非线性物理1-2(单摆、庞加莱映射)

1、第一章第一章 非线性振动初步非线性振动初步第三节第三节 受迫振荡受迫振荡1 1线性单摆的受迫振动线性单摆的受迫振动2. 2. 庞加莱截面庞加莱截面3. 3. 初识单摆的复杂运动初识单摆的复杂运动 驱动单摆方程驱动单摆方程驱动力写成指数驱动力写成指数这是非齐次线性微分方程这是非齐次线性微分方程, 其通解是它的齐次线性方程的通解和其通解是它的齐次线性方程的通解和它的一个特解的和它的一个特解的和1. 齐次方程的通解齐次方程的通解: 类似线性阻尼单摆，得：类似线性阻尼单摆，得：tcos2222Fxdtdxdtxdm2/mlfF/)tcos()( t0eAtx220ti2222Fexdtdxdtxd)(

2、)( )(txtxtx小摆角驱动单摆的通解小摆角驱动单摆的通解1线性单摆的受迫振动线性单摆的受迫振动( (小驱动力的单摆小驱动力的单摆) )2. 非齐次方程的特解非齐次方程的特解: 设求导：消去公因子 ti)(AetxtiiAedtdxti222AedtxdtieFAAiA222iFA2)(22222224)(2212tgieFAti2222Fexdtdxdtxd代入小摆角驱动单摆的通解小摆角驱动单摆的通解1线性单摆的受迫振动线性单摆的受迫振动( (小驱动力的单摆小驱动力的单摆) )代入、 以后特解为：非齐次线性微分方程的通解非齐次线性微分方程的通解第一项随时间衰减，经一段时间后第一项将衰减到

3、零，最后仅剩下第二部分衰减过程常称为过渡过程。过渡过程。)2tgtcos(4)()(22122222Ftx)2tgtcos(4)()tcos()(22122222t0FeAxxtx小摆角驱动单摆的通解小摆角驱动单摆的通解)ti(i)(eeFtxti)(AetxieFA)2tgtcos(4)()(22122222Fxxtx1线性单摆的受迫振动线性单摆的受迫振动( (小驱动力的单摆小驱动力的单摆) )谐振特性谐振特性研究幅频特性幅频特性：将分母根号下对频率求导并令其等于零：共振频率共振频率 r小于系统自振频率小于系统自振频率 ，共振时的最大振幅共振时的最大振幅为：共振时最大振幅与阻尼有关22222

4、4)(FA04)()(22222dddvdf2222)(22r2共振共振频率频率22r2FA222arctg1线性单摆的受迫振动线性单摆的受迫振动( (小驱动力的单摆小驱动力的单摆) )庞加莱截面与庞加莱映射庞加莱截面与庞加莱映射 相图可把非线性系统的状态形象地描绘出来，但是随阻尼相图可把非线性系统的状态形象地描绘出来，但是随阻尼力与驱动力的加入，其相图也会变得越来越复杂。例如，即力与驱动力的加入，其相图也会变得越来越复杂。例如，即使是弱驱动力与弱阻尼单摆使是弱驱动力与弱阻尼单摆- -杜芬方程，相图已复杂多了。杜芬方程，相图已复杂多了。 庞加莱在相空间里取一常数坐标截面，称为庞加莱在相空间里取

5、一常数坐标截面，称为庞加莱截面庞加莱截面，研，研究相轨线与该截面的交点，用以分析系统的复杂行为。究相轨线与该截面的交点，用以分析系统的复杂行为。 在在n 维相空间里取一个维相空间里取一个n-1维面。相轨线通过截面时留下点的维面。相轨线通过截面时留下点的一幅图象反映了轨线运行情况。一幅图象反映了轨线运行情况。人们将这种把时间上的连续运动人们将这种把时间上的连续运动转变为离散的图象处理方法称为转变为离散的图象处理方法称为庞加莱映射庞加莱映射。2. .庞加莱映射庞加莱映射 单周期运动单周期运动，轨线每次重复地运行在原有轨道上，它总是在截，轨线每次重复地运行在原有轨道上，它总是在截面的同一位置穿过，截

6、面上只留下一个点。面的同一位置穿过，截面上只留下一个点。两倍周期运动两倍周期运动，每个，每个周期内相轨线两在不同位置穿过，截面上留下两个点；周期内相轨线两在不同位置穿过，截面上留下两个点；四周期运四周期运动动，每个周期内相轨线四次在不同位置穿过，截面上就留下四个，每个周期内相轨线四次在不同位置穿过，截面上就留下四个点；推广到点；推广到无周期运动无周期运动，截面上将出现留下无穷多点。，截面上将出现留下无穷多点。 2. .庞加莱映射庞加莱映射庞加莱截面与轨线庞加莱截面与轨线运动运动2. .庞加莱映射庞加莱映射庞加莱截面与轨线庞加莱截面与轨线运动运动单周期运动单周期运动，轨线每次重复地运行在原有轨道

7、上，它总是在截面的同一位置，轨线每次重复地运行在原有轨道上，它总是在截面的同一位置穿过，截面上只留下一个点。穿过，截面上只留下一个点。两倍周期运动两倍周期运动，每个周期内相轨线两在不同位置穿过，截面上留下两个点；，每个周期内相轨线两在不同位置穿过，截面上留下两个点；四周期运动四周期运动，每个周期内相轨线四次在不同位置穿过，截面上留下四个点，每个周期内相轨线四次在不同位置穿过，截面上留下四个点; ;无周期运动无周期运动，截面上将出现留下无穷多点。，截面上将出现留下无穷多点。单摆的三维相空间单摆的三维相空间2. .庞加莱映射庞加莱映射阻尼单摆的运动方程阻尼单摆的运动方程引入新变量引入新变量, ,即

8、相位即相位 ：可得到描述单摆运动的可得到描述单摆运动的三维相空间三维相空间 , ,相角相角 有周期性，有周期性，把把2 np p 和和2(n+1)p p 平面平面连接起来，相空间扩展为圆环。原来圆连接起来，相空间扩展为圆环。原来圆形轨线成了在圆环面的环线。取某常数位相，即在该位相处截形轨线成了在圆环面的环线。取某常数位相，即在该位相处截取一平面，环线在穿过时留下了一个点。取一平面，环线在穿过时留下了一个点。tFdtddtdcossin2222dtd, 单摆的三维相空间单摆的三维相空间2. .庞加莱映射庞加莱映射 它的相图有一个奇怪吸引子它的相图有一个奇怪吸引子( (无周期运动无周期运动) )。

9、相轨线绕着该吸。相轨线绕着该吸引子一圈又一圈地不停地转动，引子一圈又一圈地不停地转动，结果相空间的轨线越来越复杂。结果相空间的轨线越来越复杂。图中那一团相轨线就是在绕了图中那一团相轨线就是在绕了1000圈后在该吸引子附近的形状。圈后在该吸引子附近的形状。 右下角是庞加莱截面图，图形右下角是庞加莱截面图，图形不仅简单得多，而且显示出某种不仅简单得多，而且显示出某种结构。由庞加莱截面图可见，转结构。由庞加莱截面图可见，转子的相轨线尽管极其复杂，但它子的相轨线尽管极其复杂，但它不是毫无规律的，而是具有某种不是毫无规律的，而是具有某种内在的规律性在内。内在的规律性在内。受驱转子的运动受驱转子的运动2.

10、 .庞加莱映射庞加莱映射3. 3. 初识单摆的复杂运动初识单摆的复杂运动小驱动力单摆小驱动力单摆阻尼单摆方程为：阻尼单摆方程为： 小驱动力作用小驱动力作用 作小幅度振动作小幅度振动 tFdtddtdcossin2222tFdtddtdcos222)tcos(4)()(22222Ft3. 3. 初识单摆的复杂运动初识单摆的复杂运动小驱动力单摆小驱动力单摆)tcos(4)()(22222Ft)tsin(4)()(22222Fdttd222222224)(/Fdtd3. 3. 初识单摆的复杂运动初识单摆的复杂运动小驱动力单摆的相轨线方程小驱动力单摆的相轨线方程是椭圆方程。说明：是椭圆方程。说明：1.

11、 在小驱动力下在小驱动力下单摆的相轨线是闭合椭圆曲线单摆的相轨线是闭合椭圆曲线2. 说明小驱动力受驱阻尼单摆存在一个周期吸引子。说明小驱动力受驱阻尼单摆存在一个周期吸引子。3. 驱动频率及阻尼力系数为定值时，椭圆的半径驱动力矩驱动频率及阻尼力系数为定值时，椭圆的半径驱动力矩 F 增增大而增大大而增大，( (即摆角在增大即摆角在增大) )。222222224)(/Fdtd小驱动力单摆小驱动力单摆3. 3. 初识单摆的复杂运动初识单摆的复杂运动随着驱动力的增大，相轨线的半径也增大，这就意味着摆角的随着驱动力的增大，相轨线的半径也增大，这就意味着摆角的增大，使得增大，使得sinsin的的小摆角近似已

12、不再适用小摆角近似已不再适用, ,相轨线的表达式将相轨线的表达式将无法得到，此时相轨线只能根据单摆的运动方程，用数值计算无法得到，此时相轨线只能根据单摆的运动方程，用数值计算来求得。来求得。数值计算结果数值计算结果tFdtddtdcossin2222下面将给出当下面将给出当 1/41/4，v v2/32/3为定值时，为定值时，F F 由小到大取一系列由小到大取一系列数值时的数值计算结果。数值时的数值计算结果。3. 3. 初识单摆的复杂运动初识单摆的复杂运动1. 附近出现对称性破缺附近出现对称性破缺 a. a. 小摆角的对称椭圆在小摆角的对称椭圆在 附近变为蛋形，说明这里发生附近变为蛋形，说明这

13、里发生了对称性破缺；了对称性破缺； b. b. 蛋形的朝向与相角的取值有关；蛋形的朝向与相角的取值有关； c. c. 这时单摆仍作单周期运动，在庞加莱截面上是一个单点。这时单摆仍作单周期运动，在庞加莱截面上是一个单点。数值计算结果数值计算结果1F1F3. 3. 初识单摆的复杂运动初识单摆的复杂运动数值计算结果数值计算结果3. 3. 初识单摆的复杂运动初识单摆的复杂运动数值计算结果数值计算结果3. 3. 初识单摆的复杂运动初识单摆的复杂运动数值计算结果数值计算结果2 F = 1.093 附近做附近做准周期运动准周期运动： a.当驱动力继续上升时当驱动力继续上升时, ,相轨线偏离闭相轨线偏离闭合的

14、单周期轨道，复杂化起来。合的单周期轨道，复杂化起来。 b.在在F = 1.093时时相图上，相轨线虽在相图上，相轨线虽在-p,pp,p 的单摆势谷来回环绕，但始终无的单摆势谷来回环绕，但始终无法达到周期重复状态。法达到周期重复状态。 c.在庞加莱截面上，相点处于一条曲在庞加莱截面上，相点处于一条曲线上，可以认定系统处于线上，可以认定系统处于准周期状态准周期状态（接近正确的周期运动）。（接近正确的周期运动）。 d.庞加莱截面上的图形与所取截面的庞加莱截面上的图形与所取截面的位置位置( (即相角即相角) )有关。有关。3. 3. 初识单摆的复杂运动初识单摆的复杂运动数值计算结果数值计算结果3. 3

15、. 初识单摆的复杂运动初识单摆的复杂运动数值计算结果数值计算结果3. F = 1.15 附近进入混沌状态附近进入混沌状态 a. 运动已扩展到势谷运动已扩展到势谷( )两侧的势谷内。两侧的势谷内。 b. 运动会在一个势谷内绕上几圈，然后随机地进入到相邻的运动会在一个势谷内绕上几圈，然后随机地进入到相邻的势谷内再绕上几圈，往复不已。势谷内再绕上几圈，往复不已。 c. 在庞加莱截面上，相点已离开曲线扩散开来。在庞加莱截面上，相点已离开曲线扩散开来。pp,3. 3. 初识单摆的复杂运动初识单摆的复杂运动数值计算结果数值计算结果3. 3. 初识单摆的复杂运动初识单摆的复杂运动数值计算结果数值计算结果3.

16、 3. 初识单摆的复杂运动初识单摆的复杂运动数值计算结果数值计算结果3. 3. 初识单摆的复杂运动初识单摆的复杂运动数值计算结果数值计算结果3. 3. 初识单摆的复杂运动初识单摆的复杂运动结论结论 综上所述，受驱单摆的运动状态有如下特点综上所述，受驱单摆的运动状态有如下特点： (1) 在小驱动力下，单摆作规则的周期运动。当驱动力矩增在小驱动力下，单摆作规则的周期运动。当驱动力矩增加到某加到某临界值时，单摆从周期的运动状态进入随机运动状态，临界值时，单摆从周期的运动状态进入随机运动状态，这种状态常被称为这种状态常被称为混沌混沌。 (2) 混沌状态并不是混乱一片混沌状态并不是混乱一片。从相图上看，相轨线的分布。从相图上看，相轨线的分布虽然弥散开来，但并不均匀地分布到整个区间，而是有疏有密虽然弥散开来，但并不均匀地分布到整个区间，而是有疏有密地分布着。在庞加来截面上，起始时相点虽然随机