求解函数最值问题策略

1、求解函数最值问题策略最值问题遍及代数、三角、立体几何及解析几何各科之中，在生产实践中也有广泛 的应用最值问题长期是各类考试的热点，求函数最值常用方法有：一、配方法主要运用于二次函数或可转化为二次函数的函数解题过程中要注重自变量的取值 范围.例1已知函数y=(ex-a)2+(e x-a)2 (a R,aO) ,<函数y的最小值.分析：将函数表达式按ex+e-配方,转化为关于为变 ex+e '的二次函数解：y = (ex-a)2+- -a)2= 0 -x)2-2a(x +八)+ 2/_2，令 t=ex+e- f(i) = P- +22 - 2，l2：.f(t) = t2 -2a2a1

2、 -2=(t-a)2 al-2 的左义域2,g).抛物线 y=f 的对称轴 为 t=a,当 a2 且 a0 时, = /(2) = 29 1)2当 a>2 时，几曲=(<2) = <22 - 2-评注:利用二次函数的性质求最值要注意到自变量的取值范弗I和对称轴与区间的相 对位置关系.二、不等式法运用不等式法求最值必须关注三个条件即“一正二泄三相等”.例2求函数y= a? + x + 1(x>-l且a>0)的最小值.+l解:y= az2 + x÷l .a+ _f_+(i-a)=a(x+l)+ -+ l-2a > 2 L(X +1)+1 -2a= 1+

3、1X 十1X 十1一 V ' +l当a(x+l)= 旦,即X=O时等号成立，7 . =1X十1三、换元法主要有三角换元和代数换元换两种用换元法时,要特别关注中间变量的取值范用.例3 求函数y=屈+ E 的最大值和最小值.解 1 ：先求左义域得 l 令 X=Sin 2 6Q O, - , y=sin +cos g= 2sir< +2为眄“手手当0或专时y孑1,当8=2时，y us= 2444424例4求函数y= 1十力的最大值和最小值.解 2 :令 V? =uOJ, JI-X =Ve j, /. ua ÷r2 = 1 (uO,vO)贝IJ y=u+v 即 v=-u+y 由

4、直线方程斜截式纵截距的几何意义知:yS 2解:f(x)=卜 "戏 一17, + X1+2x2 +X11 + 22 + xi 1 + x2 1 + 2令 x=tan ,则2f(x)=f()=cos2+ ISm= -sin2+ 丄血Sl =-(Sin.,.当 sm= i 时，f(x=二当 Sin=-I 时，/(幼孑-1 4Io2四. 数形结合法主要适用于具有几何意义的函数,通过函数的图象求最值.例 5 已知 x2+y2-2x+4y-20=0 求 x2+y2 的最值.分析:本题已知条件转化为(x-l)2+(y+2)2=25.可用三角代换转化为三角函数最值问 题处理,也可借助几何图形数形结合

5、处理解：作x2+y2-2x+4y-2O=O的图形，它是圆心在P(l,-2)半径为5的圆,依题总有x2+y2=2x-4y+20.设x?+y2=z,则z=2x4y+20即y=丄卄竺其图形是斜率为丄且与已242知圆相交的一簇平行线,于是求Z的最值问题就是求这簇平行线中在y轴的截距最大或最 小问题由平而几何知识知,圆心P(L-2)到切线2x-4y+20-z=0的距离小于或等于半径,即最小值,Z2 = 30+L05为最大值.即x2+y2最大值为30+10厉,最小值为30-10厉.五. 函数的单调性法先判明函数给泄区间上的单调性,而后依据单调性求函数的最值.例6已知函数f(X)立义域R.为对任意的XhX2

6、R都有f(X1+X2)=f(X1)+f(X2)且x>0时f(x)<O.f( 1)=-2试判断在区间-3,3上f(x)是否有最大值和最小值?如果有试求出最大值 和最小值,如果没有请说明理由.解:令 x1 =x2=0,KJ f(O)=f(O)+f(O)f(0)=0,令 x=x, X2=-X 则 f(x)+f(-x)= f(0)=0, f(x)=-f(-x), .f(x)为奇函数.设 X1,X2R,JL X1<X2,则 X2-Xl>0. ： f(Xl)-f(X 1 )=f(X2)÷f(-X 1 )=f(X2 -X1 )<0,.f(x2)<f(X1 ),.

7、f(x)在 R 上为减函数.又 f( 1)=-2,RP.f(3)=f( 1 +2)=f( 1 )+f(2)=3f( 1 )=-6,f(-3)=-f(3)=6,又 f(x)在卜3,3上为减函数,故当 x=3 时,f(X)max=f(-3)=6 ,当 X=3 时,f(X)nun=f(3)=-6六. 判别式法主要适用于可化为关于X的二次方程的函数,当X的范围是R时,仅考虑A即可,当X 的范围非R时,还需要结合图形另解不等式.例7 求函数y= y =：一弘+ 4的最大值和最小值x +3 + 4解：函数的定义域为R这是因为x2+3x+4的判别式l = 32-4x1x4=-7<0故 x2+3x+4>O对一切xR均成立函数表达式可化为(y-l)x2+(3y+3)x+4y-4=O,当yl时© xR,上而的一元二次方程必须有实根，. = (3y + 3)2-4(Iy-1)(4Ly÷4)>0解得 lp7,(yl)当 y=l 时,X=O.故 yma=7, y =L.7 L丿 mL 7例8求函数y=x+ JXd 的最大值和最小值解：y-x= JXd 两边平方整理W：2x2-2(y+l)x+y2是=0, ® X是实数- = 4(> + 1)2-Sy2 >0 解之得2&l