概率论和数理统计试题及答案

1、概率论和数理统计试题及答案一、填空题：111、设 A 与 B 相互独立,P(A) =, P(B)=,贝U P (B-A)=.32111解: P(B _A)二 P(B)1 _P(A)(1):2332、设 XU1,3(均匀分布)，则 E(X2)=, D(2X)二.E(5X _2) =,解: E(X)二 2;D(X) =1/ 3E(X2) = D(X) E(X)2 =13/3D( 2X 4D (X =)4 / 3E(5X - 2)= 5E X ) 2 103、设随机变量X服从指数分布，即X E(2),定义随机变量2,X3Y £,X =3-1,X ：3解：FY(Y)=P(Jy)二 P(丫 乞

2、 一1) = P(X : 3)2e'xdx = -ex 0Fy(Y)二 P(Y D二 P(1 ： 丫 乞1) = P(X 空 3)3=2e"dx=-e'x0Fy(Y)二 P(丫 乞 y)二 P(1 ： Y 2) = P(X 3)0则Y的分布列为二 1 e6 -2C其中二是与y无关的量2e"dx _ -ex04、设 X B(200,0.1)2Y P(3),Z N(3,2 )，且 X , Y,Z 相互独立，则E(2X -3Y -Z 5) =, D(2X -3Y -Z 5)二E(2XD(2X -3Y -Z 5) =4D(X)9D(Y) D(Z) =7227 4 =

3、10325、 设总体 X N（j 匚）,Xi, X2, X3 为来自 X 的样本，二 0.5/ 0.1X2 - ax 3 是未知参数 丄的无偏估计，则 a =。解：因为是无偏估计所以E（?）=E（0.X+ 0.x1 ax =） 0E5x 什）E.2X-（ aJEj x （）= （0.50.-1 E）X（=）（ 0.5- 01"口 二）（0.5 0中=）1a -0. 46、设XN（叫，打），YN（2,/）,X与丫相互独立，且X与丫分别为X,Y的样2 2本均值，样本容量分别为 ni,n2。若，二2已知，则检验假设：H"!:叫八2的检验统计量为解:(X -Y)2 2巴+竺:nin

4、27、设随机变量X服从正态分布N（,1）,关于的二者必居其一的假设为H 0= 0; H i =1,且假设的拒绝域取为 W : x - c（0 : c < 1）,其中x是容量为n的样本均值，则以 W为拒绝域的检验法犯第II类错误的概率一：=。解：因为& -）/（；n）服从于标准正态分布p（n）=p（|x/（/ 掃| vc/® / 妬）u =0）二 P（c . n : x :： c、n）=2 ©A） -1、单项选择题（每小题 3分，共15 分）b、aUbUc1、设A、B、C是三个事件，则下列事件中必与 A互斥的是A、 ABCC、ABC1,x_12、设随机变量X的分

5、布函数F (x) = « x3, 0 c x < 1AbU AC则 E(X)二0,x 乞 0解：f(x)=dF(X)2x20 ： x : 1E(x) xf (x)dx-oO112x3dxx4023、设X服从参数=0.5的指数分布,丫 =2X的概率密度函数是fy(y) =*b5e.5y0B、fY (y)-0.25e0.25yy 0I 0y 兰 0fY0d、fY (y)-0解:fY(y)二 fxCy)dCy)X -1y <04、一个螺丝钉的质量是一个随机变量，均值为50g，标准差为5g，应用独立同分布的中心极限定理，则一盒(100个)螺丝钉的质量超过 5100g的概率p&qu

6、ot;【C 】D、: J(2)A、 1一门(1)B、 : J(1)C、 1一门(2)n解：P(送 X >5100)i 4=1n二 Xi - n/ i =4p(厂5100 二 100_50；100 55、设X1 ,X2,，X9是正态总体N(0, 2)的样本，则在下列各式中，正确的是C、1 9I 2Xi8 i吕2 (9)2 (9)【 】1 9B、1 - x2 2 (8)9 y1 9D、丄、X2 2(8)8 im解：选Cp = P2 ： X : 20是6、设E(X) =11,D(X) =9，用雪比晓夫不等式估计概率【 】八、1/小、8孑8A、 pB、 pC、 pD、 p_ 999998解：P2

7、 ： X ： 20 = P(X -11 ： 9) _1299选C7、设X N(0,1),Y 2(5),且X与Y相互独立，则下列分布错误的是【2 2A、X Y (6)X2C、F(1,5)Y/5B、F(1,5)XD、齐t(5)率为A、P(AH0)B、P(A|H0)C、P(AH0) d、P(AH0)解：选D1、设随机变量X的分布列为：X-112p0.30.50.2三、解答题兀X求：（1）Y=X2 的分布列；（2） Z=COS分布列；（3）E（X）, D（ X）。2X Y1230a2/152/1512/154/154/152、设（XY的联合分布列为.（1）求常数a；（2）求（X Y的边缘分布列；（3）

8、判别X与Y是否独立加.141解：a = 11515X/Y123Fy(X)01/152/152/15Fy(0) =1/312/154/154/15Fy(1) = 2/3Fx(Y)Fx(1)=1/5Fx (2) =2/5Fx(3) =2/5由表得 F(X,Y)二 Fy(X)Fx(Y)解：选D 8、设H。表示假设H。真，H0表示假设H。假，拒绝域为A，则犯第二类错误的概即：F(0,1) =Fy(0)Fx(1)1 1 1一 X _ = 一3 5152_ 2 5 一 1 5F(0,2)Fy (FXF(0,2)Fy (I0x).2 2 符)351 5F(1, 1>Fy (FXF(1, 2)Fy (F

9、X5 -1 52Z 451 i_ 41551 22钧2 2F(1,3HFy(1)Fx (3)=-3 5所以相互独立3、设电源电压 X N（220, 252），且某种电子元件在下列三种情况下损坏的概率分别是 0.1，0.001和0.2 :（ a）X不超过200伏；（b）X在200240 伏之间；（c）X超过240 伏。求:（1 ）电子元件损坏的概率（设：叮（0.8）=0.8）；（2 ）某仪器装配有50个这种电子元件，它们的工作状态相互独立，如果电压X超过240时，求这50个电子元件中至少10个损坏的概率（要求：只列式，不计算）。解：1p(元件损坏)=0.1 p(x : 200)0.001p(20

10、0 ： x 乞 240)0.2 p(x 240)x220x220240 220= 0.1 p(0)0.001p(0) - 0.2 p(x252525= 0.1 ：(0)0.001 G(0.8) -G(0)0.2(0.8)= 0.1 0.50.001 0.8 -0.50.2 0.8 =0.2103240 - 220)25口 = p(原件损坏 x 240) = 0.2 p(x 240) = 0.169p =1 p(x = k)k=09k k50 -k=1 -G0P1 1 - P1k出4、已知随机变量 X的分布密度f（X）二k(2x-x2),x (0,2)0,其他，求：（1）系数k ；（2）P：X

11、P ；（3）E（-X）_ ” 1F (址)=J* f (x)dx = * k(2x x2)dx = k(x2 §x3)222023143p(1 <x 兰3) = f (x)dx =23213(2x)d-X(x_x)23E(-X)=：(-x)f(x)dx 二-co220(2x x2)dx15、设二维随机变量（X,Y）的联合概率密度2Axy , 0 : y . x, 0： x : f (x,y )=0,其他求:（1）（2）（3）解：1A的值；X型，Y的边缘概率密度,其中P(X,Y) D 1所以-Ax432fy(x)：3xy0 二1即：A = 32dy 0 3 xy dy32y x:

12、 2 1 2fx(y)二.：.3xy dx 二 y3xy dx 二2 1 3y=2yf(x,y 尸 fx y X()不独立221/2 3 2 2弋 Jy 3xy2dxdy = J。刁丫仏2 廿dy1 13 r2 23 1 4 1 3 o弋.0 y (-2y+l)dy =；(-；y +-y ) o2 02 2311311( )-232242 96646、有一大批糖果现从中随机抽取6袋，称得重量(以克计)如下:214，210，213，216，212，213设袋装糖果的重量分布为正态的.(1) 若已知二2 =1，求总体均值 J的置信度为0.95的置信区间；(2) 若匚2未知，求总体均值 J的置信度为

13、0.95的置信区间解：x = 213s1 ' X- 2彳3)25-1 y1(X 一 Z0.02' / '、6, X Zo.025、6)= (213 -1.96 1八 6,213 1.96 1/ .6)=(212.2, 213.8)2(X £ . 02(55 )S6 才 t 0 .0 25： 5/ 6 )-(213 0. 98 276,21 30. 98 2 /6 )= (212. 198, 2 1 3. 816)27、设总体XN(J；)的样本的一组观察值为：10, 8 ,12 ,10。(1) 求方差； 的置信区间为的置信度为0.95的置信区间；(2) 能否据此

14、样本认为该总体的数学期望为11 O =0.05)?(1)因为未知，取统计量2 2( n-1)(n -1)S22a相应地,二2的置信区间为(n-1)S2 ；(n -1)，1(n -1)S2 )：_：.(n -1)一2由已知n=4 , ： =1 -0.95 =0.05，查表:以及"-1)=1 "2爲5(3) = 0.216,(n-1)=220.025 =9.348,(n -1)S28：(n -1)9.348 ： °86,2(n -1)S2:：(n -1)20.216 37.。4(0.86, 37.04)(2)检验假设:检验统计量(二未知,X P米用 t -检验)：t.

15、 t(n -d)s/(n显著性水平为=0.05的拒绝域为:丄 t ：.(n T) = t0.025 ( 3)查表：t0.025(3)=3.1824，于=1. 22473. 1824s/ n故接受H0 ,即认为=11。& 某地地震台根据对地应力 (电感)测量资料计算出最大压应力值 x (公斤/厘米2), 发现其与地震震级 y (M)有关系。试由下列观察数据:x:1.22344.8y:2.833.23.74.3求y对x的经验回归方程。解:二=0.966可以假设线性回归方程为y = 1 x 0.4009; ： =2.19由最小二乘法可得Y =0.4009X +2.199.将两信息分别编码为A

16、和B传递出来，接收站收到时，A被误收作B的概率为0.02，而B被误收作A的概率为0.01.信息A与B传递的频繁程度为2 :1.若接收站收到的信息是A，试问原发信息是A的概率是多少？【解】 设A=原发信息是A，则=原发信息是BC=收到信息是A，则=收到信息是B由贝叶斯公式，得P(AC)二P(A)P(C|A)P(A)P(C|A) P(A)P(C A)-0. 994920. 012/3 0. 982 / 30. 9 81 / 310. (1)设随机变量X的分布律为 kPx=ky，其中k=0，1，2，入0为常数，试确定常数 a.(2)设随机变量X的分布律为PX=k=a/N，k=1，2，N，试确定常数a

17、.【解】（1）由分布律的性质知k1 八 P(Xk卫=k) = aa|_e'y k!a 由分布律的性质知NNa1='P(X=k)ak=1k=4 N11. 某教科书出版了 2000册，因装订等原因造成错误的概率为0.001，试求在这2000册书中恰有5册错误的概率.【解】令X为2000册书中错误的册数，则 Xb （2000,0.001）.利用泊松近似计 算J = np = 2000 0.001 = 2ep5得P（X =5）0.00185!12. 有2500名同一年龄和同社会阶层的人参加了保险公司的人寿保险.在一年中每个人死亡的概率为0.002，每个参加保险的人在1月1日须交12元保

18、险费，而在死亡时家属可从保险公司领取 2000元赔偿金.求：（1）保险公司亏本的概率；（2）保险公司获利分别不少于10000元、20000元的概率.【解】以“年”为单位来考虑.（1）在1月1日，保险公司总收入为 2500 X12=30000 元.设1年中死亡人数为X,则Xb (2500,0.002)，则所求概率为P(2000X 30000) =P(X 15) =1 - P(X 叮4)由于n很大，p很小，Qnp=5，故用泊松近似，有P(X -15) ： 1k -0k !:0.000069(2) P(保险公司获利不少于10000)-P( 3 0 00020X)01 0 0P0 X -(0.986305k卫k!即保险公司获利不少于10000元的概率在98%以上P (保险公司获利不少于 20000 ) = P(30000 -2000X -20000) = P(X 乞 5)k=e k!:0.615961即保险公司获利不少于