北师大数学必修三最小二乘估计学习教案

1、会计学1北师大数学必修北师大数学必修(bxi)三最小二乘估计三最小二乘估计第一页，共29页。 在上节课的讨论中，我们知道，人体脂肪含量在上节课的讨论中，我们知道，人体脂肪含量和年龄之间近似存在和年龄之间近似存在(cnzi)(cnzi)着线性关系，这种线着线性关系，这种线性关系可以有多种方法来进行刻画性关系可以有多种方法来进行刻画. .但是这些方法但是这些方法都缺少数学思想依据都缺少数学思想依据. .问题问题1.1.用什么样的线性关系刻画用什么样的线性关系刻画(khu)(khu)会更好一些会更好一些？想法想法(xing f)(xing f)：保证这条直线与所有点都接近（：保证这条直线与所有点都接

2、近（也就是距离最小）也就是距离最小）. .最小二乘法就是基于这种想法最小二乘法就是基于这种想法. .本节课我们来进行详细本节课我们来进行详细学习！学习！第1页/共29页第二页，共29页。1.1.了解最小二乘法的思想了解最小二乘法的思想(sxing).(sxing).2. 2. 能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程方程.(.(重点重点) )3.3.会用线性回归方程对总体进行估计会用线性回归方程对总体进行估计.(.(难点）难点）第2页/共29页第三页，共29页。思考思考(sko)1.(sko)1.用什么样的方法刻画点与直线的距离用什么样的方法

3、刻画点与直线的距离会更方便有效？设直线方程为会更方便有效？设直线方程为y=a+bxy=a+bx，样本点，样本点A A（xixi，yiyi）方法方法(fngf)(fngf)一一: :点到直线的距点到直线的距离公式离公式方法方法(fngf)(fngf)二二: :12baybxdii2iibxayyiiy,xiibxa,xbxayxA A0 0第3页/共29页第四页，共29页。显然方法二能有效地表示显然方法二能有效地表示(biosh)(biosh)点点A A与直线与直线y=a+bxy=a+bx的距离的距离，而且比方法一计算更方便，所以我们用它来表示，而且比方法一计算更方便，所以我们用它来表示(bio

4、sh)(biosh)二者之间的接近程度二者之间的接近程度. .第4页/共29页第五页，共29页。思考思考2.2.怎样刻画多个点与直线怎样刻画多个点与直线(zhxin)(zhxin)的的接近程度？接近程度？ 例如有例如有5 5个样本个样本(yngbn)(yngbn)点，其坐标分别为（点，其坐标分别为（x1x1，y1y1），（），（x2x2，y2y2），（），（x3x3，y3y3），（），（x4x4，y4y4），（），（x5x5，y5y5），与直线），与直线y=a+bxy=a+bx的接近程度：的接近程度：255244233222211bxaybxaybxaybxaybxay提示提示(tsh)：第5

5、页/共29页第六页，共29页。若有若有n n个样本个样本(yngbn)(yngbn)点：（点：（x1x1，y1y1）, , ,（xnxn，ynyn），），可以用下面的表达式来刻画这些点与直线可以用下面的表达式来刻画这些点与直线y ya+bxa+bx的接近程度的接近程度: :2211nny(abx )y(abx ) 使上式达到最小值的直线使上式达到最小值的直线y=a+bxy=a+bx就是所要求的直线，就是所要求的直线，这种方法这种方法(fngf)(fngf)称为最小二乘法称为最小二乘法. .第6页/共29页第七页，共29页。先来讨论先来讨论3 3个样本个样本(yngbn)(yngbn)点的情况点

6、的情况2211nny(abx )y(abx )思考思考(sko)3(sko)3：怎样使怎样使达到最小值？达到最小值？第7页/共29页第八页，共29页。利用利用(lyng)(lyng)配方配方法可得法可得22221122333-2-)( -)(-)(-)aa y bxy bxy bxy bx（第8页/共29页第九页，共29页。第9页/共29页第十页，共29页。同样使用配方法同样使用配方法(fngf)(fngf)可以得到可以得到，当，当从而得到直线从而得到直线y=+bxy=+bx的系数的系数(xsh)(xsh)，b b，且称直线，且称直线y=+bxy=+bx为这为这3 3个样本点的线性回归方程个样

7、本点的线性回归方程. .第10页/共29页第十一页，共29页。用同样的方法我们可以用同样的方法我们可以(ky)(ky)推导出推导出n n个点的线性个点的线性回归方程的系数：回归方程的系数：niii 1n22ii 1x ynx yxnx牢记牢记(loj)公公式式第11页/共29页第十二页，共29页。特别提醒：在回归直线方程中，特别提醒：在回归直线方程中，b b是回归直线方程是回归直线方程的斜率，的斜率，a a是截距；是截距；b b的含义容易理解成增加的单位的含义容易理解成增加的单位数，而实际上，它代表数，而实际上，它代表x x每增加一个单位，每增加一个单位，y y的平均的平均增加单位数增加单位数

8、. .一般地说，当回归系数一般地说，当回归系数b b0 0时，说明时，说明两个变量呈正相关关系，它的意义两个变量呈正相关关系，它的意义(yy)(yy)是：当是：当x x每增加一个单位时，每增加一个单位时，y y就增加就增加b b个单位；当个单位；当b b0 0时，时，说明两个变量呈负相关关系，它的意义说明两个变量呈负相关关系，它的意义(yy)(yy)是：是：当当x x每增加一个单位时，每增加一个单位时，y y就减少就减少b b个单位个单位. .第12页/共29页第十三页，共29页。思考思考4:4:如果样本点只有两个，用最小二乘法得到如果样本点只有两个，用最小二乘法得到(d (d do)do)的

9、直线与用两点式求出的直线一致吗？的直线与用两点式求出的直线一致吗？提示提示(tsh):(tsh):是一是一致的致的. .与用两点式相同与用两点式相同(xin(xin tn tn).).第13页/共29页第十四页，共29页。例例1 1 在上一节练习在上一节练习(linx)(linx)中，从散点图可以看出，某中，从散点图可以看出，某小卖部小卖部6 6天卖出热茶的杯数（天卖出热茶的杯数（y y）与当天气温（）与当天气温（x x）之间是）之间是线性相关的线性相关的. .数据如下表数据如下表: :气温（气温（xi） 26261818131310104 4-1-1杯数（杯数（yi）杯）杯202024243

10、434383850506464(1)(1)试用最小二乘法求出线性回归方程试用最小二乘法求出线性回归方程. .(2)(2)如果某天的气温如果某天的气温(qwn)(qwn)是是33，请预测这天可，请预测这天可能会卖出热茶多少杯能会卖出热茶多少杯. . 第14页/共29页第十五页，共29页。解：（解：（1 1）由散点图可以看出，两个）由散点图可以看出，两个(lin(lin )变量变量是线性相关的是线性相关的. .648. 1-557.57557.57648. 1612866191031153353353353115335xyabyx于是，线性回归方程为于是，线性回归方程为所以所以由表格可得：由表格可

11、得：，35115xy =33351151 910633b1.64835351 286633a57.557由表格得：，所以第15页/共29页第十六页，共29页。（2 2）由上面的最小二乘法估计得出）由上面的最小二乘法估计得出(d ch)(d ch)的线性回归的线性回归方程知，当某天的气温是方程知，当某天的气温是33时，卖出热茶的杯数估计为时，卖出热茶的杯数估计为：57.557-1.64857.557-1.648(-3)63(-3)63(杯）杯）. . 第16页/共29页第十七页，共29页。1.1.利用最小二乘法利用最小二乘法(chngf)(chngf)估计时，首先要作出数据的散点估计时，首先要作

12、出数据的散点图，利用散点图观察数据是否具有线性关系图，利用散点图观察数据是否具有线性关系. .2.2.散点图呈现线性关系时，利用散点图呈现线性关系时，利用(lyng)(lyng)最小二乘法公式最小二乘法公式求出方程求出方程. .3.3.直线直线(zhxin)(zhxin)拟合只是拟合的方式之一，散点图呈拟合只是拟合的方式之一，散点图呈现其他的规律时，我们也可以利用其他的曲线进行拟现其他的规律时，我们也可以利用其他的曲线进行拟合合. .【说明说明】第17页/共29页第十八页，共29页。例例2 2 下面是两个下面是两个(lin )(lin )变量的一组数据：变量的一组数据：x x1 12 23 3

13、4 45 56 67 78 8y y1 14 49 916162525363649496464请用最小二乘法请用最小二乘法(chngf)(chngf)求出这两个变量之间的线性回求出这两个变量之间的线性回归方程归方程. .解解5.25, 5.4yx根据根据(gnj)上表数据，可以计算出：上表数据，可以计算出：其他数据如下表其他数据如下表第18页/共29页第十九页，共29页。i i1 11 11 11 11 12 22 24 44 48 83 33 39 99 927274 44 41616161664645 55 5252525251251256 66 6363636362162167 77 7

14、494949493433438 88 864646464512512合计合计36362042042042041 2961 296iiyxiy2ixix，第19页/共29页第二十页，共29页。思考思考(sko)(sko)：哪一：哪一个对呢？个对呢？y=-15+9x.y=-15+9x.第20页/共29页第二十一页，共29页。所以，利用最小二乘法所以，利用最小二乘法(chngf)(chngf)估计时，要先作出数据估计时，要先作出数据的散点图的散点图. .如果散点图呈现一定的规律性如果散点图呈现一定的规律性, ,我们再根据这个我们再根据这个规律性进行拟合规律性进行拟合. .如果散点图呈现出线性关系如果

15、散点图呈现出线性关系, ,我们可以用我们可以用最小二乘法最小二乘法(chngf)(chngf)估计出线性回归方程估计出线性回归方程; ;如果散点图呈如果散点图呈现出其他的曲线关系现出其他的曲线关系, ,我们就要利用其他的工具进行拟合我们就要利用其他的工具进行拟合. .第21页/共29页第二十二页，共29页。x0 01 12 23 3y1 13 35 57 7D D1.1.已知已知x x，y y之间的一组数据如下之间的一组数据如下(rxi)(rxi)表，则表，则y y与与x x的线性的线性回归方程回归方程y=a+bxy=a+bx必经过点必经过点 ( ) ( )A.A.（2 2，2 2） B. B

16、.（1.51.5，0 0）C.C.（1 1，2 2） D. D.（1.51.5，4 4）第22页/共29页第二十三页，共29页。A A第23页/共29页第二十四页，共29页。A A第24页/共29页第二十五页，共29页。4.4.某连锁经营公司所属某连锁经营公司所属5 5个零售店某月的销售额和利个零售店某月的销售额和利润额资料如下润额资料如下(rxi)(rxi)表：表：（1 1）画出销售额和利润额的散点图）画出销售额和利润额的散点图. .（2 2）若销售额和利润额具有相关关系，计算利润额）若销售额和利润额具有相关关系，计算利润额y y对销售额对销售额x x的线性回归方程的线性回归方程. .商店名称商店名称A AB BC CD DE E销售额（销售额（x x）/ /千万元千万元3 35 56 67 79 9利润额（利润额（y y）/ /百万元百万元2 23 33 34 45 5第25页/共29页第二十六页，共29页。i ix xi iy yi ix xi i2 2x xi iy yi i1 13 32 29 96 62 25 53 3252515153 36 63 3363618184 47 74 4494928285 59 95 581814545合计合计30301717200200112112（2 2）数据如下）数据如下(rxi)(rxi)表