会求函数的单调区间其中多项式函数一般不超过三次实用教案

1、第1页/共58页第一页，共59页。 考纲解读(ji d) 1了解函数单调性和导数的关系，能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次) 2了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数一般不超过三次)；会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数一般不超过三次) 3会利用导数解决某些实际问题第2页/共58页第二页，共59页。 考向预测 1利用导数研究函数的单调性、极值、最值以及解决生活中的最优化问题，已成为近几年高考炙手可热的考点. 2选择题、填空题，侧重于利用导数确定函数的单调性和极值；解答( jid)题，侧重于

2、导数与函数、解析几何、不等式、数列的综合应用，一般难度较大，属中高档题第3页/共58页第三页，共59页。第4页/共58页第四页，共59页。 知识梳理 1函数的单调性 在(a，b)内可导函数f(x)，f(x)在(a，b)任意子区间内都不恒等于(dngy)0. f(x)0f(x)为； f(x)0f(x)为 2函数的极值 (1)判断f(x0)是极值的方法 一般地，当函数f(x)在点x0处连续时， 如果在x0附近的左侧 ，右侧，那么f(x0)是极大值；增函数减函数(hnsh)f(x)0f(x)0第5页/共58页第五页，共59页。 如果在x0附近的左侧 ，右侧，那么f(x0)是极小值 (2)求可导函数极

3、值的步骤 求f(x)； 求方程的根； 检查f(x)在方程的根左右两侧值的符号(fho)如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得f(x)0f(x)0f(x)0极大值极小值第6页/共58页第六页，共59页。 3函数的最值 (1)在闭区间a，b上连续的函数f(x)在a，b上必有最大值与最小值 (2)若函数f(x)在a，b上单调递增，则为函数的最小值，为函数的最大值；若函数f(x)在a，b上单调递减，则为函数的最大值， 为函数的最小值 (3)设函数f(x)在a，b上连续，在(a，b)内可导，求f(x)在a，b上的最大值和最小值的步骤如下： 求f(x)在(a，b

4、)内的； 将f(x)的各极值与比较(bjio)，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值f(a)f(b)f(a)f(b)极值(j zh)f(a)，f(b)第7页/共58页第七页，共59页。 A B C D 答案B 解析( ji x)对于，f(x)在原点附近为增函数，f(x)0，而图像中当x0时，f(x)0，一定不正确；对于，同理，导函数开始应在x轴上方，一定不正确，故选B.第8页/共58页第八页，共59页。 2已知函数f(x)x3px2qx的图像(t xin)与x轴切于(1,0)点，则f(x)的极大值、极小值分别为() 答案A第9页/共58页第九页，共59页。 解析( ji x)f(x)3x

5、22pxq 由f(1)0，f(1)0得第10页/共58页第十页，共59页。 3设aR，若函数(hnsh)yexax，xR有大于零的极值点，则() Aa1 答案A第11页/共58页第十一页，共59页。 4函数(hnsh)yax3x在R上是减函数(hnsh)，则() 答案D 解析y3ax21， 函数(hnsh)yax3x在R上是减函数(hnsh)， 3ax210在R上恒成立，a0.第12页/共58页第十二页，共59页。 5函数f(x)x315x233x6的单调(dndio)减区间为_ 答案(1,11) 解析本题主要考查求导公式和单调(dndio)区间 f(x)3x230 x333(x11)(x1)

6、， 由(x11)(x1)0得1x11 f(x)的单调(dndio)减区间为(1,11)第13页/共58页第十三页，共59页。第14页/共58页第十四页，共59页。 解析本题主要考查了导数在实际问题中的应用，求解的关键在于根据条件正确地建立目标函数，进而利用(lyng)导数工具求函数的最值，重点考查了考生的建模能力和运算能力 如图，设ADx(0 x1或x0， 当1x1时，f(x)0， 函数(hnsh)f(x)在(，1)和(1，)上为增函数(hnsh)，在(1,1)上为减函数(hnsh)， 当x1时，函数(hnsh)取得极大值f(1)1； 当x1时，函数(hnsh)取得极小值f(1)1.第19页/

7、共58页第十九页，共59页。第20页/共58页第二十页，共59页。 例1已知函数f(x)x3ax1. (1)若f(x)在实数集R上单调递增，求实数a的取值范围； (2)是否存在实数a，使f(x)在(1,1)上单调递减(djin)？若存在，求出a的取值范围；若不存在，说明理由； (3)证明：f(x)x3ax1的图像不可能总在直线ya的上方 分析(1)求f(x)转化成恒成立问题 (2)假设存在a，求出a值进行检验第21页/共58页第二十一页，共59页。 解析(1)由已知f(x)3x2a， f(x)在(，)上是单调(dndio)增函数， f(x)3x2a0在(，)上恒成立， 即a3x2对xR恒成立

8、3x20，只需a0， 又a0时，f(x)3x20， 故f(x)x3ax1在R上是增函数，则a0. (2)由f(x)3x2a0在(1,1)上恒成立， 得a3x2，x(1,1)恒成立 1x1，3x23，只需a3.第22页/共58页第二十二页，共59页。 当a3时，f(x)3(x21)， 在x(1,1)上，f(x)0， 即f(x)在(1,1)上为减函数，a3. 故存在实数(shsh)a3，使f(x)在(1,1)上单调递减 (3)证明：f(1)a2000f(x)极大值极小值第28页/共58页第二十八页，共59页。 (2)解法( ji f)1：f(x)3ax22bxc， 由f(1)0，f(2)0，f(1

9、)5得，第29页/共58页第二十九页，共59页。 点评本题要求学生善于随机应变，根据实际情况，读图像，列表格，翻译不等式，定极大值，很好的考查了学生思维的灵活性，将传统二次函数问题结合导数方式出现，很好的兼顾了基础与能力的要求、新旧内容(nirng)的衔接，源于教材又不拘泥于教材，是一道训练读图识图能力，运用“数形结合”思想解决问题的好题第30页/共58页第三十页，共59页。 设曲线yax3bx2cxd(a0)以原点为极小值点，且函数图像过点(1,1)，用a表示(biosh)函数的极大值 分析按求极值的步骤，先求f(x)，再由f(x)0得到极值点，最后求出极大值 解析f(x)3ax22bxc.

10、 f(0)0，c0，f(x)ax3bx2d. f(1)1，abd1. f(0)0，d0，ab1， 第31页/共58页第三十一页，共59页。第32页/共58页第三十二页，共59页。 分析本题主要(zhyo)考查了函数的性质和利用导数研究函数的最值等知识，同时也考查了分类讨论的思想和函数与方程思想第33页/共58页第三十三页，共59页。第34页/共58页第三十四页，共59页。第35页/共58页第三十五页，共59页。 点评(din pn)近年来，函数与导数、不等式结合的问题成为高考考查的热点这类问题或给出新的情景，理解起来有一定的难度，或需要较强的运算和构造能力，给我们整理式子和寻找问题的突破口带来

11、困难因此，我们在复习时需要对这类问题进行针对性的训练第36页/共58页第三十六页，共59页。 (2010重庆文)已知函数f(x)ax3x2bx(其中常数a，bR)，g(x)f(x)f(x)是奇函数 (1)求f(x)的表达式： (2)讨论g(x)的单调性，并求g(x)在区间1,2上的最大值与最小值 分析本题主要考查函数的奇偶性、单调性、最值等基础知识考查导数在函数中的应用，同时还考查综合(zngh)分析问题和解决问题的能力第37页/共58页第三十七页，共59页。 解析(1)由题意得f(x)3ax22xb， 因此(ync)g(x)f(x)f(x)ax3(3a1)x2(b2)xb. 因为函数g(x)

12、是奇函数，所以g(x)g(x)，即对任意x，有a(x)3(3a1)(x)2(b2)(x)bax3(3a1)x2(b2)xb第38页/共58页第三十八页，共59页。第39页/共58页第三十九页，共59页。 例4某集团为了获得更大的利益，每年要投入一定的资金用于广告促销经调查，每年投入广告费t(百万元)可增加销售额约为t25t(百万元)(0t5) (1)若该公司将当年的广告费控制(kngzh)在三百万元之内，则应投入多少广告费，才能使该公司由此获得的收益最大？第40页/共58页第四十页，共59页。第41页/共58页第四十一页，共59页。 解析(1)设投入t(百万元)的广告费后增加的收益为f(t)(

13、百万元)，则有 f(t)(t25t)tt24t(t2)24(0t3)， 当t2百万元时，f(t)取得最大值4百万元即投入2百万元的广告费时，该公司(n s)由此获得的收益最大 第42页/共58页第四十二页，共59页。 g(x)x24. 令g(x)0解得x2(舍去)或x2， 当0 x0，当2x3时，g(x)0， 故g(x)在0,2上是增函数，在2,3上是减函数 所以为x2时，g(x)取最大值，即将2百万元用于技术改造，1百万元用于广告(gunggo)促销，该公司由此获得的收益最大第43页/共58页第四十三页，共59页。 (1)要使平均成本(chngbn)最低，应生产多少件产品？ (2)若产品以每

14、件500元售出，要使利润最大，应生产多少件产品？第44页/共58页第四十四页，共59页。 令y0，得x11000，x21000(舍去) 当在x1000附近左侧时，y0； 故当x1000时，y取得极小值 由于函数只有一个极小值点，那么函数在该点取得最小值，因此(ync)要使平均成本最低，应生产1000件产品第45页/共58页第四十五页，共59页。 令L0，得x6000，当x在6000附近左侧时，L0；当x在6000附近右侧(yu c)时，L0，由F(x)0 x(a，)， F(x)在(a，)上单调递增 由F(x)0(或f(x)0)仅是f(x)在某个区间上为增函数(或减函数)的充分条件，在(a，b)

15、内可导的函数f(x)在(a，b)上递增(或递减(djin)的充要条件应是f(x)0或f(x)0，x(a，b)恒成立，且f(x)在(a，b)的任意子区间内都不恒等于0，这就是说，函数f(x)在区间上的增减性并不排斥在区间内个别点处有f(x0)0，甚至可以在无穷多个点处f(x0)0，只要这样的点不能充满所给区间的任何一个子区间，因此，在已知函数f(x)是增函数(或减函数)求参数的取值范围时，应令f(x)0或f(x)0第55页/共58页第五十五页，共59页。 恒成立，解出参数的取值范围(一般可用不等式恒成立理论求解(qi ji)，然后检验参数的取值能否使f(x)恒等于0，若能恒等于0，则参数的这个值应舍去，若f(x)不恒为0，则由f(x)0或f(x)0恒成立解出的参数的取值范围确定第56页/共58页第五十六页，共59页。 请同学们认真完成课后强化(qinghu)