自由度模型的刚度矩阵。自由度模型的刚度矩阵。 解：取解：取yA,yB,y1,y2为描述系统运动的广义坐标，即为描述系统运动的广义坐标，即 x

5、=yA,yB,y1,y2T 各个自由度原点均取静平衡位置，各个自由度原点均取静平衡位置，向上为正向上为正。(1) 求求K的第一列：设的第一列：设yA沿坐标正方向有一个单位位沿坐标正方向有一个单位位 移，其余广义坐标位移为零，则只有移，其余广义坐标位移为零，则只有k2被伸长，此时：被伸长，此时：外力外力f=?f1=k2; f2=0;f3=-k2;f4=011121112122222j 1212 0010jjnjjnjjjjjnjjnnnjnnnjfKekkkkkkkkkkkkkkkkkkkk k11=k2; k21=0;k3l=-k2;k41=0(2)求求K的第二列：的第二列：yB k120，

6、k22k4， k32=0， k42=-k4 坐标坐标x=yA,yB,yl,y2T(3)求求K的第三列。设的第三列。设yl k13-k2， k230， k33=k2+k1， k43=0 (4)求求K的第四列。设的第四列。设y2 k14=0， k24=-k4， k34=0， k44k2+k4 434212442200000000kkkkkkkkkkK三种求三种求K的方法：？的方法：？牛顿法、求偏倒法（能量法）、定义法。牛顿法、求偏倒法（能量法）、定义法。坐标坐标x=yA,yB,yl,y2T212121xKxUxCxDxMxETTTTjiTijxxEm 2jiijxxDc2jiijxxUk2 jii

7、jjiijjiijjiijjiijTjiTijkxxUxxUkcxxDxxDcmxxExxEm222222质量矩阵、阻尼矩阵和刚度矩阵均是对称矩阵。质量矩阵、阻尼矩阵和刚度矩阵均是对称矩阵。 用求偏倒的方法写用求偏倒的方法写M C K矩阵：矩阵：定义法和牛顿法比较麻烦，一般用能量法比较方便：定义法和牛顿法比较麻烦，一般用能量法比较方便：1) 写系统的动写系统的动能、能量耗散能、能量耗散函数和势能函数和势能 2) 求求偏导偏导3) 得到矩阵得到矩阵222211222121222ymymLyyIyyMEABBAT针对本例：系统的动能为杆的平动针对本例：系统的动能为杆的平动动能和转动动能与两个质量的

8、动能动能和转动动能与两个质量的动能之和，设杆的质心在杆的中点，质之和，设杆的质心在杆的中点，质量为量为M。系统的动能为：。系统的动能为： 044434242314132221122222441212332222222211mmmmmLIMyyEmmmyEmmyEmLIMyEmLIMyEmBATTTBTAT21222200000000440044mmLIMLIMLIMLIMM坐标系坐标系 x=yA,yB,y1,y2TjiTijxxEm 2xKfxCfxMfsim 由系统的质量矩阵、阻尼矩阵和刚度矩阵可以得到系统由系统的质量矩阵、阻尼矩阵和刚度矩阵可以得到系统的惯性力、阻尼力和弹性力：的惯性力、阻

9、尼力和弹性力：它们的分量分别为施加于它们的分量分别为施加于各个自由度上各个自由度上的惯性力、阻的惯性力、阻尼力和弹性力。尼力和弹性力。求解方程：求解方程：)0(,)0(00 xxxxfxKxCxM 求解一种方法是寻找一个新广义坐标系，使得系统求解一种方法是寻找一个新广义坐标系，使得系统的质量矩阵、阻尼矩阵和刚度矩阵为的质量矩阵、阻尼矩阵和刚度矩阵为对角矩阵对角矩阵。也就是。也就是解耦解耦。新坐标系与原坐标系存在新坐标系与原坐标系存在线性变换线性变换关系，因此，要关系，因此，要寻找一个寻找一个可逆线性变换矩阵可逆线性变换矩阵u，将质量矩阵、阻尼矩，将质量矩阵、阻尼矩阵和刚度矩阵变换为对角矩阵。阵

10、和刚度矩阵变换为对角矩阵。为此，我们讨论为此，我们讨论线性变换前后线性变换前后多自由度系统运动微多自由度系统运动微分分方程的关系方程的关系。 设有可逆线性变换设有可逆线性变换u，使得，使得 yux ,yuxyux 因而有因而有称称x为旧坐标系，为旧坐标系，y为新坐标系。为新坐标系。 2121)()(21211yCyyuCuyyuCyuxCxDTTTTT2121)()(21211yMyyuMuyyuMyuxMxETTTTTT2121)()(21211yKyyuKuyyuKyuxKxUTTTTT系统的动能、势能和能量耗散函数与坐标系选择无关，系统的动能、势能和能量耗散函数与坐标系选择无关，也就是说

11、，它们是坐标变换下的不变量也就是说，它们是坐标变换下的不变量, 因此有：因此有：111uKuKuCuCuMuMTTT新旧坐标系下矩阵的关新旧坐标系下矩阵的关系：系：两边左乘两边左乘uT ，根据：，根据：111pfuyKyCyMT fyuKyuCyuM 将将x=uy代入方程：代入方程：得到，新坐标系得到，新坐标系y下的运动微分方程：下的运动微分方程： fupT111uKuKuCuCuMuMTTT得到：得到：其中：其中：是新坐标是新坐标y下的下的广义激励广义激励。 )0(,)0(00 xxxxfxKxCxM 1yMxMuT此时，方程此时，方程解耦解耦了！了！为求为求x=uy的逆变换，在其两边左乘的

12、逆变换，在其两边左乘uTM得得 即：即： 11xMuMyT坐标系坐标系y下的初始条件为：下的初始条件为：)0()0()0()0(1111xMuMyxMuMyTT111pfuyKyCyMT 问题转化为坐标问题转化为坐标y 微分方程的定解微分方程的定解 )0()0()0()0(1111xMuMyxMuMyTT思路：思路：x坐标系下坐标系下的微分方程的微分方程和初试条件和初试条件x坐标系下坐标系下的微分方程解的微分方程解y坐标系下坐标系下的微分方程的微分方程和初试条件和初试条件耦合，不能求耦合，不能求解解u坐标转换坐标转换解耦解耦y坐标系下坐标系下的微分方程解的微分方程解微分方程相微分方程相互，可求

13、解互，可求解uT坐标逆转换坐标逆转换4.2 固有频率与振型固有频率与振型 系统的系统的固有频率和振型一一对应固有频率和振型一一对应。系统求解的思路：系统求解的思路：1) 设系统解为简谐振动：设系统解为简谐振动：2) 代入微分方程：代入微分方程：3) 得到广义特征值问题：得到广义特征值问题：4) 得到得到特征方程特征方程或或频率方程：频率方程：5) 求得求得w w1 1，w w2 2并取并取w w1 1w w2 2 ;6) 代回广义特征值问题，求得振型代回广义特征值问题，求得振型u。)cos()(wtAtg0)()(tguKtguM 0)(2uMKw0)(22MKww0 xKxM tuxwcos

14、 无阻尼自由振动系统的运动微分方程为：无阻尼自由振动系统的运动微分方程为：在在特殊初始激励特殊初始激励下，系统无阻尼自由振动是下，系统无阻尼自由振动是简谐振动简谐振动，也，也就是固有振动。形式为：就是固有振动。形式为：其中，其中，u和和w w是待求的振型和固有频率。是待求的振型和固有频率。0cos)(2tuKuMww0)(2uKMw02ijijmkw这就是这就是频率方程频率方程。 0)(2rruMKw nr, 2 , 1 将将代入方程代入方程得到得到 tuxwcos0 xKxM 方程有非零解的充要条件是系数矩阵的行列式为零，即：方程有非零解的充要条件是系数矩阵的行列式为零，即： 这是以这是以w

15、 w2 2为未知数的为未知数的n次代数方程次代数方程，解之可得，解之可得n个根个根，w w1 1， w w2 2 ，. . . w. . . wn 。依次代入广义特征值问题方程可以得到。依次代入广义特征值问题方程可以得到n个方程个方程广义特征值问题广义特征值问题求出与求出与w w2r相对应的非零的相对应的非零的ur 。就是与固有频率。就是与固有频率对应的对应的振型。振型。0)(2rruMKw由：由：固有频率固有频率振型振型如果如果w w2r是是频率方程（是是频率方程（4.13）的）的k重根（重根（k正整数，正整数，k0。 这是一个这是一个对称系统对称系统，对称点为弹簧是的中点。它有两，对称点为

16、弹簧是的中点。它有两种固有振动：种固有振动：mmMkkkkK00,1)写写K M：mk /2, 021ww2) 由特征方程计算固有频率：由特征方程计算固有频率： 3) 取取w wr2的正平方根的正平方根w wr，称为系统的第，称为系统的第r阶固有频率，而相阶固有频率，而相应地称应地称ur为系统的第为系统的第r阶固有振型，简称振型。并将固阶固有振型，简称振型。并将固有频率按由小到大的顺序编号有频率按由小到大的顺序编号nwww21系统的固有频率和振型与激励无关，由系统的固有频率和振型与激励无关，由K和和M决定。决定。 同样，由能量法可获得相同的结果：同样，由能量法可获得相同的结果：0)(22MKw

17、w如果振型如果振型ur 满足满足则对任意非零常数则对任意非零常数c，cur也满足上式。也满足上式。即振型只是给出了振动方向和即振型只是给出了振动方向和相对振幅相对振幅，而振型大小，而振型大小需要人为指定。需要人为指定。称指定振型的大小为称指定振型的大小为振型的正规化振型的正规化。0)(2rruMKw(1)令令ur满足满足 1rTruMu此时在式此时在式(4.14)两边左乘两边左乘urT可得可得 22rrTrrrTruMuuKuww振型正规化振型正规化方案有多种，常用的有以下几种：方案有多种，常用的有以下几种：0)(2rruMKw(2)令令ur的某一分量（常取的某一分量（常取绝对值最大绝对值最大

18、的分量的分量 ）为）为1；其他分量等比缩小。其他分量等比缩小。 如：如： ur=2, 1.4, 0.8, 0.6正规化正规化 得到：得到：ur=1, 0.7, 0.4, 0.3振型的性质：振型的性质：属于不同固有频率的振型彼此以系统的质量属于不同固有频率的振型彼此以系统的质量矩阵和刚度矩阵为权正交，这个性质称为矩阵和刚度矩阵为权正交，这个性质称为振型的正交性振型的正交性。 00rTsrTsuKuuMusr srww前提：前提：数学表示为：数学表示为： 证明过程：证明过程： 由由0)(2rruMKw可得可得2rrruMuKw2sssuMuKwsrww这里这里左乘左乘usT 得：得：2rrruMu

19、Kw2sssuMuKw左乘左乘urT ，再转置得：，再转置得：2rTsrrTsuMuuKuw2rTssrTsuMuuKuw)(022rTssruMuww不为不为0因此：因此：00rTsrTsuKuuMusr srww即：振型的正即：振型的正交性交性振型正交性的物理意义：振型正交性的物理意义： 假定系统的位移可以表示为第假定系统的位移可以表示为第s和第和第r阶两个振型的线性组阶两个振型的线性组合，即：合，即： )()(srutbutax其中：其中：ur、us 对对质量矩阵归一质量矩阵归一；a(t)、b(t)是时间的标是时间的标量函数。量函数。 则系统的动能和势能为则系统的动能和势能为 ：)()(

20、21)()()()(212122tbtautbutaMutbutaxMxEsrTsrTT令：令：srTsTrTUUUEEE则：则：)(21),(21)(21),(21222222tbUtaUtbEtaEssrrTsTrww)()(21)()()()(212122tbtautbutaMutbutaxMxEsrTsrTT)()(21)()()()(21212222tbtautbutaKutbutaxKxUsrsrTsrTww它们分别是第它们分别是第r、s阶振型单独存在时系统的动能和势能，阶振型单独存在时系统的动能和势能，称为系统的第称为系统的第r、s阶动能和势能。阶动能和势能。 这个结论对这个结论

21、对位移是任意位移是任意k k ( (k kn n) )个振型的线性组合的情况个振型的线性组合的情况也成立。也成立。 更进一步：更进一步：各个振型之间的动能、势能不交换各个振型之间的动能、势能不交换。各振型。各振型在振动时相互独立、互不影响，如同一组彼此没有关系在振动时相互独立、互不影响，如同一组彼此没有关系的单自由度系统振动时的情形一样。的单自由度系统振动时的情形一样。 mkk122wmk1w由全体振型构成的向量组是线性无关的由全体振型构成的向量组是线性无关的。是一个。是一个基基。 响应响应x 可以被系统的振型线性表出可以被系统的振型线性表出 ：2211nnuyuyuyx即：即：展开定理展开定

22、理。振动系统响应是系统。振动系统响应是系统n个振型的线性组合。个振型的线性组合。矩阵形式：矩阵形式：x=uy )0()0()0()0(02xMuyxMuyyyTTr w0 xKxM 振型的正规正交化条件：振型的正规正交化条件： 1)先引入符号先引入符号 srsrrs01是单位矩阵是单位矩阵E的元素的元素 )(rsE2)振型的正规正交化条件可写为：振型的正规正交化条件可写为： nsruKuuMursrrTsrsrTs,12w定义振型矩阵定义振型矩阵u，它的列向量为相应的振型它的列向量为相应的振型，即，即 ,21nuuuu因此，有因此，有 ,21nuMuMuMuM且且 ,2121nTnTTTuMu

23、MuMuuuuMu212221212111EuMuuMuuMuuMuuMuuMuuMuuMuuMunTnTnTnnTTTnTTTnsruKuuMursrrTsrsrTs,12w同样同样 000000222221rnTuKuwwwwnsruKursrrTs,12w因此：属于不同固有频率的振型彼此以系统的质量矩阵和因此：属于不同固有频率的振型彼此以系统的质量矩阵和刚度矩阵为权正交，这就是刚度矩阵为权正交，这就是振型的正交性振型的正交性。更进一步，证明：更进一步，证明：由全体振型由全体振型ur构成的向量组构成的向量组u是线性是线性无关的无关的。 1)线性无关定义：线性无关定义：如果一组向量如果一组向

24、量x1，x2，xn由方程由方程 02211nnxxx只能得出，只能得出，则向量则向量x1，x2，xn线性无关线性无关。也就是说，。也就是说，它们它们是是xx空间的一个正交基。空间的一个正交基。 021n2) 同样，如果同样，如果u空间（振型空间）有：空间（振型空间）有：02211nnuuu则方程两边左乘则方程两边左乘u1TM得：得： 01212111nnuMuuMuuMu由于振型的正交性，有由于振型的正交性，有 0111uMu不为不为0所以有所以有 013)按此方法，依次对按此方法，依次对两边左乘两边左乘 ，将得到，将得到 MuTr02211nnuuu021n4) 因此振型因此振型u1，u2，

25、un是线性无关的。是线性无关的。 振型矩阵振型矩阵u的列向量是线性无关的；的列向量是线性无关的； 振型矩阵振型矩阵u为为可逆矩阵可逆矩阵。 振型振型ur是是n维向量空间的一个向量，且维向量空间的一个向量，且n个振型是线性无个振型是线性无关的，因此：关的，因此：n个振型构成了个振型构成了n维向量空间中的一个基维向量空间中的一个基，任何一个向量都可以被这任何一个向量都可以被这n个振型个振型线性表出线性表出。系统系统n个振型构成的广义坐标为个振型构成的广义坐标为振型坐标振型坐标，系统所有的响系统所有的响应振动，都是这个基的线性组合应振动，都是这个基的线性组合。三维向量空间的直角坐标基三维向量空间的直

26、角坐标基三维向量空间的柱坐标基三维向量空间的柱坐标基n自由度振动系统的自由度振动系统的响应响应x也是也是n维向量，可以被系统的维向量，可以被系统的振型振型ur线性表示线性表示，即有，即有:2211nnuyuyuyx这就是这就是展开定理展开定理，其中，其中yr(r1，2，n)是是响应响应x在第在第r个个基向量基向量ur下的坐标（系数）。下的坐标（系数）。 振动系统的响应是系统振动系统的响应是系统n个振型的线性组合。个振型的线性组合。 展开定理的矩阵形式为：展开定理的矩阵形式为： x=uy 其中，其中，y的分量为的分量为响应响应 x x 在系统振型在系统振型 u u 下的坐标下的坐标。以式以式(4

27、.29)取代式取代式(4.5)，可以得到在振型坐标下，可以得到在振型坐标下n自由自由度系统无阻尼自由振动的运动微分方程。度系统无阻尼自由振动的运动微分方程。 在振型在振型u坐标下坐标下n自由度系统无阻尼自由振动的运动自由度系统无阻尼自由振动的运动微分方程为微分方程为 )0()0()0()0(02xMuyxMuyyyTTr w分量形式分量形式为：为： ), 2 , 1()0()0()0()0(02nrxMuyxMuyyyTrTrrrr wN个独立的单自由度方程个独立的单自由度方程4.3 动力响应分析动力响应分析多自由度系统在外部激励作用下的响应分析称为多自由度系统在外部激励作用下的响应分析称为动

28、动力响应分析力响应分析。 常用方法常用方法有有：振型叠加方法和逐步积分方法振型叠加方法和逐步积分方法。特点：适。特点：适于已知系统的于已知系统的M、C、K和激励和激励f，求系统响应，求系统响应x(t)的情况。的情况。 振型叠加方法求解振型叠加方法求解n-DOF的振动系统的运动微分方程的步的振动系统的运动微分方程的步骤如下：骤如下： )0(,)0(00 xxxxfxKxCxM 1) 求出系统的固有频率和振型矩阵。求出系统的固有频率和振型矩阵。 2) 做变换做变换 yux 代入式代入式并两边左乘并两边左乘uT，可得，可得:)0(,)0(00 xxxxfxKxCxM pfuyKyuCuyMTrTr

29、)0()0(001001yxMuMyyxMuMyTrTr只有当只有当 C C 满足一定条件满足一定条件时时uTCu才为才为对角对角矩阵矩阵（对角化）。（对角化）。 3) 方程解耦，采用单自由度系统求解方法。方程解耦，采用单自由度系统求解方法。工程上常设阻尼为工程上常设阻尼为Rayleigh阻尼，即：阻尼，即： rrrTCKMuCuCr是对角矩阵，它的第是对角矩阵，它的第r个对角元素为个对角元素为Cr，称，称Cr为系统为系统的的第第r阶模态阻尼阶模态阻尼或广义阻尼。类似于单自由度系统，定或广义阻尼。类似于单自由度系统，定义义系统的第系统的第r阶阻尼比阶阻尼比 ：rrrrKMC2此时，式此时，式(

30、4.33)可视为可视为n n个相互独立的单自由系统个相互独立的单自由系统的运动的运动微分方程。微分方程。 pyKyuCuyMrTr 写成分量形式为写成分量形式为 nryyyypyKyCyMrrrrrrrrrr,.,2 , 1)0(,)0(00 4) 如果振型矩阵如果振型矩阵u不能将阻尼矩阵不能将阻尼矩阵C对角化，即对角化，即uTCu不是对角矩阵，则式不是对角矩阵，则式(4.33)可写为可写为 ： pyKyCyMrnr 准确求解式准确求解式(4.38)的方法比较复杂。多数情况下，的方法比较复杂。多数情况下，实实践证明：践证明：在系统的各阶固有频率间隔较大，阻尼较小的在系统的各阶固有频率间隔较大，

31、阻尼较小的条件下，对阻尼矩阵进行简化处理，以方便计算。条件下，对阻尼矩阵进行简化处理，以方便计算。 简化方法：简化方法： a) 最简单的处理方法：把最简单的处理方法：把Cn的的非对角元素全认为是零非对角元素全认为是零。如果系统的阻尼较小，各阶固有频率之间的间隙较大，如果系统的阻尼较小，各阶固有频率之间的间隙较大，这种处理方法的精度一般还能满足工程上的要求。这种处理方法的精度一般还能满足工程上的要求。b) 有时阻尼矩阵不容易求得，在求得各阶固有频率和振有时阻尼矩阵不容易求得，在求得各阶固有频率和振型后，可以型后，可以按经验或规范给出按经验或规范给出各阶的阻尼比各阶的阻尼比 r。 c) 在实验模态

32、分析中，通过实验得到的是系统的固有频在实验模态分析中，通过实验得到的是系统的固有频率、振型，阻尼则往往是给出率、振型，阻尼则往往是给出各阶的阻尼比各阶的阻尼比。在振型。在振型迭加法中，有各阶的阻尼比已经足够用。迭加法中，有各阶的阻尼比已经足够用。 rrrrKMC2经过近似处理后，式经过近似处理后，式(4.38) 解耦，可以采用第二章讲过的解耦，可以采用第二章讲过的任一种方法求解。得到任一种方法求解。得到y，再由，再由展开定理展开定理得到系统响应得到系统响应x。 pyKyCyMrnr 2211nnuyuyuyx系统的各阶系统的各阶固有频率、振型固有频率、振型、模态质量、模态刚度、模态质量、模态刚

33、度、模态阻尼和阻尼比称为系统的模态阻尼和阻尼比称为系统的模态参数模态参数。 当系统的当系统的M、K和和C确定后，响应确定后，响应x在系统振型在系统振型u下的下的坐标坐标 y y 大小取决于外载荷大小取决于外载荷 f f 。 对多数实际载荷，对多数实际载荷， f 中与低阶振型有关的部分大，中与低阶振型有关的部分大，与高阶振型有关的部分小。因而，一般不必求出全部，一与高阶振型有关的部分小。因而，一般不必求出全部，一般取前几阶或十几阶固有频率和振型已足够。般取前几阶或十几阶固有频率和振型已足够。复杂的机械系统复杂的机械系统简化简化模型误差模型误差高阶振型的可靠高阶振型的可靠性较差性较差。多计入高阶振

34、型不一定会得到更好的结果。多计入高阶振型不一定会得到更好的结果。 例例4.3 设多自由度系统在设多自由度系统在t=0时在第时在第j个自由度受到一个单个自由度受到一个单位脉冲力作用，位脉冲力作用，初始条件为零初始条件为零，其他自由度上无激励。求，其他自由度上无激励。求系统的响应。系统的响应。 解：解：考虑考虑阻尼矩阵可以被振型矩阵解耦阻尼矩阵可以被振型矩阵解耦的情况。激励可写的情况。激励可写为为 )()(tetfj因此因此 )()(,)()(21tutuuuteutpTjnjjjT由于在振型坐标下系统的运动微分方程解耦，可得由于在振型坐标下系统的运动微分方程解耦，可得到到n个彼此独立的单自由度运

35、动微分方程：个彼此独立的单自由度运动微分方程： nryytuyyyrrjrrrrrrr,.2 , 1, 0)0(, 0)0()(22 wwnryytuyyyrrjrrrrrrr,.2 , 1, 0)0(, 0)0()(22 ww上式的解为上式的解为 )0(,.,2 , 1sintnrteuydrtdrjrrrrwww根据展开定理，系统的响应为根据展开定理，系统的响应为 nrrdrtdrjrnrrruteuutyxrr11sin)(www因此，系统因此，系统第第i个自由度个自由度在第在第j个自由度受到一个单个自由度受到一个单位脉冲力作用后的响应为位脉冲力作用后的响应为 nitteuuxnrdrt

36、drjririrr,.,2 , 1)0(sin1www根据展开定理，系统的响应为根据展开定理，系统的响应为 nrrdrtdrjrnrrruteuutyxrr11sin)(www这个响应是由这个响应是由n个单自由度系统的阻尼自由振动迭加而成；个单自由度系统的阻尼自由振动迭加而成；定义此时的定义此时的响应为脉冲响应响应为脉冲响应 ：nitteuuthnrdrtdrjririjrr,.,2 , 1)(sin)(1www下标下标i表示表示响应响应的空间位置，的空间位置，j表示表示脉冲力脉冲力的空间位置。的空间位置。 依次取依次取j1，2，n，即对各个自由度依次施加一个单，即对各个自由度依次施加一个单位

37、脉冲力，可以得到位脉冲力，可以得到n2个脉冲响应，得到个脉冲响应，得到脉冲响应矩阵脉冲响应矩阵： )()(ththij由于脉冲响应矩阵可以由振动试验测得，所以，它常由于脉冲响应矩阵可以由振动试验测得，所以，它常常用来识别系统的振动系统。常用来识别系统的振动系统。 04.4 动力响应分析中的变换方法动力响应分析中的变换方法 用用傅里叶变换和拉普拉斯变换傅里叶变换和拉普拉斯变换求多自由度系统的动求多自由度系统的动力响应。力响应。1) 数学基础：数学基础：对向量做傅里叶变换和拉普拉斯变换对向量做傅里叶变换和拉普拉斯变换分分别对向量的各分量别对向量的各分量做傅里叶变换和拉普拉斯变换。做傅里叶变换和拉普

38、拉斯变换。 如，如，x(t)x1(t)，x2(t)，xn(t)T的傅里叶变换为的傅里叶变换为 )(),.,(),()(),.,(),()(1121wwwsTsXXXtxFtxFtxFtxF对多自由度系统的运动微分方程式对多自由度系统的运动微分方程式两边做拉普拉斯变换，根据拉普拉斯变换的性质有两边做拉普拉斯变换，根据拉普拉斯变换的性质有 )0(,)0(00 xxxxfxKxCxM )()()(0002sFxCxMxMssXKCsMs其中：其中：X(s)和和F(s)分别为系统响应分别为系统响应x(t)和激励和激励f(t)的的拉普拉斯变换；拉普拉斯变换；称称 为系统的为系统的机械阻抗矩阵机械阻抗矩阵

39、；它的逆；它的逆矩阵为矩阵为 ： 称为系统的称为系统的传传递函数矩阵递函数矩阵 )(2KCsMssZ121)()()(KCsMssZsH因此，式因此，式(4.38)()()(000 xCxMxMssFsHsXpyKyCyMrnr 可以改写为可以改写为 )()()(0002sFxCxMxMssXKCsMs然后，求出然后，求出X(s)的拉普拉斯逆变换就可以得到响应的拉普拉斯逆变换就可以得到响应x(t) )0(,)0(00 xxxxfxKxCxM 思路：思路：)0(,)0(00 xxxxfxKxCxM nrrdrtdrjrnrrruteuutyxrr11sin)(www困难，复杂的微困难，复杂的微分

40、方程求解分方程求解)()()(000 xCxMxMssFsHsX变换变换)()()(0002sFxCxMxMssXKCsMs简单的代数方程简单的代数方程求解求解逆变换逆变换对于对于初始条件为零初始条件为零的情况，如果激励的情况，如果激励f(t)的傅里叶变换的傅里叶变换存在，则可对式存在，则可对式)0(,)0(00 xxxxfxKxCxM 两边做傅里叶变换得到两边做傅里叶变换得到)()()(2wwwwFXCiMK称称 12)()(CiMKHwww为系统的为系统的频响函数矩阵频响函数矩阵。 因此：因此： )()()(wwwFHX用变换方法求系统的动力响应用变换方法求系统的动力响应：得到了系统的传递

41、函：得到了系统的传递函数矩阵或频响函数矩阵，则数矩阵或频响函数矩阵，则不必考虑方程解耦不必考虑方程解耦的问题，的问题，不不必求必求系统的系统的固有频率和振型固有频率和振型。 系统的传递函数矩阵和频响函数矩阵的系统的传递函数矩阵和频响函数矩阵的元素的定义元素的定义（以传递函数矩阵（以传递函数矩阵H(s)的元素的元素Hij(s)为例）为例） 系统的系统的初始条件为零初始条件为零只在第只在第j个自由度上有激励个自由度上有激励fj(t)各个自由度各个自由度均会有响应均会有响应，第，第i个自由度的响应为个自由度的响应为xi(t)。则：。则： )()()(sFsXsHjiij依次取依次取j=1，2，n，可

42、以得到传递函数矩阵，可以得到传递函数矩阵H(s)的全的全部元素部元素Hij(s) 。nitteuuthnrdrtdrjririjrr,.,2 , 1)(sin)(1www多多自由度系统的自由度系统的响应为脉冲响应响应为脉冲响应同样，可以定义系统的频响函数矩阵。同样，可以定义系统的频响函数矩阵。)()()(wwwjiijFXH因此：因此：系统的脉冲响应系统的脉冲响应 hij(t)和和Hij(s)是一对是一对拉普拉斯变换拉普拉斯变换对对，和，和Hij(w w)是一对是一对傅里叶变换对傅里叶变换对。同样，系统的脉冲响。同样，系统的脉冲响应矩阵应矩阵h(t)和传递函数矩阵和传递函数矩阵H(s)是一对拉

43、普拉斯变换对，是一对拉普拉斯变换对，和频响函数矩阵和频响函数矩阵H(w w)是一对傅里叶变换对。是一对傅里叶变换对。 系统的脉冲响应矩阵系统的脉冲响应矩阵h(t)、传递函数矩阵、传递函数矩阵h(s)和频和频响函数矩阵响函数矩阵H(w w)都反映了系统的振动特性。都反映了系统的振动特性。 频响函数矩阵频响函数矩阵H(w w)也可以由也可以由振动试验测得振动试验测得，因而常常用，因而常常用来识别系统的振动参数：来识别系统的振动参数： 设系统的阻尼矩阵可以被设系统的阻尼矩阵可以被振型矩阵解耦振型矩阵解耦，做变换，做变换 ：yux 在在振型坐标振型坐标下系统的下系统的阻抗矩阵阻抗矩阵为为 ：)()()

44、(222rrTTrCsEsuKCsMsuusZusZw即即振型坐标下振型坐标下阻抗矩阵也为阻抗矩阵也为对角矩阵对角矩阵，对角元素为：，对角元素为： nrsCssZrrr,.,2 , 1)(22w)(2KCsMssZ为求传递函数矩阵为求传递函数矩阵H(s)，对，对Zr(s)求逆，有求逆，有 TrusZusZ)()(111TrusZusZsH)()()(11写成向量形式，有：写成向量形式，有：nrnrrrTrrTrrrTsTTrnTrsCsuuuusZuuusZuuuusZusH11221211211)()(,.,)()(w同样，频响函数矩阵同样，频响函数矩阵H(w w)也可以写成也可以写成 ：nrrrTrrCiuuH122)(wwww这就是这就是：系统的传递函数矩阵和频响函数矩阵与：系统的传递函数矩阵和频响函数矩阵与系系统的统的模态参数模态参数的关系的关系。它们是。它们是试验模态分析试验模态分析的理论基础的理论基础之一。试验模态分析专门讨论之一。试验模态分析专门讨论如何从振动试验数据得到如何从振动试验数据得到系统的模态参数和物理参数系统的模态参数和物理参数的问题。的问题。 多自由度系统的振动问题，有许多求解方法，并不限多自由度系统的振动问题，有许多求解方法，并不限