线性代数1.5ppt课件

1、线性代数与解析几何线性代数与解析几何1;.,312213332112322311322113312312332211aaaaaaaaaaaaaaaaaa 333231232221131211aaaaaaaaa例如例如 3223332211aaaaa 3321312312aaaaa 3122322113aaaaa 222321232122111213323331333132aaaaaaaaaaaaaaa一、余子式与代数余子式一、余子式与代数余子式2223212321221 11 21 3111213323331333132( 1)( 1)( 1)aaaaaaaaaaaaaaa 2;.在在 阶行列

2、式中，把元素阶行列式中，把元素 所在的第所在的第 行和第行和第 列划去后，留下来的列划去后，留下来的 阶行列阶行列式叫做元素式叫做元素 的余子式，记作的余子式，记作nijaij1 nija.Mij ，记记ijjiijMA 1叫做元素叫做元素 的代数余子式的代数余子式ija例如例如44434241343332312423222114131211aaaaaaaaaaaaaaaaD 44424134323114121123aaaaaaaaaM 2332231MA .23M 定 义3;.引理引理 一个一个 阶行列式，如果其中第阶行列式，如果其中第 行所有元素除行所有元素除 外都为零，那么这行列式等外都

3、为零，那么这行列式等于于 与它的代数余子式的乘积，即与它的代数余子式的乘积，即 ijijAaD niijaija44434241332423222114131211000aaaaaaaaaaaaaD .14442412422211412113333aaaaaaaaaa 4;.222111211nnnpppnpppa aa证证当当 位于第一行第一列时位于第一行第一列时,ijannnnnaaaaaaaD21222211100 即有.1111MaD 1 111111AM 又因为从而11111111.Da Ma A2221121nnnpppnpppaaa5;.nnnjnijnjaaaaaaaD1111

4、100 ,1,2,1行行对对调调第第行行第第行行行行依依次次与与第第的的第第把把 iiiD得得 nnnjnnijiiijiaaaaaaaD1, 1, 11 , 11001 再证一般情形再证一般情形,此时此时6;. nnjnnjnijijiijjiaaaaaaa1, 11, 1, 12001 ,1,2,1对对调调列列第第列列第第列列列列依依次次与与第第的的第第再再把把 jjjD得得 nnjnnjnijijiijjiaaaaaaaD1, 11, 1, 1110011 nnjnnjnijijiijjiaaaaaaa1, 11, 1, 1001 7;.nnnjnijnjaaaaaaaD1111100

5、中的余子式中的余子式.ijM在在余余子子式式仍仍然然是是中中的的在在行行列列式式元元素素ijnnjnnjnijijiijijaaaaaaaaa1,11,1,100 ijaija8;. nnjnnjnijijiijjiaaaaaaaD1, 11, 1, 1001 .1ijijjiMa 于是有于是有nnjnnjnijijiijaaaaaaa1, 11, 1, 100 ,ijijMa ijaija.ijija A9;.定理定理 行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即即11221=niiiiininikikkD

6、a Aa Aa Aa A ni, 2 , 1 证证nnnniniinaaaaaaaaaD212111211000000 二、二、行列式按行（列）展开法则(Laplace 定理)10;.nnnninaaaaaaa2111121100 nnnninaaaaaaa2121121100 nnnninnaaaaaaa211121100 ininiiiiAaAaAa 2211 ni, 2 , 1 11;.例例13351110243152113 D03550100131111115 312 cc 34cc 0551111115) 1(33 5526)1(31 5028 .40 055026115 12rr

7、目的：降阶目的：降阶12;. 证证用数学归纳法用数学归纳法21211xxD 12xx , )(12 jijixx）式式成成立立时时（当当12 n例例2证明范德蒙德证明范德蒙德(Vandermonde)行列式行列式 1112112222121).(111jinjinnnnnnnxxxxxxxxxxxD)1(13;.，阶范德蒙德行列式成立阶范德蒙德行列式成立）对于）对于假设（假设（11 n)()()(0)()()(0011111213231222113312211312xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxDnnnnnnnnn 就就有有提提出出，因因子子列列展展开开，并并把把每每列列的的

8、公公按按第第)(11xxi 11jjrrx从最后一行开始，目的：降阶14;.)()()(211312jjininnxxxxxxxxD ).(1jjinixx 223223211312111)()( nnnnnnxxxxxxxxxxxx n-1阶范德蒙德行列式阶范德蒙德行列式弄清楚ix代表的具体数值1()ijn ijxx 的确切含义211113019pp例如，若求 的值p数学归纳法数学归纳法15;.推论推论 行列式任一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和行列式任一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即等于零，即. ji,AaAaAajninji

9、ji 02211,11111111nnnjnjininjnjnjjaaaaaaaaAaAa 证证行行展展开开，有有按按第第把把行行列列式式jaDij)det( 16;.,11111111nnniniininjninjiaaaaaaaaAaAa 可可得得换换成成把把), 1(nkaaikjk 行行第第 j行行第第 i,时时当当ji 11220.ijijinjna Aa Aa AD同理同理).(, 02211jiAaAaAanjnijiji 相同相同17;.1,nikjkijka AD代数余子式的性质小结代数余子式的性质小结:1,0,;nkikjkDija Aij当当1,0,;nikjkkDija

10、 Aij当当1,0,.ijijij当，其中当1nikjkijka AD18;.习题一 10（5）求1111111111111111xxyy11111 0 1111 01111 0111xxyy解： 原式=11111111 1110 1111111011111110111xxxyyyy1111111000111000111000 xxxyyyy降阶19;.0000000ababaa习题 13 （1）00 000 00 0 00 00na ba bDa bba100000( 1)000nbabbb 1( 1)nnnab 20;.12111111111nnaaDa习题 13 （2）121111 01

11、11 011naaa21111 11111naa1211011011naaa21110000naa231111111111naaaa1n 阶21;.2iina 11na DnD同理1223nini nDaa D 12223()niinininDaaaa D 1112212iiininnaaa a Daa 111121123(1)iiii ni ni nnnaaaa aaaaaa 1111 2112iiii ni ni nnnnaaaaaa aaaa 递推归纳22;.122222222232222nDn习题 13 （3）2 1 2 222 0 2 222 0 2 322 0 2 2n222222

12、222232222n1 2220222+ 0232022n012220222003200002n2(2)!n 23;.0112111100100100nnaaDaa习题 14 （1）0121111100100100nnaaaaa121+11100100( 1)1001000nnaaa nna D121+1110000( 1)( 1)00nnnaaa 1.2n 时成立，112101()nnniiaa aaaa121na aa1 2101()nnniia aaaaa利用归纳假设24;.15.1234422221234444412341111aaaaDaaaaaaaa1234222221234533

13、333312444444312411111aaaayaaaayDaaaayaaaay记123414()()()()()ijj iy x y xy x y xxx 34 54( 1)yD3123414()()ijj iyxxxxxx 4+1阶，加边升阶比较系数25;.4 54123414( 1)()()ijj iDxxxxxx 从而，由两边系数相等得即4123414()()ijj iDxxxxxx 26;.分块行列式分块行列式:1112212211121112212221220000aaaaccbbccbbAOCBAB证明：左边=221112111222212200aacbbcbb211 212

14、11111221212200( 1)aacbbcbb 111211 222122bba abb111212 212122bba abb1112111221222122aabbaabbAB27;.例例111111111111kkkkknnnknnnaaOaaDccbbccbb设11111,kkkkaaDaa11121,nnnnbbDbb.21DDD 证明证明记28;.证明证明;0111111kkkkkpppppD 设为设为化为下三角形行列式化为下三角形行列式，把，把作运算作运算对对11DkrrDji 化化为为下下三三角角形形行行列列式式把把作作运运算算对对22,DkccDji .0111112nnnknqqpqqD 设设为为29;.,01111111111nnnnknkkkkqqqccccpppD 化化为为下下三三角角形形行行列列式式把把算算列列作作