人教A版数学必修一函数的基本性质

1、奋斗没有终点任何时候都是一个起点函数的基本性质1 奇偶性(1)定义：如果对于函数f(x)定义域内的任意 x都有f ( x)= f (x),则称f(x)为奇函数；如果对于函数 f(x)定义域内的任意 x都有f ( -x)=f (x),则称f(x)为偶函数。如果函数f(x)不具有上述，f质，则f(x)不具有奇偶性.如果函数同时具有上述两条性质，则f ( x) 既是奇函数，又是偶函数。注意：函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质；由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个 x ，则 x 也一定是定义定内的一个自变量(即定义定关于原点对

2、称) 。( 2)利用定义判断函数奇偶性的格式步骤：首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称；确定f ( x)与f (x)的关系；作出相应结论：若 f ( x)= f (x)或 f ( x) f (x)=0 ,则 f (x)是偶函数；若 f ( x)= f (x) 或 f ( x) f( x)=0 ，则 f( x) 是奇函数。( 3)简单性质：图象的对称性质：一个函数是奇函数的充要条件是它的图象关于原点对称；一个函数是偶函数的充要条件是它的图象关于y 轴对称；设 f (x) ， g(x) 的定义定分别是D1, D2 ，那么在它们的公共定义定上：奇+奇=奇，奇奇=偶，偶+偶=偶，偶偶

3、=偶2单调性( 1)定义：一般地，设函数y=f ( x) 的定义定为I ， 如果对于定义定I 内的某个区间D内的任意两个自变量xi,x2,当xi<x2时，都有f(xi)<f(x2)(f (xi)>f(x2),那么就说 f(x)在区间D上是增函数(减函数)；注意：函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质；(2必须是对于区间 D内的任意两个自变量 xi, X2；当xi<X2时，总有f(xi)<f(x2)( 2) 如果函数y=f (x) 在某个区间上是增函数或是减函数，那么就说函数y=f (x) 在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y=f (x

4、)的单调区间。(3)设复合函数 y=fg( x),其中u=g(x), A是y=fg( x)定义域的某个区间，B是映 射g: x- u=g(x)的象集：若u=g(x)在A上是增(或减)函数，y=f(u)在B上也是增(或减)函数，则函数y=fg( x) 在 A 上是增函数；若u=g(x)在A上是增(或减)函数，而y=f(u)在B上是减(或增)函数，则函数y=fg( x) 在 A 上是减函数。( 4)判断函数单调性的方法步骤利用定义证明函数 f(x)在给定白区间D上的单调性的一般步骤：任取 xi, xzC D,且 xi<x2；作差 f(xi) -f (x2);变形(通常是因式分解和配方)；定号

5、(即判断差f (xi) f(x2)的正负)；下结论(即指出函数 f(x)在给定白区间D上的单调性)。( 5)简单性质奇函数在其对称区间上的单调性相同；偶函数在其对称区间上的单调性相反；在公共定义域内：增函数 f (x) 增函数 g(x) 是增函数； 减函数 f (x) 减函数 g(x) 是减函数； 增函数 f (x)减函数 g(x) 是增函数；减函数 f (x) 增函数 g(x) 是减函数。3最值(i)定义：最大值：一般地，设函数 y=f(x)的定义域为I,如果存在实数 M满足：对于任意的x CI ,都有f(x)WM；存在xoCI,使得f(xo)=M。那么，称M是函数y=f(x)的最大值。最小

6、值：一般地，设函数 y=f(x)的定义域为I,如果存在实数 M满足：对于任意的 x CI,者B有f (x) RM;存在xo I ,使得f (xo)=M。那么，称 M是函数y=f (x)的最大值。 注意：函数最大(小)首先应该是某一个函数值，即存在 xo I ,使得f(xo)=M;函数最大(小)应该是所有函数值中最大(小)的，即对于任意的 xC I ,都有f(x) w M (f (x) A M)。( 2)利用函数单调性的判断函数的最大(小)值的方法：利用二次函数的性质(配方法)求函数的最大(小)值；利用图象求函数的最大(小)值；利用函数单调性的判断函数的最大(小)值：如果函数y=f(x)在区间a

7、, b上单调递增，在区间b, c上单调递减则函数 y=f(x)在 x=b 处有最大值f ( b) ；信达奋斗没有终点任何时候都是一个起点如果函数y=f(x)在区间a, b上单调递减，在区间b, c上单调递增则函数 y=f(x)在 x=b处有最小值f ( b);4.周期性(1)定义：如果存在一个非零常数T,使得对于函数定义域内的任意x,都有f(x+T)=f(x),则称f(x)为周期函数;(2)性质：f(x+T)=f(x)常常写作f(x T) f (x T),若f(x)的周期中，存在一个最22小的正数，则称它为f(x)的最小正周期；若周期函数f(x)的周期为则f( cox) (coW 0)是周期函

8、数，且周期为 |函数的基本性质、典型选择题 1.在区间(-8历上为增函数的是(y = 十 2二。 1A.8. - 7.C.一(考点：基本初等函数单调性)32,函数4.+二(fD)是单调函数时，b的取值范围()A. 二一B.；二二C.： 一- 二D）.-（考点：二次函数单调性）3 .如果偶函数在川具有最大值，那么该函数在 一九一有 （）A.最大值B.最小值C.没有最大值（考点：函数最值）4 .函数,工£区是（）D.没有最小值A.偶函数B.奇函数C.不具有奇偶函数D.与尹有关（考点：函数奇偶性）5 .函数 了在皿力和仁回都是增函数，若%三9而叫巨匕，且公右七那么（）A. .1 11 &#

9、39; / 二:B. 1 1：1 ' ' - C,一D.无法确定（考点：抽象函数单调性）6 .函数人工）在区间-2,3是增函数，则3的递增区间是（）A. 一B一 , ： 一C. - ' ,D.-：,（考点：复合函数单调性）7,函数/ =（2止+ 1）宾+ 8在实数集上是增函数，则（）, 1, 1k: > c < A.- B.-C.：D.：（考点：函数单调性）8.定义在R上的偶函数/，满足/G+D = -/，且在区间T0上为递增，则（）A.小.b.（考点：函数奇偶、单调性综合）9.已知,1兀1在实数集上是减函数，若（ ）A.二 一一：C.二一 " -曜十小工口，则下列正确的是B,一二一一“-一. 一信达（考点：抽象函数单调性）二、典型填空题1 .函数 /在 R上为奇函数，且= « + 户0 ,则当m ，.（考点：利用函数奇偶性求解析式）2 .函数V三一十 I打，单调递减区间为 ,最大值和最小值的情况为 . （考点：函数单调性，最值）三、典型解答题1. （12 分）已知以加”-1,引,求函数，（工+1）得单调递减区间.（考点：复合函数单调区间求法）（璋二产+ 6工-巴-82. （12分）已知工（考点：函数奇偶性，数学整体代换的思想）、BAABDBAAD、1 . P 三 f