【课件】单调性与最大(小)值(第3课时)课件（共21张PPT人教A版(2019)数学必修第一册

1、3.2 函数的基本性质3.2.1单调性与最大(小)值第3课时回顾与引入 1. 什么是函数的单调性？什么是单调递增，单调递减，增函数、减函数？2.理解函数的单调性时应把握好哪一些问题？3.如何判定函数的单调性？(1)图象法：(2)定义法： 观察右图可以发现，二次函数f(x)=x2的图象有一个最低点(0,0)，即xR，都有f(x)f(0). 当一个函数的图象有最低点时，我们就说函数f(x)有最小值。 函数的的最大值和最小值与函数的单调性有密切的关系，通常，知道了函数的单调性就能很方便地找到函数的最值。探究新知(一) 思考1：你能以f(x)=-x2的为例，说明函数f(x)最大值的含义吗？一般地，设函

2、数y=f(x)的定义域为，如果存在实数M满足:(1)x ,都有f(x)M;(2)x0 ,使得f(x0)=M.那么，我们则称M是函数y=f(x)的最大值(maximum value)函数y=f(x)的最大值可用”ymax”来表示 从图象上看，函数f(x)=-x2最大的函数值为0，对应的点是图象的最高点(0,0)。 这其中有两层含义： (1)0是f(x)=-x2的函数值，即0=f(0)； (2)0是f(x)=-x2函数值中最大的一个，即xR，都有f(x)f(0).函数的最大值M大于或等于y=f(x)的任意函数值M本身是y=f(x)的一个函数值 思考2：你能仿照函数最大值的 定义，给函数y=f(x)

3、的最小值下定义吗？一般地，设函数y=f(x)的定义域为，如果存在实数M满足:(1)x ,都有f(x)M;(2)x0 ,使得f(x0)=M.那么，我们则称M是函数y=f(x)的最小值(minimum value)函数y=f(x)的最小值可用”ymin”来表示函数的最小值练习： 设函数f(x)的定义域为-6,11，如何函数f(x)的在-6,-2上单调递减，在-2,11上单调递增，试画出f(x)的大致图象，从图象上可以发现f(2)是函数f(x)的一个_.yxO-6-211f(2)最大值思考3：举例说明一个函数是否一定有最大值或最小值？(1)( )1;f xx 2(2)( );f xx 无最小值和最大

4、值有最小值，无最大值2(3)( )21,0,3)f xxxx 有最小值，无最大值(4) y=2,x(1.2)有最小值和最大值时，14.71.52( 4.9) 烟花冲出后1.5秒是它爆裂的最佳时刻,这时距地面的高度为29 m.max( )h t 例1.“菊花”烟花是最壮观的烟花之一. 制造时一般是期望在它达到最高点时爆裂. 如果烟花距地面的高度h(单位: m)与时间t单位: s) 之间的关系为h(t)=-4.9t2+14.7t+18，那么烟花冲出后什么时候是它爆裂的最佳时刻?这时距地面的高度是多少(精确到1m)?例 析 作出函数h(t)=-4.9t2+14.7t+18的图象，如下图. 由图象知函

5、数图象的顶点就是烟花上升的最高点。 顶点的横坐标就是烟花爆裂的最佳时刻,纵坐标就是这时距地面的高度.当t 解： 由二次函数的知识可知， 对于h(t)=-4.9t2+14.7t+18有24 ( 4.9) 1814.729.4 ( 4.9) 解： 由二次的知识可知，函数y=x2-2x-1的图象开口其对称轴为 x=1y=x2-2x-1的大致图象为(1） x0, 3 当x=1时， ymin=12-2-1=-2当x=3时， ymax=32-23-1=2(2） x2, 4 当x=2时，ymin=22-22-1=-1当x=4时， ymax=42-24-1=7(3） x-2, -1 当x=-1时， ymin=

6、(-1)2-2(-1)-1=2当x=3时， ymax=(-2)2-2(-2)-1=7例2.求定义在下列区间的函数y=x2-2x-1在的最大值和最小值. (1）x0, 3 ； (2) x(2, 4 ； (3) x-2, -11x 变式：求y=x2-2x-1，xa,a+1的最大值.解：由二次的知识可知，函数y=x2-2x-1的图象开口其对称轴为 x=1y=x2-2x-1的大致图象为当1a+1,则x=a， ymax=a2-2a-11x 即a0时,当1a时,则x=a+1，ymax=a2-2aa+1aa+1当a1a+1,aa+1211,2aa 若即11.2a 则x=a+1， ymax=a2-22111,

7、2aa 若10,2a 即则x=a， ymax=a2-2a-1aa+1综上,当或时2max101,212aayaa 当0或时2max1,1,22aaya 即a1时,思考：你能求的最小吗？区间a,a+1中点 直接利用函数图象求函数的最大(小)值主要有两种情况： 1.函数图象已知； 2.函数图象比较容易画出。 比如一些与一次函数，二次函数，反比例函数等有关的图象。 在利用二次函数的图象求它区间上的最值时，要特别注意抛物线的对称轴与区间端点的位置关系，若不确定，应进行分类讨论，一般分三种情况：对称轴在区间左，区间内和区间右。 实际上，在利用函数的图象求函数的最值有时也要结合函数的单调性。函数最值的求法

8、一 图象法练 习 1.整个上午(8:0012:00)天气越来越暖，中午时分(12:0013:00)一场暴风雨使天气骤然凉爽了许多，过后，天气转暖，直到太阳落山(18:00)才又开始转凉。请画出这一天(8:0020:00)气温关于时间的函数的大致图象，并说出所画函数的单调区间。解：函数的递增区间有：8,12, 13,18;函数的递减区间有：12,13,18,20。解： 2.求画出函数y=|x+1|-|1-x|的大致图象 ，并求出函数的最大值和最小值。当x1时，y=(x+1)-(1-x) =2 ymin=-2, ymax=2函数 y=|x+1|-|1-x|的定义域为R被-1和分成了三段由x+1=0

9、和1-x=0分别得x=-1和x=1别综上， -2, x2.其图象如右xy1122o 3.在已知函数f(x)=-2x2+mx,在(-,-2上递增,在2,+)上递增,则m的值为_,f(x)在-5,2上的值域_.-24,8即8m 2( )28f xxx max( )f x min( )f x -8 5, 2x 简析：由得函数图象的2()-2fxxmx 开口向下，对称轴为=2( 2)4mmx 函数f(x)在(-,-2上递增，在2,+)上递减，24m ( 2)8f (2)-24f yxO2( )28f xxx 4mx -52( 2)f (2)f-2x1, x22,6, 且x1x2，则21212().(1

10、)(1)xxxx 由x1, x22,6, x10,(x1-1)(x2-1)021212()0,(1)(1)xxxx 函数单调递减的性质可知，函数在区间2,6上的两个端点上分别取得最大值和最小值.6x 当时，min2(),5fx 2x 当时 ，max()2.fx 思考：此函数的图象容易画出吗？你能判定其单调性吗？2( )(2,6)-1f xxx 例3.已知函数，求函数的最大值和最小值。例4.求函数 的最小值。322(1,3)yxxx 对 于的 形 式 ， 你 还 熟 悉 吗思 考 ：？32”1“2 xx 两正数的和，且乘积为定值；对勾函数函数的一种。本题能用基本不等式来求最？思考 ：小值吗232

11、2yxx 322216xx 当且仅当，322xx 即等号成立。4x ，41, 3 无法用基本不等式求些函数的最小值。例4.求函数 有最小值。322(1,3)yxxx ， ，且则1212(1,3),xxxx 12yy 12123232(2)(2)xxxx 121212162()x xxxx x 21121232()2()xxxxx x ，12121,3xxxx 120,xx 120 ,x x 121 60 x x 即1212121()0,x xxxx x 12()()fxfx 函 数在 区 间单 调 递 减 。1()1,3fxxx 当时 ，3x m in32502333y 解: 单调性法是求函数

12、的最大(小)值最主要的方法，在应用时要注意： 1.若函数在区间上具有单调性，则函数在区间端点处取得最值； 2.若函数在区间上不具有单调性，则应根据具体情况来求函数的最值。 如函数是先增后减，还是先减后增，函数在区间两端点处函数值的谁大谁小等。 实际上，在利用函数的单调性求最值时往往要结合函数的图象。函数最值的求法二 单调性法1()2, 6fxx 函 数在 区 间上 单 调 递 减 .练习 解:由反比例函数的知识可知，2x 当时 ，max( )f x 1()(2,6)fxxx 1.已知函数，求函数的最大值和最小值。126x 当时 ，min( )f x 1621( )(3,5)1xf xxx 2.

13、已知函数，求函数的最大值和最小值。21()1xfxx 2(1)31xx 321x 简析:思路一:21()(3,5)1xfxxx 增 函 数min5()(3),4fxf max3()(5).2fxf 思路二:35x 416,x 111,416x 311,214x 35 3( )2,14 2f xx 单调性法不等式法这种变形称为常数分离法1.函数的最大(小)值的应满足哪两个条件？ 其几何意义是怎样的？小结 2.如何求一个函数的最大(小)值？ (2)图象法. 先画出函数的图象，再直接函数最值的几何意义利求函数的最大(小)值. （1)单调性法. 先研究函数的单调性，再利用单调性的意义求函数的最大(小)值； 需要说明的是，在实际运用中，我们更多的是将这两种方法结合起来，即采用”单调性+图象”的方法。 (3)不等式法. 对于一些特殊的函数，也可以运用不等式的知识（如不等式的性质和基本不等式）来求其最值。 注意： 对于单调性不清楚的函数，不能直接把区间端点的函数值作为函数的最大(小)值 3.说说如何求一个二次函数在闭区间的最大(小)值？ 首先明确二次函数图象的开口方向，对称轴，以及函数的单调性。 再找出图象在区间内的最高点，最低点。 若对称轴与区间端点的位置关系不确定，应进行分类讨论，一般分三种