二单元方程与不等式考点精讲【2021中考数学一轮考点系统复习】

1、第二单元 方程与不等式考点精讲【202中考数学一轮考点系统复习】第6讲一次方程（组）-= CCC考点解读m一元一次方程及解法1.等式的性质:基本性质数学表达在解方程中的通用性质1等式两边加（或减）同 一个数（或式子），结 果仍相等.如果a=b,那么a士c 二b±c.移项性质2等式两边乘同一个数 或除以同一个不为0 的数，结果仍相等.如果a=b,那么ac 三be：如果a=b（c W0）,那么翔三5去分母，系数化为12.一元一次方程：只含有二个未知数（元），且未知数的次数是L的整式方程，叫做一元一次方程.3 .方程的解：使方程等号左右两边相笺的未知数的值叫做方程的解.4 . 一元一次方程

2、的解法：步骤注意事项去分母（1）不能漏乘不含分母的项；（2）分子是一个式子时，去分母后加插号.去括号（1）括号前的数要乘括号内的每一项；（2）括号前是负号时，去括号后原括号内的每一项都要变号.移项移项要改变符号.合并同类项系数相加时，不能漏掉符号.系数化为1分子、分母不能颠倒.基础小练1.若ma=mb,则下列等式不一定成立的是(A)1 1A. a=bB. ma-6=mb -6C. -ma=-D. ma + 8=mb + 82. (2019 南充)若关于x的一元一次方程2x，t+m=4的解为x = L则a+m的值为(C)A. 9B. 8C. 5D. 4X 1 Y3.解下列方程：三二一24 乙*解

3、：去分母，得2（x+D-8 = x.去括号，得2x+2-8=x.移项，得2xx=8-2.合并同类项，得x=6.僚二元一次方程（组）及解法1 .二元一次方程（组）的概念及解法:二元一次方 程的概念含有理个未知数,并且含有未知数的项的次 数都是I的整式方程叫做二元一次方程.二元一次方 程组的概念有两个未知数,含有每个未知数的项的次数都是1.并且一共有两个方程.像这样的方程组叫做MB二元一次方程蛆.二元一次方 程组的解二元一次方程组的两个方程的公共解.叫做 二元一次方程组的解.二元一次方 程组的解法消元法最佳适用情况具体方法代入 消元法方程组中一个方 程的常数项为0 或某一个未知教 的系数为士1 时

4、.将一个方程中的一 个未知数用含有另 一个未知数的代数 式表示出来，代入另 一个方程中，化二元 一次方程组为一元 一次方程求解.加减 消元法适用于方程组中 两个方程同一未 知数的系数相同 或互为相反业 时.将方程组中同一未 知数的系数变为相 同或互为相反数,两 个方程相加或相减. 化二元一次方程组 为一元一次方程 求解.2.二元一次方程（组）解的运用:x=m»若 是关于x, y的二元一次方程ax+by=O的解，则am+bn=O,要注意二元一次方程ax+by=O的 ly = n解不唯一;ajn+bm=O, 则a：m+b：n = O.x=m»aix+hy=O,若 是关于x, y

5、的二元一次方程组的解,tay=nla：x+by=0基础小练4 .若，工一：是关于x, y的二元一次方程ax 3y=1的解，则a的值为7. ly=2-5 .若 x'+2ysi =6 是二元一次方程，则 m=L n=0.（2x + y=3,6 .用加减消元法解方程组|xy=4,适合的方法是伪）A.一B.+C.X2+D.X2十7 .解下列方程组:fy=2x3,I3x + 2y=8：解：将代入中，得3x+2(2x-3)=8, 解得x=2.把x=2代入中，得y=Lx=2,，这个方程组的解是 ly=i.x+2y=3,(2)'J 3x 2y=5.解：+，得4x=8.解得x=2.将x=2代入中

6、，得2+2y=3,解得y=J.x=2,，这个方程组的解是1 y=5,一次方程(组)的应用8 .列一次方程(组)解应用题的一般步骤：(1)审：审清题意和数量关系，弄清已知量和未知量，明确各数量之间的关系;(2)设：设关犍未知数(可设直接或间接未知数)：(3)列：根据题意寻找频量关系列方程(组),注意量的单位要统一：(4)解：解方程(组)：(5)验：检验所解答案是否正确，是否符合题意和实际情况；(6)答：规范作答，注意单位名称.9 .常见的应用题类型及基本数量关系：(1)等积变换问题：根据形体面积或体积的不变性列方程(组)求解即可：(2)和差倍分问题：较大量=较小量+多余量，总量=倍数X单份的量：

7、(3)行程问题(匀速运动)：相遇问题(同时出发)：S 甲+s =t 甲=1A：甲相遇处 乙追及问题：同时不同地：s «P = S乙+Sac, t M« = t乙： 八S乙"一乙"忒处同地不同时：甲出发t小时后乙出发，在B处乙追上甲，s »p=s z., t甲=3t + t乙；甲力，B乙相遇处航行问题：顺水速度=静水速度+水流速度；逆水速度=静水速度一水流速度.(4)工程问题：工作量未定时，可设工作量为单位1.总工作量=工作效率X工作时间；总工作量=各单位工作量之和；工作效率=工作天数.(5)购买、分配类问题：甲的量+乙的量=总量(或根据甲、乙的

8、数量关系列等式)；甲的量X甲的单位费用+乙的量X乙的单位费用=总费用；付义甲+ bX乙=m,若题干中明确给出则直接设甲、乙为未知数求解.cX 甲+ dX 乙=n,打折销售问题：利润=售价一成本；售价=原价(标价)X折扣，如打八折，折扣就是80乐利润率=舞乂100猊(7)数字问题：数字问题常间接设未知数，如十位、个位上数字分别为a, b的两位数为10a+b：百位、十位、个位上数字分别为a, b, c的三位数为G100a + 10b + c.(8)比赛积分问题：总场数=胜场数+负场数+平场数：总积分=胜场积分+负场积分+平场积分.(9)鸡兔同笼问题：鸡的头数+兔的头数=总头数：鸡脚的总数+兔脚的总

9、数=总脚数.(10)月历问题：月历中的数量关系：每一横排相邻两个数字相差1：每一竖排相邻两个数字相差7.月历中矩形框内的数量关系：落在矩形框内的9个数字，中间一个数字是这9个数字之和的平均值; 每一横排、竖排、对角线，中间的数字都是它们的平均值.基础小练8. (1)两地相距600千米，甲、乙两车分别从两地同时出发相向而行，甲车比乙车每小时多走10千米，4小时 后两车相遇，则乙车的速度是过千米/小时：(2)甲、乙两人练习跑步，如果甲让乙先跑10米，甲跑5秒就追上乙.如果甲让乙先跑2秒，那么甲跑4秒就(5x -5y=10追上乙，若设叭乙每秒钟分别跑X米和y米，列出的方程组应鼠一)=2y：(3)一架

10、飞机顺风飞行,每小时飞行500 km,逆风飞行,每小时飞行460 km,假设飞机本身的速度是x km/h,x + y=500风速是y,依题意列出二元一次方程组是二小9. 一项工程甲单独做需要40天，乙单独做需要60天，为了缩短工期，决定两队合作完成，但甲队因有事需 V V 1 Q 晚来10天施工，那么这项工程需要多少天才能完成？设这项工程需要X天才能完成，则可列方程：6土三百=三1.10. (1) 一件标价为300元的棉袄，按七折销售仍可获利20元.设这件棉袄的成本价为X元，根据题意列方程: 300X0. 7 工= 20.(2)已知A, B两件服装的成本共500元，鑫洋服装店老板分别以30%和

11、20%的利润率定价后进行销售，该服装 店共获利130元，问A, B两件服装的成本分别是多少元？解：设A服装的成本为x元，根据题意，得30%x+20%(500-x)=130.解得x=300.贝 IJ 500 - x=200.答：A, B两件服装的成本分别是300元、200元.一叫秦茜专栏文化背景九章算术是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架，它的代数成就主要包括开方术、 正负术和方程术，其中，方程术是九章算术最高的数学成就，书中收集了 246个与生产、生活实践有联系的应 用问题.中考真题对接(2020 成都)九章算术是我国古代一部著名的算书，它的出现标志着中国古代数学形成了完整

12、的体系,其 中卷八方程七中记载：“今有牛五、羊二，直金十两.牛二、羊五，直金八两.牛、羊各直金几何？ ”题目大意 是：5头牛、2只羊共值金10两.2头牛、5只羊共值金8两.每头牛、每只羊各值金多少两？设1头牛值金x两，|5x+2y=101只羊值金y两，则可列方程组为二一17 2x±5y=8第7讲一元二次方程CCC考点解读一元二次方程的概念及解法1. 一元二次方程的概念：只含有二个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程，叫做一元二次方程.它 的一般形式是ax'+bx+c = 0(aW0).【注意】 对于方程ax；+bx + c = 0,只有当aWO时才是一元二次方程.如果说a

13、/+bx+c = O是一元二次 方程，那么必然隐含着aWO.2. 一元二次方程的解法：解法使用情况方法步骤及注意事项直接开 平方法ax:+c = 0(aW0, ac<0)： (x+m)2=n(n0)口诀：方程没有一次项，直接 开方最理想.移项、二次项系数化为1,得卡=一一，两边开方，得x=± aa/1；两边开方,得x+m=±*,即 x=±y/n-m.续表因式 分解法方程左边能分解为两个因式的 积，右边等于0.一移：方程的右边=蜒：二分：方程左边因式分解：三化：方程化为两个一元一次方 程：四解：写出方程的两个解.公式法所有一元二次方程.求根公式为x=©

14、;2a在使用求根公式时：(1)要先将一元二次方程化为一 般式：(2)确定a, b, c的值时要带符 号.配方法所有一元二次方程，一般用于： (1)二次项系数化为1后，一次 项系数是偶数；(2)各项的系数较小且便于配 方.(1)把二次项系数化为1，即方 程两边同除以二次项系数： (2)把常数项移到方程的另一边，即 x+px= -q；(3)在方程两边同时加上一次项 系数一半的平方，把方程整理成(工+9'= - q+弓尸的形式； 乙乙(4)运用直接开平方法解方程.基础小练1 .若(a-3)* ,+2x=8是关于x的一元二次方程，则a=0.2 .将一元二次方程x二一6x+5=0配方后，原方程变

15、形为(B)A. (X6):=5B. (X3):=4C. (x-6)2=4 D. (x-3)2=53 .用合适的方法解下列方程：(l)x2-10x4-18=0：一+3 - 2V5x=0：(3) (x3): 16x:=0：(4) (x+1) (x2) =x2：(5) (x2) (3x5) =1.解：(l)x，=5+巾,右=5一 (2)x1=Xc=/3.3(3)X!= -L x：=t.(4)x,=0, x：=2.- ll+VHIL 正(0)Xi=丁，X： = 丁.66【易错提示】 对于方程两边含有相同因式的一元二次方程，应将方程化为一般式求解，不能直接约去公因式, 否则丢根.一元二次方程根的判别式1

16、 .根的判别式：一元二次方程a+bx+c = 0(aW0)的根的情况可由氏二皿来判定，我们将b二一4ac称为 根的判别式.2 .判别式与根的关系：(Db'-4ac>0=方程有两个丕啦的实数根：b4ac = 0=方程有两个刨避的实数根；b-4ac<0=方程颔殳有实数根.基础小练4.关于x的一元二次方程(k-l)£+4x + l = 0.(1)若有两个相等的实数根，则k的值是热若有两个不相等的实数根，则k的取值范围是k<5且kWh(3)若没有实数根，则k的取值范围是k>5：(4)若有实数根，则k的取值范围是kW5且kWl.【变式提问】 若关于x的方程(k-

17、l)x:+4x+l = 0有实数根，则k的取值范围是kW5.【易错提示】 在使用根的判别式解决问题时，如果二次项系数中含有字母，那么要加上二次项系数不为。这 个限制条件.一元二次方程根与系数的关系当b-4ac'0时，一元二次方程ax'+bx+c=O行两个实数根X1, x：,则有：x：+x：=, XiX°=磅.一元二次方程的解与系数a, b, c的关系(1)当 c=0 时，方程 ax'+bx + c = O(aWO)必有一解为 x = 0：(2)当 a+b+c = O 时，方程 axybx+c=O (aWO)必有一解为 x=l：当a-b+c=O时，方程axybx

18、+c=O(aWO)必有一解为x=-l.一元二次方程的应用常见类型及其关系式1 .增长率问题：设基础量是a,每次增长的百分率为x,则第一次增长后为(gh(l + x)；第二次增长后为俺(1+x尸.若增长两 次后的量为b,则有(l+x)' = b.2 .面积问题：如图1,设空白部分的宽为X,则S阴影=酗2心此组J如图2、图3、图4,设阴影道路的宽为x,则S空白=(§)(a-x)(bf)；图2图3图4如图5,长为a,宽为b的矩形ABCD的四个角都剪去一个边长为x的正方形后做成一个无盖的盒子，则该盒子 的底面积 S=)(a-2x) (b2x)：m x如图6,靠墙围篱笆，篱笆总长度为如

19、平行于墙的一边长为工，则篱笆所闱成的而积s=(a.干.基础小练5 . (1)某药品经过两次降价，每瓶零售价由100元降为81元.已知两次降价的百分率都为x,那么x满足的方 程是 100(1 - xT=81；(2)某机械厂七月份生产零件100万个，九月份生产零件196万个，设该厂八、九月份平均每月的增长率为x, 则x满足的方程是100(l+x)s=196.6 .如图，在长60 m、宽40 m的矩形花园中，欲修宽度相等的观赏路(如阴影部分所示)，要使观赏路面积占总 而积的总，则路宽x(m)应满足的方程是(40 2x) (603工)=(1 一书><60X40.7 .春节期间x个老同学聚会

20、.(1)若每两个人都握一次手，所有人共握手28次，则所列方程为3(X1)=28；(2)若每人给其他成员赠送一张贺卡，所有人共送贺卡56张，则所列方程为x(x-l)=56.8 .新世纪百货大楼“宝乐”牌童装平均每天可售出20件，每件盈利40元.为了迎接“六一”儿童节，商场 决定采取适当的降价措施.经调查，如果每件童装降价2元，那么平均每天就可多售出4件.要想平均每天销售这 种童装盈利1 200元，则每件童装应降价多少元？设每件童装应降价x元，可列方程为(40-x) (20+,X4)=L200.重二点选二:重难点 一元二次方程根的判别式及根与系数的关系(2020 随州)已知关于x的一元二次方程/+

21、(2m+l)x+m-2 = 0.(1)求证：无论m取何值，此方程总有两个不相等的实数根.(2)若方程有两个实数根x, x2,且x,+?+3x的=1,求m的值.【思路点拨】(1)根据根的判别式得出A = (2m+1尸一 4XlX(m-Gudm'+g。，据此可得答案：(2)根据根 与系数的关系得出x，+x,=-(2m+D, xR=m-2,代入刈+先+3工凶=1得出关于m的方程，解之可得答案.【自主解答】 解:(1)证明：. = (2m+l妙-4XlX(m-2)= 4nf+4m+1 - 4m+8= 4nf+9>0,无论m取何值，此方程总有两个不相等的实数根.(2)由根与系数的关系，得X

22、i+x2=(2m+l), XiX：=m2.由 Xi+x：+3xiX：= 1 得一(2m+l) +3(m2) =1.解得m=8.方法指导1 .判断一元二次方程根的情况，要明确a, b, c的值，然后比较b-4ac与0的大小.2 .利用根与系数的关系解决有关代数式的问题，一般是通过变形将代数式转化为含有r+x:与x凶的式子. 常见的变形有： x： + x：=(Xi + x：)： 2x!Xc：工+工Xi XcXiX2®(xix2)s= (xi+x-)3-4X1X2；（Xi+1）（X：+1） =X&X：+（Xi + Xo） +1：Xi , Xc x： + x：（X, + xD &qu

23、ot; -2X1X：XiX2x： =y1 （xi+x：） -4xiX2.««就叫素养专葩“）文化背景古希腊数学家丢番图在公元250年前在算术中就提出一元二次方程的问题，不过当时人们还没有找到一元 二次方程的求根公式，只能用图解法求解，在欧几里得的几何原本中，就给出了形如£+ax=b二的方程的图解 法.中考真题对接1.（2018 嘉兴）欧几里得的原本记载,形如必+ax=b'的方程的图解法是：画-ABC,使NACB=90'，BC=4 AC=b,再在斜边AB上截取BD=5,则该方程的一个正根是A. AC的长B. AD的长C. BC的长D. CD的长文化背

24、景赵爽是中国古代对数学定理和公式进行证明与推导的最早的数学家之一.他在周髀算经书中补充的“勾股 圆方图及注”和“日高图及注”是十分重要的数学文献.在“勾股圆方图及注”中，他提出用弦图证明勾股定理和 解勾股形的五个公式：在“日高图及注”中，他用图形面积证明汉代普遍应用的和差公式，赵爽的工作是带有开创 性的，在中国古代数学发展中占有重要地位.中考真题对接2. （2019 宁夏）你知道吗，对于一元二次方程，我国古代数学家还研究过其几何解法呢！以方程x'+5x-14 =0即x（x+5） =14为例加以说明.数学家赵爽（公元34世纪）在其所著的勾股圆方图注中记载的方法是：构 造图（如下而左图）中

25、大正方形的面积是（x+x + 5尸，其中它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即4 X14 + 5二，据此易得x=2.那么在下面右边三个构图（矩形的顶点均落在边长为1的小正方形网格格点上）中，能够 说明方程x'-4x-12=0的正确构图是.（只填序号）第8讲分式方程etc考/献读分式方程及解法1 .分式方程的概念：分母中含有未知数的方程叫做分式方程.2 .分式方程的解法：转化求解（1）基本思路：分式方程基里整式方程检验得解解分式方程的一般步骤：步骤具体做法易错提示去分母方程两边同乘最简公分母,约去分母， 化为整式方程.去分母时，不要漏乘常数项.求解求出整式方程的解.检验把整式方

26、程的解代入最简公分母，若结果 不为零，则是原分式方程的解；若结果为 零，则不是原分式方程的解.求出解后要记得检验.3 .分式方程的增根：分式方程的增根是在去分母时产生的，它有两个特点：(D增根是去分母后所得整式方程的解；(2)增根是使原方程中各分式的最简公分母为色的未知数的值.4 .分式方程无解的两种情况：(1)分式方程化为整式方程后，整式方程无解，所以分式方程无解：(2)分式方程化为整式方程后，整式方程的解是分式方程的增根，所以分式方程无解.基础小练1 .下列方程中，不是分式方程的是(C)A. -=0xD.1x+32 .已知关于x的分式方程=t=1.若此分式方程有增根，则a的值是二2；(2)

27、若此分式方程的解是正数，则a的取值范围是aV 1且aW-2. x-1-l43 .解分式方程：=1.X11-x解：方程的两边同乘(x-l)(x+l),得(x+l):-4= (x1) (x+l).解得x=l.检验：当 x=l 时，(x-1) (x+l)=0.，原方程无解.分式方程的应用1 .列分式方程解应用题的步骤与列一次方程(组)解应用题不一样的是：要检验西次，既要检验求出来的解 是否为原方程的解，又要检验是否符合题意.2 .常见类型及关系式：(1)行程问题:相同路程相同路程慢速快速=时间差:工程问题:工作总量工作总量原工作效率新工作效率叶向产甲工作总量乙工作总量问芈 一时间差'甲工作效

28、率一乙工作效率一时间差;购买(盈利)问题.基础小练4 .甲、乙两人同时从A地出发，骑自行车行30千米到B地，甲比乙每小时少骑行3千米，结果乙先到40分 钟.若设乙每小时骑行x千米，则可列方程当一双=|.5 .某校美术社团为练习素描，他们第一次用120元买了若干本资料，第二次用240元在同一商家买同样的资 料，这次商家每本优惠4元，结果比上次多买了 20本，求第一次买了多少本资料？若设第一次买了 x本资料，列 _wh120 纯方程7c铲至6 .王师傅检修一条长600米的自来水管道，计划用若干小时完成，在实际检修过程中，每小时检修的管道长 度是原计划的L2倍，结果提前2小时完成任务.则王师傅原计划

29、每小时检修管道辿米.第9讲 一元一次不等 式（组）不等式的概念及性质性质1如果 a>b,那么 a±c®>b±c.性质2a b如果a>b, c>0,那么ac)bc (或不工).性质3如果a>b, c<0,那么ac<bc (或冠K?).一c c基础小练1.（D已知a<b,则下列式子不成立的是A. a+lb+lB. 3a<3ba bD.如果cVO,那么-<- C C(2)若xVy,且(a3)x> (a3)y,则a的取值范围是a<3.元一次不等式（组）的解法1.解一元一次不等式的一般步骤:一般步骤解集

30、在数轴上的表示总结去分母，去 括号，移项， 合并同类 项，系数化 为1* i ,；方向：小于向 左,大于向右； 边界；y»实心， 空心.”>以nW。11110 1 j：a2.解一元一次不等式组的一般步骤:解法步骤(1)分别求出不等式组中各个不等式的豌递；(2)将每个不等式的解集在同一个数轴上爵出 来，找出它们的公共部分;(3)根据公共部分写出不等式组的解集，如果没 有公共部分，那么不等式组毡.解集的类 型及其在 数轴上的 表示S>a)类型解集在数轴 上的表示确定解集 的口诀解集_r>aLr>6ab同大取大/>/?_rVa jr<ba同小取小/a.i

31、 >a x<b1_ a大小小大 中间找 aVsrVbjc<Za x>b-!广大大小小 找不到无解3.求不等式组解集中整数解的方法：先将不等式组的解集表示在数轴上，如图所示:-10 12-10 12-5v 1 *图I图2图3(1)如图I, 解集的端点都是空心圆圈，即端点值取不到，整数解只能取0, 1：(2)如图2, 解集的端点都是实心圆点，即端点值可以取到，I.整数解取-1, 0, 1, 2：(3)如图3,虽然端点一彳处是实心圆点，但是一,不是整数，J整数解取)，1，2.【温馨提示】 求不等式组的正整数解、负整数解等特殊解时，可先求出不等式组的解集，再从中找出所需要 的特

32、殊解.基础小练2.不等式2 - 3xV8的解集为-2； 不等式梳一 1W一的解集为x4.Ix4+3x,请结合题意填空，完成本题的解答.1 3 (X1) <6x.(1)解不等式，得xW2：(2)解不等式，得x>7：把不等式和的解集在数轴上表示出来：«1119-3-2-10123(4)原不等式组的解集为一"xW2；(5)不等式组的整数解为0, 1, 2.【易错提示】(D去分母时，不要漏乘不含分母的项：(2)去分母时，分子要用括号括起来；(3)系数化为1 时，注意系数为负时，要改变不等号的方向.x>3,4 .已知不等式组： fcx<m.若此不等式组有解，则m的取值范围是m>3；(2)若此不等式组无解，则m的取值范围是m3;_若此不等式组恰有3个整数解，则m的取值范围是6<m7.元