高等数学111连续函数的性质课件

1、高等数学111连续函数的性质1高等数学111连续函数的性质2一、最大值和最小值定理一、最大值和最小值定理定义定义: :.)()()()()()()(,),(0000值值小小上上的的最最大大在在区区间间是是函函数数则则称称都都有有使使得得对对于于任任一一如如果果有有上上有有定定义义的的函函数数对对于于在在区区间间IxfxfxfxfxfxfIxIxxfI 注意：注意：函数的最大值或最小值是函数的一个整体性质函数的最大值或最小值是函数的一个整体性质.(Maximum and minimum values theorem)高等数学111连续函数的性质3,sgn xy ,),(上上在在, 2max y;

2、 1min y,), 0(上上在在. 1minmax yy例如例如,sin1xy ,2 , 0上上在在 ; 0min y, 1max yxyo11 高等数学111连续函数的性质4定理定理1(1(最大值和最小值定理最大值和最小值定理) ) 在闭区间上连续在闭区间上连续的函数一定有最大值和最小值的函数一定有最大值和最小值. .ab2 1 xyo)(xfy ).()(),()(,)(2121xffxffbaxbabaCxf 有有使得使得则则若若注意注意: :1.若区间是开区间若区间是开区间, 定理不一定成立定理不一定成立; 2.若区间内有间断点若区间内有间断点, 定理不一定成立定理不一定成立.高等数

3、学111连续函数的性质5注意注意: :1.若区间是开区间若区间是开区间, 定理不一定成立定理不一定成立; 2.若区间内有间断点若区间内有间断点, 定理不一定成立定理不一定成立;xyo)(xfy 211xyo2 )(xfy 3、最大值和最小值可能相等；、最大值和最小值可能相等；4、最值可能在区间端点取得，、最值可能在区间端点取得，.5 , 2, 2 xy如如.1 , 0, xxy如如高等数学111连续函数的性质6证证,)(上上连连续续在在设设函函数数baxf,bax ,)(Mxfm 有有,maxMmK 取取.)(Kxf 则有则有.,)(上上有有界界在在函函数数baxf定理定理2(2(有界性定理有

4、界性定理) ) 在闭区间上连续的函数一定在该区间上有界在闭区间上连续的函数一定在该区间上有界. .(Boundedness theorem)高等数学111连续函数的性质7二、介值定理二、介值定理定义定义: :.)(, 0)(000的的零零点点称称为为函函数数则则使使如如果果xfxxfx (Intermediate value theorem).),(0)(内内至至少少存存在在一一个个实实根根在在即即方方程程baxf 定理定理 3(3(零点定理零点定理) ) 设函数设函数)(xf在闭区间在闭区间 ba, 上连续，且上连续，且)(af与与)(bf异号异号( (即即0)()( bfaf),),那末在

5、开那末在开区间区间 ba,内至少有函数内至少有函数)(xf的一个零点的一个零点, ,即至即至少有一点少有一点 )(ba ，使，使0)( f. . (Zero-point theorem)高等数学111连续函数的性质8ab3 2 1 几何解释几何解释:.,)(轴至少有一个交点轴至少有一个交点线弧与线弧与则曲则曲轴的不同侧轴的不同侧端点位于端点位于的两个的两个连续曲线弧连续曲线弧xxxfy 定定理理 4 4( (介介值值定定理理) ) 设设函函数数)(xf在在闭闭区区间间 ba, 上上连连续续，且且在在这这区区间间的的端端点点取取不不同同的的函函数数值值Aaf )( 及及 Bbf )(, ,那那末

6、末，对对于于A与与B之之间间的的任任意意一一个个数数C，在在开开区区间间 ba,内内至至少少有有一一点点 ，使使得得Cf )( )(ba . . xyo)(xfy 高等数学111连续函数的性质9几何解释几何解释:MBCAmab1 2 3 2x1xxyo)(xfy 证证,)()(Cxfx 设设,)(上连续上连续在在则则bax Cafa )()( 且且,CA Cbfb )()( ,CB , 0)()( ba 由零点定理由零点定理,使使),(ba , 0)( , 0)()( Cf 即即.)(Cf .)(至少有一个交点至少有一个交点直线直线与水平与水平连续曲线弧连续曲线弧Cyxfy 高等数学111连续

7、函数的性质10推论推论 在闭区间上连续的函数必取得介于最大在闭区间上连续的函数必取得介于最大值值 与最小值与最小值 之间的任何值之间的任何值. .例例1 1（P89)P89).)1 , 0(01423内内至至少少有有一一根根在在区区间间证证明明方方程程 xx证证, 14)(23 xxxf令令,1 , 0)(上上连连续续在在则则xf, 01)0( f又又, 02)1( f由零点定理由零点定理,(0,1), 使使, 0)( f, 01423 即即.)1 , 0(01423 内至少有一根内至少有一根在在方程方程 xxMm高等数学111连续函数的性质11例例2 2( (补充）补充）.)(),(.)(,

8、)(,)( fbabbfaafbaxf使使得得证证明明且且上上连连续续在在区区间间设设函函数数证证,)()(xxfxF 令令,)(上连续上连续在在则则baxFaafaF )()(而而, 0 由零点定理由零点定理,使使),(ba , 0)()( fFbbfbF )()(, 0 .)( f即即高等数学111连续函数的性质12三、小结三、小结 Brief summary 四个定理四个定理有界性定理有界性定理;最值定理最值定理;介值定理介值定理;根的存在性定理根的存在性定理.注意注意1闭区间；闭区间； 2连续函数连续函数这两点不满足上述定理不一定成立这两点不满足上述定理不一定成立解题思路解题思路1.1.直接法直接法:先利用最值定理先利用最值定理,再利用介值定理再利用介值定理;2.2.辅助函数法辅助函数法: :先作辅助函数先作辅助函数F(x),再利用零点定理再利用零点定理;高等数学111连续函数的性质13思考题思考题 Consideration下述命题是否正确？下述命题是否正确？ 如果如果)(xf在在,ba上有定义，在上有定义，在),(ba内连续，且内连续，且0)()( bfaf，那么，那么)(xf在在),(ba内必有零点内必有零点.高等数学111连续函数的性质14思考题解答思考题解答 Solution to consideration不正确不正确.例如函数例