函数展开成幂级数48106实用教案

1、1第四节第四节两类问题(wnt):在收敛(shulin)域内和函数)(xS求 和展 开本节内容(nirng):一、泰勒 ( Taylor ) 级数 二、函数展开成幂级数 函数展开成幂级数 第十二章 第1页/共27页第一页，共28页。2一、泰勒一、泰勒(ti l) ( Taylor ) 级数级数 其中(qzhng)( 在 x 与 x0 之间)称为(chn wi)拉格朗日余项 .则在若函数的某邻域内具有 n + 1 阶导数, 此式称为 f (x) 的 n 阶泰勒公式 ,该邻域内有 :第2页/共27页第二页，共28页。3)(00 xxxf200)(!2)(xxxf 为f (x) 的泰勒(ti l)级

2、数 . 则称当x0 = 0 时, 泰勒级数(j sh)又称为麦克劳林级数(j sh) .1) 对此级数(j sh), 它的收敛域是什么 ？2) 在收敛域上 , 和函数是否为 f (x) ?待解决的问题待解决的问题 :若函数的某邻域内具有任意阶导数, 0)(xxf在第3页/共27页第三页，共28页。4定理定理(dngl)1 .各阶导数(do sh), 则 f (x) 在该邻域内能展开(zhn ki)成泰勒级数的充要条件是 f (x) 的泰勒公式中的余项满足:证明:令)(0 xx设函数 f (x) 在点 x0 的某一邻域 内具有第4页/共27页第四页，共28页。5定理定理(dngl)2.若 f (

3、x) 能展成 x 的幂级数, 则这种展开式是唯一(wi y)的 , 且与它的麦克劳林级数相同.证: 设 f (x) 所展成的幂级数为则显然(xinrn)结论成立 .第5页/共27页第五页，共28页。6二、函数二、函数(hnsh)展开展开成幂级数成幂级数 1. 直接(zhji)展开法由泰勒级数(j sh)理论可知, 第一步 求函数及其各阶导数在 x = 0 处的值 ;第二步 写出麦克劳林级数 , 并求出其收敛半径 R ; 第三步 判别在收敛区间(R, R) 内是否为0. 骤如下 :展开方法直接展开法 利用泰勒公式间接展开法 利用已知其级数展开式的函数展开第6页/共27页第六页，共28页。7例例1

4、. 将函数将函数(hnsh)展开(zhn ki)成 x 的幂级数. 解解: 其收敛(shulin)半径为 对任何有限数 x , 其余项满足故( 在0与x 之间)故得级数 第7页/共27页第七页，共28页。8例例2. 将将展开(zhn ki)成 x 的幂级数.解: 得级数(j sh):其收敛(shulin)半径为 对任何有限数 x , 其余项满足! ) 1( nn0第8页/共27页第八页，共28页。9类似(li s)可推出:),(x),(x(P281 ) 第9页/共27页第九页，共28页。10例例3. 将函数将函数(hnsh)展开(zhn ki)成 x 的幂级数, 其中m为任意(rny)常数 .

5、(P 283)解: 易求出 于是得 级数由于级数在开区间 (1, 1) 内收敛. 因此对任意常数 m, 第10页/共27页第十页，共28页。112!2) 1(xmmnxnnmmm!) 1() 1(推导(tudo)则为避免(bmin)研究余项 , 设此级数的和函数为第11页/共27页第十一页，共28页。12)()1 (xFx例例3 附注附注(fzh) P284第12页/共27页第十二页，共28页。132!2) 1(xmmnxnnmmm!) 1() 1(称为(chn wi)二项展开式 .说明(shumng)：(1) 在 x1 处的收敛性与 m 有关(yugun) .(2) 当 m 为正整数时, 级

6、数为 x 的 m 次多项式, 上式 就是代数学中的二项式定理.由此得 第13页/共27页第十三页，共28页。14对应(duyng)的二项展开式分别(fnbi)为 (P285)第14页/共27页第十四页，共28页。152. 间接间接(jin ji)展开法展开法利用(lyng)一些已知的函数展开式及幂级数的运算性质, 例1 将函数(hnsh)展开成 x 的幂级数.解: 因为把 x 换成)11(x, 得将所给函数展开成 幂级数. 第15页/共27页第十五页，共28页。16例例2第16页/共27页第十六页，共28页。17例例3. 将将展成(zhn chn) x1 的幂级数. 解: 第17页/共27页第

7、十七页，共28页。18例例4将下列函数(hnsh)展开成 x 的幂级数解:211xx1 时, 此级数(j sh)条件收敛,因此(ync) 第18页/共27页第十八页，共28页。19例例5. 将函数将函数(hnsh)展开(zhn ki)成 x 的幂级数.解: 从 0 到 x 积分(jfn), 得定义且连续, 区间为利用此题可得上式右端的幂级数在 x 1 收敛 ,所以展开式对 x 1 也是成立的,于是收敛第19页/共27页第十九页，共28页。20)1 (lnxx1, 1(x221x331x441x11) 1(nnxn例例6. 将将展开(zhn ki)为 x 的幂级数.解:)(3232x因此(ync

8、)第20页/共27页第二十页，共28页。21例例7. 将将展成(zhn chn)解: 的幂级数. 第21页/共27页第二十一页，共28页。22:解,! )2(2) 1(21121nnnnxn),(x例例8第22页/共27页第二十二页，共28页。23内容内容(nirng)小结小结1. 函数(hnsh)的幂级数展开法(1) 直接(zhji)展开法 利用泰勒公式 ;(2) 间接展开法 利用幂级数的性质及已知展开2. 常用函数的幂级数展开式(以后可直接引用)1x2!21x式的函数 .第23页/共27页第二十三页，共28页。24x11nxnnmmm!) 1() 1(当 m = 1 时),(x),(x)

9、1, 1(x x11 21nxxx 1x第24页/共27页第二十四页，共28页。25思考思考(sko)与练习与练习 函数(hnsh)处 “有泰勒(ti l)级数” 与 “能展成泰勒(ti l)级数” 有何不同 ?提示: 后者必需证明前者无此要求.第25页/共27页第二十五页，共28页。26 P285 2 (3) , (5) , (6) ; 3 (2) ; 5 ; 6 作业作业(zuy)第26页/共27页第二十六页，共28页。27感谢您的观看(gunkn)！第27页/共27页第二十七页，共28页。NoImage内容(nirng)总结1。第1页/共27页。为f (x) 的泰勒级数 .。1) 对此级数, 它的收敛域是什么。则 f (x) 在该邻域内能展开(zhn ki)成泰勒级数的充要。展开(zhn ki)成 x 的幂级数.。对任何有限数 x