段祖睿 201301120118 给水1301

1、给水工程第二次小班课给水工程第二次小班课PPTPPT 证明证明根据拉格朗日条件极值法求根据拉格朗日条件极值法求出的极小值点就是全局极小出的极小值点就是全局极小值点（最小值点）值点（最小值点）给水给水13011301段祖睿段祖睿2013011201182013011201181 1、数学中拉格朗日条件极值法、数学中拉格朗日条件极值法基本内容介绍及极值点与最值基本内容介绍及极值点与最值点的关系点的关系2 2、证明给水管网计算中拉格朗、证明给水管网计算中拉格朗日条件极值法求出的是全局极日条件极值法求出的是全局极小值点小值点3 3、对拉格朗日条件极值法在给、对拉格朗日条件极值法在给水管网中应用适用性的

2、总结水管网中应用适用性的总结拉格朗日条件极值法的基本内容拉格朗日条件极值法的基本内容实际中常遇到的问题：实际中常遇到的问题：求表面积为求表面积为 S S( (固固定定) ) 、体积最大的长方体的体积体积最大的长方体的体积( , , )V x yzxyz 222xyyzzx S 限制条件限制条件求极值求极值设设假设在假设在求求函数函数下的极值下的极值. .在条件在条件),(zyxfu ,0),(zyx0),(zyx),(),(),(21zyxzyxzyxfF解方程组解方程组021xxxxfF021yyyyfF021zzzzfF01F01F即可即可得到条件极值的可疑点得到条件极值的可疑点 极值点与

3、最值点的关系极值点与最值点的关系设函数设函数 在在闭区间闭区间aa，bb上连续，则函数的上连续，则函数的最大最大值和最小值一定值和最小值一定存在存在)(xf函数的最大值和最小值有可能在区间的端点函数的最大值和最小值有可能在区间的端点取得取得如果最值不在区间的端点取得，则必在开区如果最值不在区间的端点取得，则必在开区( (a a，b b) )的的极值点极值点处或不可导点处取得处或不可导点处取得因此：找最值只需比较因此：找最值只需比较端点端点的函数值和的函数值和极值点极值点处的处的函数函数值以及值以及不可导点不可导点处的函数值即处的函数值即可。可。oxyoxyoxybaabab证明给水管网计算中拉

4、格朗日条件极值法求出的是全局极小值点证明给水管网计算中拉格朗日条件极值法求出的是全局极小值点图5-6 起点水压未知的管网4321QQQQQ4321P应用应用 拉格朗日条件极值法，拉格朗日条件极值法，可以得到以下方程：可以得到以下方程：12231324233412244()()()()nmmmmmijijijpIIIPpaKpbk qhlPQHhhhhhhZHhhZH2mmmmmijijiji jpabk qhllPQH0132312hhh0342324hhh122440PpaZHhhZH运用所学给水管网知识可以得到这些方程：运用所学给水管网知识可以得到这些方程：（p） 求函数求函数K K对扬程

5、对扬程H Hp p和管段水头损失和管段水头损失h hijij的偏的偏导数导数, , 并令其等于并令其等于零零得：得： 0pKPQH12121212()0nmmmmmmIKp bk qlhhm 13131313()0nmmmmmmIKp bk qlhhm 23232323()0nmmmmmmIIIKp bk qlhhm 24242424()0nmmmmmmIIKp bk qlhhm 34343434()0nmmmmmmIIKp bk qlhhm 而函数而函数K K对扬程对扬程H Hp p和管段水头损失和管段水头损失h hijij的二阶偏导数为：的二阶偏导数为：213132213()mmmmmpb

6、kKqhlhm anaa+2ma+ma(a)212122212()mmmmmpbkKqhlhm anaa+2ma+ma(a)223232223()mmmmmpbkKqhlhm anaa+2ma+ma(a)224242224()mmmmmpbkKqhlhm anaa+2ma+ma(a)234342234()mmmmmpbkKqhlhm anaa+2ma+ma(a)220KHp从上述这些二阶偏导数表达式可以看从上述这些二阶偏导数表达式可以看出除了函数出除了函数K K对杨程对杨程HpHp的二阶偏导数为的二阶偏导数为0 0以外，其他的二阶偏导数全为正数以外，其他的二阶偏导数全为正数而函数而函数K K对

7、杨程对杨程HpHp的偏导数为一常数的偏导数为一常数，将其一阶偏导数设为，将其一阶偏导数设为0 0后，后，K K随随HpHp的的变化而无变化，因此我们无需讨论变化而无变化，因此我们无需讨论HpHp再看函数再看函数K K对其他各管段水头损失的一对其他各管段水头损失的一阶和二阶偏导数，下面我们以阶和二阶偏导数，下面我们以1212管段管段为例为例212122212()mmmmmpbkKqhlhm anaa+2ma+ma(a)12121212()0nmmmmmmIKp bk qlhhm 一阶：二阶：前面已经提到其二阶偏导数为正数，即说明前面已经提到其二阶偏导数为正数，即说明其一阶偏导数为增函数，而其一阶

8、偏导数为增函数，而h h1212最小值为最小值为0 0，此，此时其一阶偏导数为最小值即时其一阶偏导数为最小值即 ，若此值，若此值小于小于0 0，则说明其一阶偏导数先小于，则说明其一阶偏导数先小于0 0后大于后大于0 0，在其他未知数一定时，函数，在其他未知数一定时，函数K K随着随着h h1212的增大的增大先减小后增大，即当且仅当其一阶偏导数的先减小后增大，即当且仅当其一阶偏导数的值为值为0 0时，函数时，函数K K取极小值，显然是最小值。取极小值，显然是最小值。而当而当 的值大于或等于的值大于或等于0 0时，说明其一阶时，说明其一阶偏导数一直大于偏导数一直大于0 0，函数，函数K K的值一

9、直随着的值一直随着h h1212增增大而增大，此时函数大而增大，此时函数K K无极小值，而当无极小值，而当h h1212=0=0时时，函数，函数K K取最小值，这种情况不符合实际应当取最小值，这种情况不符合实际应当舍弃。舍弃。IIIIIIII同理可得函数同理可得函数K K对其他管段水对其他管段水头损失求偏导数并令其等于头损失求偏导数并令其等于0 0求出的极小值也是最小值。求出的极小值也是最小值。由此我们可以得出，给水管由此我们可以得出，给水管网计算中拉格朗日条件极值网计算中拉格朗日条件极值法求出的极小值点就是全局法求出的极小值点就是全局极小值点（最小值点），问极小值点（最小值点），问题得以证明

10、。题得以证明。而当所有管段水头损失均取其全局极小值点即最而当所有管段水头损失均取其全局极小值点即最小值点时，函数小值点时，函数K K取得最小值，即函数取得最小值，即函数W W在诸多能在诸多能量连续方程限制下得以取到最小值。量连续方程限制下得以取到最小值。对拉格朗日条件极值法在给水对拉格朗日条件极值法在给水管网计算中应用适用性的总结管网计算中应用适用性的总结 在进行给水在进行给水 管网技术经济计算时管网技术经济计算时，经济管径的确，经济管径的确 定受许多因素限制，其定受许多因素限制，其中能量连续方程对中能量连续方程对 其计算的限制尤为其计算的限制尤为明显，如果不考虑明显，如果不考虑 能量连续方程

11、的限制，能量连续方程的限制，求出的经济管径将求出的经济管径将 会与实际不符，不满足会与实际不符，不满足工程实际的需求。工程实际的需求。 而要考虑能量而要考虑能量 连续方程的限制，并求连续方程的限制，并求出其全局极小值点出其全局极小值点 即最小值点，使用拉格即最小值点，使用拉格朗日条件极值法朗日条件极值法 是不错的选择，与其是不错的选择，与其他条件联立并共同求解，可以准确地求出经济他条件联立并共同求解，可以准确地求出经济管径，且理论依据足够。管径，且理论依据足够。综上所述，在给水管网技术经济计综上所述，在给水管网技术经济计算中使用拉格朗日条件极值法求出算中使用拉格朗日条件极值法求出的极小值点就是全局极小值点（最的