材料力学截面几何性质学习教案

1、会计学1材料力学截面几何性质材料力学截面几何性质第一页，编辑于星期日：十五点 四十九分。4、组合图形的形心与静矩、组合图形的形心与静矩（1）组合图形的静矩）组合图形的静矩CiiyiyCiixixxASSyASS（2）组合图形的形心）组合图形的形心iCiiiyCiCiiixCAxAASxAyAASy第1页/共13页第二页，编辑于星期日：十五点 四十九分。 解：将此图形分别为解：将此图形分别为I、II、III三部分三部分，以图形的铅垂对称轴为，以图形的铅垂对称轴为y轴，轴，过过II、III的形心且与的形心且与y轴垂直的轴线取为轴垂直的轴线取为x轴，则轴，则例例4- -2 求图示图形的形心。求图示图

2、形的形心。xx1150yCOy120010yC300IIIIII10mm8 .38)30010(2102000)30010(2)1505()10200(iiiAyAyCC由于对称知：由于对称知： xC=0第2页/共13页第三页，编辑于星期日：十五点 四十九分。1.极惯性矩：极惯性矩：2.惯性矩：惯性矩：AyAxdAxIdAyI22ApdAI2为图形对一点的为图形对一点的极惯性矩极惯性矩；xydAxy O3.惯性积：惯性积： 为图形对为图形对x、y一对正交轴的一对正交轴的惯性积；惯性积；AxyxydAI分别为图形对分别为图形对x、y轴轴的的惯性矩；惯性矩；5.惯性矩与极惯性矩的关系：惯性矩与极惯

3、性矩的关系：xyAApIIdA)yx(dAI222 平面图形对过一点的任意一对正交轴的惯性矩之和为常数，等平面图形对过一点的任意一对正交轴的惯性矩之和为常数，等于图形对该点的极惯性矩。于图形对该点的极惯性矩。yyIiA4.惯性半径：惯性半径： xxIiA第3页/共13页第四页，编辑于星期日：十五点 四十九分。 解：平行解：平行x轴取一窄长条，轴取一窄长条， 其面积为其面积为dA=bdy，则，则 惯性矩、极惯性矩恒为正值，惯性积有正负，单位：惯性矩、极惯性矩恒为正值，惯性积有正负，单位：m4、cm4、mm4； 若图形有一个对称轴，则图形对包含此对称轴的一对正交若图形有一个对称轴，则图形对包含此对

4、称轴的一对正交轴的惯性积为轴的惯性积为零零； 惯性矩、惯性积和极惯性矩均为惯性矩、惯性积和极惯性矩均为面积的二次矩面积的二次矩 例例4- -3 求图示矩形对通过其形心且与边求图示矩形对通过其形心且与边平行的平行的x、y轴的惯性矩轴的惯性矩Ix、Iy和惯性积和惯性积Ixy。dyb/2b/2xyyh/2h/2CdA1232222bh)ydb(yAdyI/h/hAx-123hbIy又因为又因为x、y轴皆为对称轴，故轴皆为对称轴，故Ixy=0。同理可得同理可得第4页/共13页第五页，编辑于星期日：十五点 四十九分。 由于圆形对任意直径轴都是对称的，故由于圆形对任意直径轴都是对称的，故Ix=Iy注意到注

5、意到I=Ix+Iy，得到，得到例例4- -4 求图示直径为求图示直径为d的圆对过圆心的任意直径轴的惯的圆对过圆心的任意直径轴的惯性矩性矩Ix、Iy及对圆心的极惯性矩及对圆心的极惯性矩I。dCxyd 解：解：首先求对圆心的极惯性矩。首先求对圆心的极惯性矩。在离圆心在离圆心O为为 处作宽度为处作宽度为d 的薄圆环，其面积的薄圆环，其面积dA=2ppd ，则，则32)d2(d42/022dAIdAppp64214dIIIyxp第5页/共13页第六页，编辑于星期日：十五点 四十九分。一、平行移轴公式一、平行移轴公式1.公式推导公式推导2.平行移轴公式平行移轴公式abAIIAbIIAaIICCCCyxx

6、yyyxx22 b和和a是图形的形心是图形的形心C在在Oxy坐标系中的坐标，所以它们是有正负坐标系中的坐标，所以它们是有正负的。的。3.注意注意： xC、yC轴是形心轴，在所有的平行轴中，图形对形心轴的惯性矩轴是形心轴，在所有的平行轴中，图形对形心轴的惯性矩最小；最小；n1iin1iin1iixyxyyyxxIIIIII，二、组合图形的惯性矩：二、组合图形的惯性矩：第6页/共13页第七页，编辑于星期日：十五点 四十九分。OxyCdAxCyCabyxxCyC已知：已知： 、 、 ，形心在，形心在xOy坐标系下的坐标坐标系下的坐标(a，b)，求，求Ix、Iy、IxyCxICyICCyxI A2xd

7、AyI A2CC2A2CdA)yay2a(dA)ya( A2CACA2dAydAya2dAaAaII2xxC AbII2yyC 同同理理：CxA2CACAIdAy0dAyAdA ， AxyxydAI ACCCCACCdA)yxbyaxab(dA)ya)(xb( ACCACACAdAyxdAybdAxadAabCCyxACCACACAIdAyx0dAy0dAxAdA ，abAIICCyxxy 第7页/共13页第八页，编辑于星期日：十五点 四十九分。一、惯性矩和惯性积的转轴公式一、惯性矩和惯性积的转轴公式1.公式推导：公式推导：2.转轴公式：转轴公式：-2222222221111cosIsinII

8、IsinIcosIIIIIsinIcosIIIIIxyyxyxxyyxyxyxyyxyxx3.注意：注意： 是是x轴与轴与x1轴的夹角，由轴的夹角，由x轴逆时针转到轴逆时针转到x1轴时的轴时的 为正。为正。 第8页/共13页第九页，编辑于星期日：十五点 四十九分。形心主惯性矩形心主惯性矩：图形对形心主轴的惯性矩；：图形对形心主轴的惯性矩；2.主轴方位：主轴方位：利用主轴的定义利用主轴的定义惯性积等于零进行求解；惯性积等于零进行求解；主轴与主轴与x轴的夹角轴的夹角:yxxyIIItg-220 由上式可求出相差由上式可求出相差90o的的 0， 0+90o，分别对应于一对相垂直，分别对应于一对相垂直

9、的主轴的主轴x0、y0；二、主惯性轴、主惯性矩二、主惯性轴、主惯性矩1.主轴的相关概念：主轴的相关概念：主轴主轴(主惯性轴主惯性轴)：惯性积等于零的一对正交轴；惯性积等于零的一对正交轴； 形心主轴形心主轴：过图形形心的主轴，图形的对称轴就是形心：过图形形心的主轴，图形的对称轴就是形心主轴主轴第9页/共13页第十页，编辑于星期日：十五点 四十九分。 与主轴方位的对应关系：与主轴方位的对应关系：求求 0时只取主值时只取主值|2 0|p p/2)，若若IxIy，则由，则由x轴转过轴转过 0到达到达x0轴时，有轴时，有 ；若；若IxIy，则则 。注意，。注意， 0为正值时应逆时针旋转。为正值时应逆时针

10、旋转。maxxII0minxII0 任何具有三个或三个以上对称轴的平面图形，所有形心轴都是主轴任何具有三个或三个以上对称轴的平面图形，所有形心轴都是主轴，如正三角形、正方形、正多边形。，如正三角形、正方形、正多边形。 求惯性矩的极值所在方位，得到与上式相同结果。所以：图形对过求惯性矩的极值所在方位，得到与上式相同结果。所以：图形对过某点所有轴的惯性矩中的极大值和极小值，就是对过该点主轴的两个主惯某点所有轴的惯性矩中的极大值和极小值，就是对过该点主轴的两个主惯性矩。性矩。3.主惯性矩大小：主惯性矩大小： 22minmax22xyyxyxIIIIIII-第10页/共13页第十一页，编辑于星期日：十

11、五点 四十九分。12010101070例例4-7 计算图示截面的形心主轴和形心主惯性矩计算图示截面的形心主轴和形心主惯性矩IIIIIIICxyy0 x0 0图形的对称中心图形的对称中心C为形心，在为形心，在C点建立坐标点建立坐标系系xCy如图如图将整个图形分成将整个图形分成I、II、III三个矩形，如图三个矩形，如图整个图形对整个图形对x、y轴的惯性矩和惯性积分别为轴的惯性矩和惯性积分别为IIIxIIxIxxIIII 2)1060()560(12106023 - - 46mm1008. 5 12120103 46IIIyIIyIyymm1084. 1IIII 46IIIxyIIxyIxyxymm1031. 2IIII - - 426. 1III22tgyxxy0 - - - 2827o0 minymaxx0oyx0IIIIx2827xII4/000 p p ，转到主轴转到主轴轴逆时针旋转轴逆时针旋转自自， - - 46462xy2yxyxminmaxmm1064. 0mm1028. 6I2II2IIII形心主惯形心主惯性矩大小性矩大小第11页/共13页第十二页，编辑于