华北电力大学工程电磁场6月17日

1、38 磁场力磁场力洛仑兹力洛仑兹力：运动电荷受到的磁场力运动电荷受到的磁场力dF = dqv B；安培力安培力：元电流：元电流Idl受到的磁场力受到的磁场力dF=Idl B（即为宏观的（即为宏观的洛仑兹力，当洛仑兹力，当qI，Idldqdl/dtdqv）。）。 借助磁场能量来计算磁场力。借助磁场能量来计算磁场力。对于恒定磁场，能量平衡方程为对于恒定磁场，能量平衡方程为dW = dgWm+Fdg 式中，式中，dW=Ikd k表示电源提供的能量，表示电源提供的能量，dgWm为广义坐标为广义坐标变化变化dg而引起的磁场能量增量，而引起的磁场能量增量，Fdg为在为在dg方向上，磁场力方向上，磁场力作的

2、功。作的功。常电流系统常电流系统（恒流源）（恒流源） m11122kngkkIkd WI ddW常量这表明电源提供的能量一半作为磁场能量的增量，另一这表明电源提供的能量一半作为磁场能量的增量，另一半作为克服磁场力的作功，即半作为克服磁场力的作功，即常量kIgWgFmdd常量常量kkIIggWdgWdFmm常磁链系统：常磁链系统：设定载流回路的磁链保持不变，设定载流回路的磁链保持不变， k =常量，常量，d k=0，dW=Ikd k=0 （外电源不提供能量）（外电源不提供能量）有有常量kWgFgmdd磁场力作功所需能量取自于系统磁场能量的减少。得磁场力作功所需能量取自于系统磁场能量的减少。得 常

3、量常量kkgWdgWdFgmm尽管上述计算方式不同，但其值相同，即尽管上述计算方式不同，但其值相同，即常量常量kkgWgWFmm（例（例3-26）：求图示电磁铁对衔铁的吸力。设铁心截面积为）：求图示电磁铁对衔铁的吸力。设铁心截面积为S，空气隙长度为，空气隙长度为l，并忽略空气隙处边缘效应，认为气隙，并忽略空气隙处边缘效应，认为气隙中磁场均匀分布。中磁场均匀分布。 图 电磁铁的起重力解解：（常磁链系统）应用虚位：（常磁链系统）应用虚位移法。由于铁磁材料的相对磁导移法。由于铁磁材料的相对磁导率远大于气隙，故该电磁铁系统率远大于气隙，故该电磁铁系统的磁场能量可近似认为存储在两的磁场能量可近似认为存储

4、在两气隙内，气隙内，lSSlBSlBW020202m22有限值0220221BHwm221022mBwHBB 22m00CWBFSlS 式中，负号表示磁场力的方向与气隙增加的方向相反，式中，负号表示磁场力的方向与气隙增加的方向相反，也就是说，磁场力是电磁铁作用于衔铁的吸力。也就是说，磁场力是电磁铁作用于衔铁的吸力。图 电磁铁的起重力第四章第四章 动态电磁场动态电磁场I：基本理论与准静态电磁：基本理论与准静态电磁场场41 动态电磁场的基本方程与边界条件动态电磁场的基本方程与边界条件时变电场和时变磁场是相互依存又相互制约的，这种相互作时变电场和时变磁场是相互依存又相互制约的，这种相互作用和相互耦合

5、的时变电磁场通常被称为用和相互耦合的时变电磁场通常被称为动态电磁场动态电磁场。当动态。当动态电磁场以电磁波动的形式在空间传播时，即被称为电磁场以电磁波动的形式在空间传播时，即被称为电磁波电磁波。 1. 动态电磁场的基本方程动态电磁场的基本方程tcDJHt BE0 BDEDHBEJc一般而言，反映媒质特性的三个参数一般而言，反映媒质特性的三个参数 、 和和 与动态电磁场的与动态电磁场的工作频率有关。如在工作频率有关。如在200MHz以下时，水的相对介电常数约为以下时，水的相对介电常数约为80，而在光频，而在光频(1015Hz)时则减小到时则减小到1.75。本书假设它们在一定。本书假设它们在一定频

6、率范围内均为常数。频率范围内均为常数。2动态电磁场的边界条件动态电磁场的边界条件类似于静态电磁场中边界条件的推导，只要类似于静态电磁场中边界条件的推导，只要 D/ t和和 B/ t在媒在媒质分界面上是有限的，其边界条件与静态电磁场的边界条件质分界面上是有限的，其边界条件与静态电磁场的边界条件相同。相同。 H1t -H2t= Ks ， en (H2 -H1) = KE1t=E2t ， en ( E2 - E1) = 0B1n=B2n ， en ( B2 - B1) =0D2n-D1n = ， en ( D2 - D1) =（1）媒质分界面上的边界条件：）媒质分界面上的边界条件：B=0，有，有B1

7、n= B2nH=Jc设分界面上存在面电流设分界面上存在面电流K=Kes(该面电流密度的单该面电流密度的单位矢量位矢量es=et en，且与矩形回路，且与矩形回路l符合右手定则符合右手定则) 11211HlttldHlHlK l H1t-H2t =KP1etK=KesB2,H2B1,H1l1l2en2l21在理想导体内，在理想导体内， 且且Jc是有限的，可知是有限的，可知E0。再由。再由 - - B/ t=E=0， D/ t=0。可见，在理想导体内也不存在随。可见，在理想导体内也不存在随时间变化的磁场和电场（退化为恒定电流场，即时间变化的磁场和电场（退化为恒定电流场，即静态电磁场静态电磁场）在理

8、想导体在理想导体(设为媒质设为媒质1)与介质与介质(设为媒质设为媒质2)交界面上的边界条件为交界面上的边界条件为 H2t =- K ， en H2 = KE2t= 0 ， en E2 = 0B2n= 0 ， en B2 =0D2n = ， en D2 =电力线垂直于理想导体表面（电力线垂直于理想导体表面（en E = 0），而磁力线沿着理），而磁力线沿着理想导体表面分布（想导体表面分布（en B =0）。）。 例例4-1：图示两无限大理想导体平板间的无源自由空间中，动态：图示两无限大理想导体平板间的无源自由空间中，动态电磁场的磁场强度为电磁场的磁场强度为H = ， 为常数。试为常数。试求：求：

9、(1)板间电场强度；板间电场强度；(2)两导体表面的面电流密度和电荷面密两导体表面的面电流密度和电荷面密度。度。 )cos(cosxtzdH0ye图 两无限大理想导体平板解解：(1)由麦克斯韦方程第一式，得由麦克斯韦方程第一式，得xHzH11tyzyxeeHE eeee1 ee1000 xtzdxtzddHdtxtzdHxtzdHddtxHzHEzxzxyzyx coscossinsinsincoscossin图 两无限大理想导体平板(2)由边界条件，在由边界条件，在z0的导体表面上的导体表面上xtH0 xzncoseHeHeKxtH0zncosDeDe在在zd的导体表面上的导体表面上xtH0

10、 xzncoseHeHeK)cos(xtH0znDeDe0esinsinecoscos xzHEztxztxddd0ecoscos()yHHztxd42 时谐电磁场时谐电磁场1时谐电磁场的复数表示时谐电磁场的复数表示在大量工程问题中，场源及其所产生的电场和磁场都随时间在大量工程问题中，场源及其所产生的电场和磁场都随时间作正弦变化。即使是非正弦的变化，也可通过傅立叶级数或作正弦变化。即使是非正弦的变化，也可通过傅立叶级数或傅立叶变换将其分解为随时间作正弦变化的分量的迭加来进傅立叶变换将其分解为随时间作正弦变化的分量的迭加来进行研究。行研究。随时间作正弦变化的时变电磁场简称为随时间作正弦变化的时变

11、电磁场简称为时谐电磁场时谐电磁场 rrerrerrerEmmmzzzyyyxxxtEtEtEtcoscoscos),(（三要素）（三要素） 是角频率，是角频率，Exm、Eym、Ezm及及 x、 y、 z 分别是电分别是电场强度在直角坐标系下的三个分量的振幅和初相位。场强度在直角坐标系下的三个分量的振幅和初相位。 采用相量表示法，上式可表示为如下复矢量采用相量表示法，上式可表示为如下复矢量(相量相量)，即，即)()()()(rerererEzmzymyxmxmEEE rjmmerxxxErE rjmmerryyyEE rjmmerrzzzEE 瞬时矢量被复矢量表示如下瞬时矢量被复矢量表示如下 t

12、ttjjme2ReeRe,rErErE rrerrerrerEmmmzzzyyyxxxtEtEtEtcoscoscos),(采用复矢量表示时谐电磁场后，麦克斯韦方程组可写为如采用复矢量表示时谐电磁场后，麦克斯韦方程组可写为如下复数形式（频域形式）下复数形式（频域形式）mcmmjDJHmmjBE0mBmmD不再含有场量对时间不再含有场量对时间t的偏导数，从而使时谐电磁场的分析得的偏导数，从而使时谐电磁场的分析得以简化。以简化。 例例4-2：写出与时谐电磁场对应的复矢量：写出与时谐电磁场对应的复矢量(有效值有效值)或瞬时矢量，或瞬时矢量，)sin()cos(xtExtEzzyymmeeEsin)c

13、oscos(sinz0 xexjHHj解解： j(x )ymj(x )zm2j(x )j(x )yzEEee22E ejE eyzyzE reeee )sinsin()coscos(sin)sincos()coscos(sin,ztxH22ztxH2tH00 x r2有损媒质的复数表示有损媒质的复数表示在实际中上，媒质非理想，一方面导体的电导率是有限的；在实际中上，媒质非理想，一方面导体的电导率是有限的；另一方面介质是有损耗的另一方面介质是有损耗的(如电极化损耗、磁化损耗、或欧姆如电极化损耗、磁化损耗、或欧姆损耗等损耗等)。对于时谐电磁场中介电常数为。对于时谐电磁场中介电常数为 的导电媒质，的

14、导电媒质， EDjDEHjjj这类有损媒质的欧姆损耗是以负虚数形式反映在媒质的构成这类有损媒质的欧姆损耗是以负虚数形式反映在媒质的构成方程中。方程中。类似地，为表征存在电极化损耗的有损电介质的极化性能可以类似地，为表征存在电极化损耗的有损电介质的极化性能可以定义如下定义如下复介电常数复介电常数： j为表征有损磁介质的磁化性能也可以定义如下为表征有损磁介质的磁化性能也可以定义如下复磁导率复磁导率： j通常的介电常数通常的介电常数表征电介质中的表征电介质中的电极化损耗电极化损耗通常的磁导率通常的磁导率 表征磁介质中的表征磁介质中的磁化损耗磁化损耗 在高频时谐电磁场以上参数通常是频率的函数在高频时谐

15、电磁场以上参数通常是频率的函数 当电介质同时存在电极化损耗和欧姆损耗时，其等效复介电当电介质同时存在电极化损耗和欧姆损耗时，其等效复介电常数可写为常数可写为 je为了表征电介质中损耗的特性，通常采用损耗角的正切为了表征电介质中损耗的特性，通常采用损耗角的正切 tan和和 是在时谐电磁场中表征电介质特性的两个重要参数。是在时谐电磁场中表征电介质特性的两个重要参数。 tan工程上，称工程上，称 1的媒质的媒质被称为良导体。在微波炉中，微波频率为被称为良导体。在微波炉中，微波频率为2.45GHz，面食的损，面食的损耗角的正切约为耗角的正切约为0.073，菜和肉的损耗角的正切更高，而包装用，菜和肉的损

16、耗角的正切更高，而包装用的聚苯乙烯泡沫材料的损耗角的正切仅为的聚苯乙烯泡沫材料的损耗角的正切仅为310-5，所以包装盒，所以包装盒中的食品得以加热，而包装盒几乎不从微波中获取能量。中的食品得以加热，而包装盒几乎不从微波中获取能量。 tantantantan43 电磁场能量电磁场能量 坡印廷定理坡印廷定理1坡印廷定理坡印廷定理电磁能量以电场和磁场的形式存储在场域空间中，导电媒质电磁能量以电场和磁场的形式存储在场域空间中，导电媒质吸收的电功率体现为焦耳热形式。吸收的电功率体现为焦耳热形式。动态电磁场的能量守恒关系可以由麦克斯韦方程组导出。在动态电磁场的能量守恒关系可以由麦克斯韦方程组导出。在单位体

17、积内，动态电磁场在导电媒质中消耗的电功率为单位体积内，动态电磁场在导电媒质中消耗的电功率为 E (H)cDDpEJEHEtt )()()(HEHEHEcDpEJEH(E)(EH)t H)(EtBHtDEH)(EE)(HtDEJEpce1111t2t2t2t2twttDDDDEEEEED1ED2 twttm21BHBHemwwtDBpEH(EH)(EH)tt emwwtcEHEJ 将上式两边对任意闭合曲面将上式两边对任意闭合曲面S包围的体积包围的体积V积分，并由散度定积分，并由散度定理，得理，得PWWdtddVdVwwdtdmeVVmeScJEdSHEPWWdtddSmeSHEemwwtDBpE

18、H(EH)(EH)tt PWWdtddSmeSHE令令S=EH，对上式分析可知，对上式分析可知，S(W/m2)表征了单位时间内穿表征了单位时间内穿过单位面积的电磁能量，即单位时间内穿过闭合面过单位面积的电磁能量，即单位时间内穿过闭合面S流入体积流入体积V的电磁能量等于该体积内电磁场能量的电磁能量等于该体积内电磁场能量W(=We+Wm)的增加的增加率和电磁能量的消耗率。率和电磁能量的消耗率。 上式反映了动态电磁场的能量守恒和功率平衡关系。上式又被上式反映了动态电磁场的能量守恒和功率平衡关系。上式又被称为称为坡印廷定理的积分形式坡印廷定理的积分形式，坡印廷定理的坡印廷定理的微分形式微分形式为为 c

19、JEHEmewwt2坡印廷矢量坡印廷矢量矢量矢量S不仅表征了穿过单位面积上的电磁功率，还确定地描不仅表征了穿过单位面积上的电磁功率，还确定地描述了该电磁功率流的空间流动方向。这一电磁功率流面密度述了该电磁功率流的空间流动方向。这一电磁功率流面密度矢量，被称为坡印廷矢量。矢量，被称为坡印廷矢量。 HES（W/m2） 3. 时谐电磁场时谐电磁场的坡印廷定理的坡印廷定理)j(DHEJEc导电媒质吸收的复功率体密度为导电媒质吸收的复功率体密度为E (H)cDDpEJEHEtt 时谐电磁场坡印廷定理的微分形式时谐电磁场坡印廷定理的微分形式 时谐电磁场坡印廷定理的积分形式时谐电磁场坡印廷定理的积分形式 )

20、()(DEHBJEHEjVcSdVjd)()(DEHBJESHE对于有损媒质对于有损媒质 V22222SdVEHjHEEd)()()(SHE欧姆损耗欧姆损耗媒质的电媒质的电极化损耗极化损耗媒质的磁媒质的磁化损耗化损耗磁场磁场(感性感性)无功功率无功功率电场电场(容性容性)无功功率无功功率在时谐电磁场中，定义复坡印廷矢量为在时谐电磁场中，定义复坡印廷矢量为HES其实部为有功功率密度矢量，虚部为无功功率密度矢量。其实部为有功功率密度矢量，虚部为无功功率密度矢量。 电磁功率流面密度矢量平均值电磁功率流面密度矢量平均值 T0Redttr,T1HESSav它是一个（空间上）有方向，（时间上）无相位的矢量

21、。它是一个（空间上）有方向，（时间上）无相位的矢量。 （例（例4-3）：直流电压源）：直流电压源U0经图示的同轴电缆向负载电阻经图示的同轴电缆向负载电阻R供供电。设该电缆内导体半径为电。设该电缆内导体半径为a，外导体的内、外半径分别为，外导体的内、外半径分别为b和和c。试用坡印廷矢量分析其能量的传输过程。试用坡印廷矢量分析其能量的传输过程。图 同轴电缆横截面中的E、H和S的分布解解：设同轴电缆为理想导体，内导体电位为：设同轴电缆为理想导体，内导体电位为U0，电流，电流I=U0/R沿沿z轴方向流动；外导体电位为零，电流与内导体电流轴方向流动；外导体电位为零，电流与内导体电流反向。可得同轴电缆内外

22、电、磁场分别为反向。可得同轴电缆内外电、磁场分别为c0cbbcb1R2UbaR2Ua0Ra2Uc0cb0baabUa00222200200eeeH , eEln（例（例2-9） （例（例3-7） 图 同轴电缆横截面中的E、H和S的分布ze HES2201abR2Uln其余各处均为零其余各处均为零 对同轴电缆截面积分得同轴电缆传输的功率为对同轴电缆截面积分得同轴电缆传输的功率为 RUdabRUddPbazS202002ln22eSSS与电路理论获得的结果相同。理想导体内部传输功率为与电路理论获得的结果相同。理想导体内部传输功率为0。 n讨论讨论：从以上例题，坡印廷矢量仅存在于同轴电缆的内外导：从

23、以上例题，坡印廷矢量仅存在于同轴电缆的内外导体之间的空间，且垂直于体之间的空间，且垂直于E和和H组成的平面。这说明电磁能组成的平面。这说明电磁能量是以电磁场方式通过空间传输给负载的，而不是象人们直量是以电磁场方式通过空间传输给负载的，而不是象人们直观臆断的那样是以电流为载体通过导体传送给电阻的。应指观臆断的那样是以电流为载体通过导体传送给电阻的。应指出，导体的作用仅在于建立空间电磁场、并从电源定向导引出，导体的作用仅在于建立空间电磁场、并从电源定向导引电磁能量输入负载。电磁能量输入负载。44 电磁位电磁位1电磁位的引入电磁位的引入由麦克斯韦方程的由麦克斯韦方程的B=0，定义动态矢量位，定义动态

24、矢量位A ABE=- B/ t 0)(tAEt AEA和和 的单位分别为韦的单位分别为韦/米米(Wb/m)（Tm）和伏）和伏(V)，上述定，上述定义的位函数组义的位函数组A 被称为动态电磁场的被称为动态电磁场的电磁位电磁位。 ,ADBHE2洛仑兹规范洛仑兹规范BA ? A散度规范散度规范 HBHAtcEJAAAA2tcEJAA2222ttcAJAAtAE 为唯一地确定为唯一地确定A，还必须规定，还必须规定A的散度。的散度。 cttJAAA)(222tcEJAtAEDcttJAAA)(222)(2At对对A的散度规范不同，方程组的形式也将不同。如取库仑规范，的散度规范不同，方程组的形式也将不同。

25、如取库仑规范，尽管上述标量方程可以转化为简单的泊松方程，但上述矢量方尽管上述标量方程可以转化为简单的泊松方程，但上述矢量方程中依然存在着程中依然存在着A与与 的耦合。为去掉的耦合。为去掉A与与 的耦合，让上述矢量的耦合，让上述矢量方程中梯度项为零方程中梯度项为零 。t ActJAA222222t洛仑兹规范洛仑兹规范 电磁位的非齐次波动方程，又称为电磁位的非齐次波动方程，又称为达朗贝尔方程达朗贝尔方程 cttJAAA)(222)(2At对于静电场和静磁场对于静电场和静磁场 022tA022tcJA22ctJAA222222t3非齐次波动方程的复数形式非齐次波动方程的复数形式对于时谐电磁场，采用复

26、矢量表示法，电磁位的非齐次波对于时谐电磁场，采用复矢量表示法，电磁位的非齐次波动方程的复数形式为动方程的复数形式为ckJAA2222kkk称为波数或者相位系数，单位为弧度称为波数或者相位系数，单位为弧度/米米(rad/m) 电磁位的非齐次波动方程的复数形式又被称为电磁位的非齐次波动方程的复数形式又被称为非齐次亥姆霍兹方程非齐次亥姆霍兹方程 ctJAA222222t洛伦兹规范的复数形式：洛伦兹规范的复数形式： jA对于非齐次波动方程，无论是它的时域形式，还是它的频对于非齐次波动方程，无论是它的时域形式，还是它的频域形式，在动态电磁场问题中占有重要的地位。可以说，域形式，在动态电磁场问题中占有重要

27、的地位。可以说，动态电磁场的产生、辐射、传播和接收的分析都是围绕非动态电磁场的产生、辐射、传播和接收的分析都是围绕非齐次齐次(或齐次或齐次)波动方程的求解进行的。波动方程的求解进行的。t A4电磁位的积分解电磁位的积分解1vctvJAA2222122221tv在时变场的无源区域，达朗贝尔方程变为在时变场的无源区域，达朗贝尔方程变为 012222tvAA012222tvctJAA222222t场域场域V 中体电荷中体电荷 (r ,t)在场点在场点r处产生的动态标量位为处产生的动态标量位为 VVdt41trrrrrr|,类比于静态电磁场类比于静态电磁场 VVdrrrr41观察上述积分解可见，在动态

28、电磁场中动态观察上述积分解可见，在动态电磁场中动态标量位的积分解与静电场中电位的积分解形标量位的积分解与静电场中电位的积分解形式相似，但在时间上是滞后的。式相似，但在时间上是滞后的。为说明其物理含义，设在坐标原点有一个按图示随时间变为说明其物理含义，设在坐标原点有一个按图示随时间变化的点电荷化的点电荷q(t)。不难看出，给定点的电位不是瞬间建立起。不难看出，给定点的电位不是瞬间建立起来的。来的。只有当只有当 时，才不为零。也就是说，在动态电磁场时，才不为零。也就是说，在动态电磁场中，中，q(t)在空间在空间r点处产生的电位，需要一个时间点处产生的电位，需要一个时间 的的传播过程，其传播速度为传播过程，其传播速度为 。这表明时变点电荷产生的电位是以点电荷为中心、幅值与这表明时变点电荷产生的电位是以点电荷为中心、幅值与传播距离成反比的球面波，其波速由介质的介电常数和磁导传播距离成反比的球面波，其波速由介质的介电常数和磁导率确定。率确定。 /rt /rt 位于原点的时变电荷位于原点的时变电荷q产生的动态标量位为产生的动态标量位为r4rtqt,