离散方程的误差与物理特性分析-热流问题的数值计算-课件-03

1、热流问题的数值计算热流问题的数值计算Numerical Simulations of Thermal & Fluid Problems第3章 离散方程的误差与物理特性分析 主讲主讲 李炎锋李炎锋2008年7月 北京nin, i22n, i)Sxxut()(L离散方程的截断误差TE,指其微分算子与相应的差分算子之间的差,例如：对一维非稳态对流扩散问题，其微分算子为:离散方程的精确解,指在离散方程的求解过程中不引入舍入误差，记为:3.1.1 截断误差及相容性3.1 离散方程的相容性、收敛性及稳定性ni2n1inin1in1in1ini1ninit,xSx2x2ut)(Ln , init,

2、x)(L)(LTE则其截断误差为:其差分算子为:)x(O) t(OSxxutx2x2ut2n , in , i22n , in , i2n1inin1in1in1ini1ni)x, t(O)(L)(LTE2n, init,x离散方程的截差可以通过对差分方程的精确解作Taylor 展开来导出，对一维模型方程的显式格式,把 ， 在点(i, n)的Taylor展开式代入该离散方程并整理，得1nin1i3.1.1.3.离散方程的相容性（Consistency） )x,t(Onmt/x定义：当时间、空间的网格步长趋近于零时，如果离散方程得截差趋近于零，则称此离散方程与微分方程相容。即离散方程逼近微分方程

3、。当截差表达式呈 得形式时（m, n均大于零），该方程具有相容性。当截差中含 有项时，相容性在一定条件下满足。3.1.2.1 数值解的离散误差定义：定义：在网格节点(i, n)上离散方程的精确解 偏离该点上相应的微分方程精确解(i, n)的值,用 表示。3.1.2 离散误差与收敛性nininini)n, i (即即: : 3.1.2.2 影响离散误差的因素:离散误差与离散方程的截断误差有关离散误差与离散方程的截断误差有关。在相同的网格步长下，截断误差阶数越高，离散误差随之减小；对同一离散格式，网格加密，离散误差也会减小.注意注意: :网格不能无限加密，得出网格独立解即可。原因：原因：1. 经济

4、原因； 2. 整个数值解的精度取决于求解区域上各个节点离散方程的截差，而对于邻接边界的节点，往往难以得到高阶截差的表达式；3. 对于对流换热问题，除了上述数学上的一些误差需考虑外，更要顾及离散格式在物理特性上的表现；4. 过分细密的网格要大大增加计算机的运算次数，舍入误差因而增加。当时间与空间步长均趋近于零时，如果节点上的离散误差都趋近于零，则称该离散方程是收敛的。3.1.2.3 离散方程的收敛性:对于线性初值问题，离散格式的收敛性可由其稳定性保证.3.1.3 舍入误差与初值问题的稳定性nini对给定的物理问题，其数值解的舍入误差的大小取决于所采用的计算方法及所用的计算机的字长.若由计算机求得

5、的解为 ,则节点(i, n)上的舍入误差 为：3.1.3.1数值解的舍入误差nnniiinininininini) n , i () n , i (离散方程的数值解偏离相应精确解的总误差由离散误差离散误差与舍入误差舍入误差两部分组成。设所得到的数值解 不存在迭代不完全误差，则:ni3.1.3.2 数值解误差的组成误差的主要来源为离散误差误差的主要来源为离散误差. .3.1.3.3 初值问题离散格式的稳定性一个初值问题的离散格式，如果可以确保在任一时层计算中所引入的误差都不会在以后各时层的计算中被不断放大，以致变得无界，则称此离散格式是稳定的。问题的提出：对非稳态问题，在初始条件给出过程中引入的

6、误差或在某一时层计算中引入的误差会不会在以后的各时层的计算中被逐渐放大？对于适当的线性初值问题所建立起来的相容格式，稳定性是收敛性的充分必要条件；对于非线性问题，离散方程的相容性与稳定性仅是获得收敛解的必要条件而非充分条件。 3.1.3.4 联系收敛性与稳定性的Lax原理 凡是稳定的格式，任何一个信息或扰动在计算过程中被放大的程度总是有限的；凡是不稳定的格式，无论什么误差都会在计算过程中被不断放大，以致当计算的时间层足够多时，所得得解变得毫无意义。02dxddxd2212345x例题例题1：设有 ，（0）= 0，（5）= 1。试用二阶截差与四阶截差的格式将该式离散，采用均匀布置的4个节点进行求

7、解并比较其结果.0) h2 ()h1 ( 4) h2 (1ii21i得:, i=2、3、4解：解：采用区域离散法A，x = h, 代入二阶截差的表达式:21ii1i22x2xx2x1i1ix2x1i1i0)h121h121()h128h1216(h1230)h128h1216()h121h121(2i21i2i21i22i284x2xeeee微分方程的精确解为：对于节点对于节点2 2和和4 4，四阶格式不适用，只能采用二阶截差格式，四阶格式不适用，只能采用二阶截差格式. .则对节点3有:22i1ii1i2i22x12163016x如果采用四阶得差分表达式不同格式计算结果的比较格式格式 1 23

8、 45 精确解精确解 00.0473 0.1350 0.3679 1二阶格式二阶格式00.0582 0.1552 0.3944 1四阶格式四阶格式00.0505 0.1348 0.3918 1区间数 48163264精确解 1 0.0582 0.0502 0.0480 0.0475 0.0473 0.0473 2 0.1552 0.1404 0.1364 0.1353 0.1350 0.1350 30.3944 0.3752 0.3697 0.3683 0.3679 0.3679 网格疏密的影响（二阶格式） 目前一般认为扩散项采用二阶精度截差，对流项采用二阶到三阶的离散格式比较合适. 例题2：

9、设一维非稳态导热问题： ，0 x 2 t 0, T = 100oC, , T (0, t) = 400oC， T(2，t) = 400oC22xTatT1xta22x00t 试取 ，作数值计算并分析其结果。解：解：由于有对称性取半个厚度作为计算区域，采用区域离散法A，等分4个子区域，得到5个节点，则显式差分方程化为：按此式对开始的4个时层进行计算，计算结果如表中所示：nin1in1i1niTTTT22xTtT0t15 . 0 x5 . 00 x48. 022xtxta)1 ( 2xT例题例题3:设有以下初值问题，0 x1，T = 2x,及0.52下进行数值计算并与精确试在解相比较。计算结果计算

10、结果解：5.02xta初值不稳定性初值不稳定性：初值问题中由于时间步长取值不当而引起的不稳定性。对于所研究的一维非稳态导热的显式格式，是一个临界值，稍一超过就会引起数值解的震荡。在一定的空间步长下，时间步长超过一定的值就会引起数值解的振荡。3.2分析初值问题稳定性的Von Neumann方法 以第一类边界条件的一维非稳态导热问题为例： 22TTatxLx 0)()0 ,(xFxT)(), 0(1tftT)(),(2tftLT3.2.1误差矢量随时间传递的规律21112xTTTatTTninininini)(0iixFT)(10tnfTn)(2tnfTnI，n = 1, 2, 3 ，i = 1,

11、 2, 3 I， i = 1, 2, 3 I-1采用空间中心差分的显式格式，其离散方程为:)()21 (111ninininiTTrrTT令 ，则差分方程可化为：2xtar固定n，将此式对i = 1, 2, 3 I-1写出，得:ninnInInnnInInnrTrTTTTTrrrrrrrrrrTTTT00)21 (0)21 ()21 (0)21 (0122112121211nnngTAT1FT0初始条件为:A为系数矩阵。(2b)(2a)3.2.1误差矢量随时间传递的规律上式可改写成以下简洁的形式:nnngTAT100 FTnnnnnTTATT)(11000TTnnA1由此，得:式（3）与（2）

12、相减，得:(3b)(3a)假设在给出初值时引入了误差矢量，把与这一含误差的初值相对应的解记为 ，则T 对于线性初值问题，如果在边值的计算中不引入误差，则误差矢量的传递规律与原差分方程完全一样，可应用原差分方程来分析误差随时间的推移而传递得情形。结论：3.2.3 Von neumann分析的基本思想 假定所计算得初值问题的边界值是准确无误的，而在某时层的计算中引入了一个误差矢量（即小扰动).如果这一扰动的强度随时间的推移不断增大，则这一格式是不稳定的；反之，是稳定的。基本思想基本思想1)()(ttt为进行某一离散格式稳定性的分析，可以把误差矢量的一个谐波分量表达式代入离散方程，以得出相邻两个时层

13、间该谐波分量振幅之比。格式稳定的条件要求：放大因子放大因子Iiett)()(21112xTTTatTTninininini2)()()() 1() 1(2iIIiiIIieeextaetttt得代入离散方程 解：将试分析一维非稳态导热显式格式的稳定性。例题例题1 112sin)(41122xta5 .02xta注意：注意：Von Neumann分析法是针对第一类边界条分析法是针对第一类边界条件问题而发展的，上述稳定条件仅适合于内部节点。件问题而发展的，上述稳定条件仅适合于内部节点。右端自动成立，左端成立需满足条件稳定得条件为：2sin)(4122xta)cos1)(21)()(2xtattt经

14、整理，得例题例题2:试分析一维模型方程格式的稳定性条件。假设一维模型方程中的源项为常数，在分析格式稳定时不予考虑。空间导数采用中心差分。ninininininininiSxxut21111122解：一维模型方程)2()(2(112111nininininininixtaxtu/a Iiett)()( )2()(2(1)()(2IIIIeextaeextuttt代入，经整理得把其中方程可写为：令xtuc称为Courant数，得sincos221)()(Icrrttt稳定性要求：1sincos221Icrrsincos221Icrr112 r1c 代表了在复平面上的一个椭圆，其中心在实轴上的(1-

15、2r)处，长轴为2r，短轴为 c。为使 ，椭圆必须位于以原点为中心，半径为1的圆内，因此，必要条件为：120 rrc2212/2rc1)(2021rr12/2/0222121rcrc21xtar22ytarxtuc1ytuc2Von Neumann分析法的不足是不能考虑边界条件的影响。分析法的不足是不能考虑边界条件的影响。其中对于二维对流-扩散方程的显式格式，其稳定性的条件为：或或一维模型方程的显式格式稳定的充分必要条件为：3.2.4 关于显式格式的稳定性分析的进一步讨论 DCBAnininini111的离散方程中,稳定的条件为系数A、B、C均大于零。以一维问题为例,在形如：对于非稳态扩散方程

16、的显式格式，可采用正系数法来获得稳定性条件。在数学上满足稳定性条件的解，不能保证一定得出在数学上满足稳定性条件的解，不能保证一定得出具有物理意义得结果具有物理意义得结果.以上分析初值问题显式格式稳定性的方法只适用于以上分析初值问题显式格式稳定性的方法只适用于线性问题，不能直接用于非线性的初值问题差分格线性问题，不能直接用于非线性的初值问题差分格式的分析。式的分析。对此可用局部线性化的近似的处理方法对此可用局部线性化的近似的处理方法。对每一时层的计算，速度都取上一时层的值，然后对每一时层的计算，速度都取上一时层的值，然后按线性问题的分析法，找出该时层各节点上稳定性按线性问题的分析法，找出该时层各

17、节点上稳定性条件所允许的最大时间步长，并以其中的最小值作条件所允许的最大时间步长，并以其中的最小值作为向下一时层推进的时间间隔。为向下一时层推进的时间间隔。注意：注意：3.3离散方程的守恒性(Conservativeness) 相容性，相容性，收敛性，收敛性，稳定性。稳定性。数学特性：守恒性，守恒性，迁移性，迁移性，人工粘性；人工粘性；q三种主要的物理性能：在对流-扩散方程的离散过程中，扩散项二阶导数的中心差分离散格式具有优良的物理特性和计算精度，物理特性的不良表现都是由于对流项的离散方式不完善所致。定义：定义：如果对一个离散方程在定义域内的任一有限空间内作求和的运算（相当于对微分方程做积分）

18、，所得的表达式满足该区域上物理量守恒的关系时，称该离散格式具有守恒性.3.3.1离散方程具有守恒性的定义3.3.2 用直接求和法分析对流项中心差分的守恒特性 )2(11111xuutninininininiI2xinoutl1l2 xI1（a）21212)()(111IIiiiIIininixuut2121)(lllldxxudxx任取一段有限区间l1, l2来分析，积分:有)()()()()()(1111221211IIIiIIIiiuuuuuuu为截面的流量（b）tuuxIIiiiIIinini21212/ )()()(111或该式表明在t时间间隔内流入与流出某一区域中的通量之差等于该时间

19、间隔中该区域内的增量。因而格式（因而格式（a a）具有守恒性具有守恒性。tuuxoutinIIinini)()()(211则式（b）可写作:outinIIIiIIIiiuuuuuuuu)()()()()()(21)()(211111221211因为：3.3.3 保证离散方程具有守恒性的条件 1. 导出离散方程的控制方程是守恒型的。2. 在同一界面上各物理量(及有关物性)及的一阶导数是连续的（即从界面两侧的两个控制容积来写出该界面上的值是相等的）。()()ePeE() () ePeExxx如果用F表示界面上的流量,用 表示一阶导数的离散形式，则连续性条件可表示为：xutxutniniinini2

20、111其中心差分格式为：一维纯对流问题，非守恒型格式为：举例：举例：对右端作展开，求和的结果并不能写成求和区域的进出边界上通量的差，因而离散格式不具有守恒性。21212/)(111IIiiiiIIininitux对其作相应的求和计算，得:3.3.4 对离散方程守恒性的评述 1. 采用守恒性的离散方程计算的结果能与原物理问题在守恒特性上保持一致；2. 可以使对任意大小的体积的计算结果具有对原离散格式所估计的误差。当对某个离散格式作截断误差分析时，是对任意取出的一个控制容积来进行的。当把这一离散格式应用于由若干个相互邻接的控制容积所组成的有限容积时，如果界面上的通量可以相互抵消，则对该体积进行该物

21、理通量的数值计算的总体误差只有在边界上存在。 3. 一般地说，具有守恒特性的离散方程能给出比 较准确的计算结果。 3.4离散方程的迁移特性 3.4.1 对流与扩散现象在物理本质上的区别扩散扩散是由于分子不规则热运动所致，分子不规则热运动对空间不同方向的几率都是一样的，因此扩散过程可以把发生在某一地点上的扰动的影响向各个方向传递；对流对流是流体微团宏观的定向运动，带有强烈的方向性。在对流的作用下，发生在某一地点的扰动只能向其下游方向传递而不会逆向传播。3.4.2扩散项中心差分可以将扰动均匀地向四周传递 22xt21112xtninininini的显式格式:一维非稳态扩散方程:证明：假定初始物理量

22、场均匀，且值为零。从某一时刻开始（如第n时层）,在某一节点i上突然有一个扰动，而其余各点上的扰动为零，随着时间的推移，扰动传递的情形可由差分方程来确定。21112xtninininini对节点i：011nini)21 ()21 (221xtxtnini2/12xt所以有根据稳定性要求:其中其中对节点i+1：021nini2121112xtninininini因此12102xt211xtni211xtni同理，对节点i1:因此，显然n时刻发生在节点的扰动已经均匀地向两侧传递。3.4.3对流项离散格式的迁移特性如果对流项的某种离散格式仅能使扰动沿着流动方向传递，则称此格式具有迁移特性。3.4.3.1 定义0 xutxutnininini2111有:将中心差分用于一维非稳态纯对流方程的非守恒形式：证明：3.4.3.2 对流项的中心差分不具有迁移特性xutnininini22111021nini11()2niu tx因此其中对于节点i+1在n+1时层有:021ninixtuni2