专题07~圆锥曲线概念及其几何性质

1、专题07圆锥曲线概念及其几何性质 方法技巧专题 7 圆锥曲线的概念及其几何性质 解析版一、 圆锥曲线的概念及其几何性质知识框架 二、圆锥曲线的定义、方程 【一】圆锥曲线的定义 1 、椭圆 （1）秒杀思路：动点到两定点(距离为 )距离之和为定值( )的点的轨迹； （2）秒杀公式：过抛圆的一个焦点作弦 ,与另一个焦点 构造 ，则 的周长等于 。 （3） 当 时，表示椭圆；当 时，表示两定点确定的线段； 当 时，表示无轨迹。 2 、双曲线 （1）秒杀思路： 双曲线上任意一点到两焦点距离之差的绝对值是常数 ; 注意定义中两个加强条件:（i）绝对值; （ii） ； 加绝对值表示两支(或两条),不加绝对值

2、表示一支(或一条); （2）秒杀公式：过双曲线的一个焦点作弦 （交到同一支上），与另一个焦点 构造 ，则的周长等于 。 （3） 当 时，表示双曲线； 当 时，表示以两定点为端点向两侧的射线； 当 时，无轨迹； 当 时表示两定点的中垂线。 3 、抛物线 （1）秒杀思路：到定点(焦点)距离等于到定直线(准线)距离。所以，一般情况下,抛物线已知到焦点的距离需转化为到准线的距离,已知到准线的距离需转化为到焦点的距离。 （2）秒杀公式一：焦点在 轴上的圆锥曲线,曲线上的点到同一个焦点的距离成等差数列，则横坐标成等差数列，反过来也成立。 （3）秒杀公式二：作过抛物线焦点且倾斜角为 或 的弦,两段焦半径分别

3、为: . 1. 例 例 题 【例 1 1 】设 p 是椭圆2 2125 16x y+ = 上的点,若2 1 ,ff 是椭圆的两个焦点,则1 2pf pf + 等于 ( ) a.4 b.5 c.8 d.10 【解析】利用椭圆的定义得1 2pf pf + = 10 2 = a ,选 d。 【例 2 2 】已知椭圆 c :2 219 4x y+ = ,点 m 与 c 的焦点不重合,若 m 关于 c 的焦点的对称点分别为 b a, ,线段mn 的中点在 c 上,则 | | | | an bn + = . 【解析】如图,22qf bn = ,12qf an = , | | | | an bn + = 1

4、2 4 ) ( 22 1= = + a qf qf . 例 【例 3 3 】已知双曲线 12 2= - y x ,点2 1 ,ff 为其两个焦点,点 p 为双曲线上一点,若2 1pf pf ,则2 1pf pf + 的值为_. 【解析】 , 8 , 22221 2 1= + = - r r r r 得2 1pf pf + = 3 2 . 【例 4 4 】设椭圆1c 的离心率为135,焦点在 x 轴上且长轴长为 26,若曲线2c 上的点到椭圆1c 的两个焦点的距离的差的绝对值等于 8,则曲线2c 的标准方程为 ( ) a. 13 42222= -y x b. 15 132222= -y x c.

5、 14 32222= -y x d. 112 132222= -y x 【解析】由双曲线定义得 4 = a ， 5 = c ， 3 = b ，选 a。 【例 5 5 】( (2021 年新课标全国卷 i10)以抛物线 c 的顶点为圆心的圆交 c 于 b a, 两点,交 c 的准线于 e d, 两点.已知 ab = 4 2 , de = 2 5 ,则 c 的焦点到准线的距离为 ( ) a.2 b.4 c.6 d.8 【解析】a apx y am 2 8 , 2 2 = = = ,px a4= ,24 ppr + = =4522 2pon dn + = + , 4 = p ,选 b。 例 【例 6

6、 6 】已知抛物线22 ( 0) y px p = > 的焦点为 f ,点 ( )1 1 1, y x p , ( )2 2 2, y x p , ( )3 3 3, y x p 在抛物线上,且2 1 32x x x = + ,则有 ( ) a.1 2 3fp fp fp + = b.2 2 21 2 3fp fp fp + = c.2 1 32 fp fp fp = + d.22 1 3fp fp fp = 【解析】2 1 32x x x = + 可知焦半径成等差数列,选 c. 【例 7 7】 】(2021 年新课标全国卷 ii)已知 f 是抛物线 : c 的焦点, m 是 c 上一点

7、, fm 的延长线交 轴于点 n .若 m 为 fn 的中点，则 fn = . 【解析】28 y x = 则 4 p = ，焦点为 ( ) 2 0 f ， ，准线 : 2 l x = - ，如图， m 为 f 、 n 中点，知线段 bm 为梯形 afnc 的中位线, 2 cn = , 4 af = , 3 = mb ,又由定义知 mf mb = ,且 mn nf = , 6 = fn 。 【例 8 8 】 m 是抛物线24 y x = 上一点,f 是抛物线的焦点,以 fx 为始边、 fm 为终边的角 60 xfm Ð = ° ,求fm . 【解析】由秒杀公式得 fm = p

8、 2 =4。 【例 9 9 】抛物线24 y x = 的焦点为 f ,准线为 l ,经过 f 且斜率为 3 的直线与抛物线在 x 轴上方的部分相交于点 a , ak l ,垂足为 k ,则 akf 的面积是 ( ) 28 y x = ylfnmcbaoyx a.4 b. 3 3 c. 4 3 d. 8 【解析】由秒杀公式得 4 2 = = = p af ak ， akf d 是边长为 4 的正三角形， =dakfs 4 3 。 2. 巩固提升综合练习 【练习 1 1 】(2021 年新课标全国卷 14)在平面直角坐标系 xoy 中,椭圆 c 的中心为原点,焦点1 2, f f 在 x 轴上,离

9、心率为22.过1f 的直线 l 交 c 于 , a b 两点,且2abf d 的周长为 16,那么 c 的方程为 . 【解析】 4 , 16 4 = = a a ,得方程为:2 2116 8x y+ = . 【练习2 2】 】已知 为椭圆 的两个焦点,过 的直线交椭圆于 , a b 两点, ,则 = . 【解析】 8 12 4 = - = a ab 。 【练习 3 3 】已知双曲线 c 的离心率为 2，焦点为1f 、2f ,点 a 在 c 上,若1 22 fa f a = ,则2 1cos af f Ð = a.14 b.13 c.24 d.23 【解析】由双曲线定义得： a a f

10、 a f 22 1= - ，1 22 fa f a = ， a a f a a f 2 , 42 1= = ， a c f f 4 22 1= = ，由余弦定理得：2 1cos af f Ð =41，选 a。 【练习 4 4 】若双曲线 的左、右焦点分别为 ,点 在双曲线 上,且 ,则 等于 ( ) a.11 b.9 c.5 d.3 【解析】由双曲线定义得： 92= pf ,选 b。 【练习 5 5 】抛物线24 y x = 上的一点 m 到焦点的距离为 1,则点 m 的纵坐标是 ( ) a.1617 b.1615 c.87 d.0 【解析】由抛物线定义得选 b。 【练习 6 6 】

11、已知 f 是抛物线2y x = 的焦点, , a b 是该抛物线上的两点, =3 af bf + ,则线段 ab 的中点到y 轴的距离为 ( ) 2 1f f、 19 252 2= +y x1f 122 2= + b f a fab2 2: 19 16x ye - =1 2, f f p e13 pf =2pf a.34 b.1 c.54 d.74 【解析】由抛物线定义得选 c。 【练习 7 7 】(2021 年新课标全国卷 i10)已知抛物线 c :28 y x = 的焦点为 f ,准线为 l , p 是 l 上一点, q 是直线pf 与 c 的一个焦点,若 4 fp fq = ,则 | |

12、 qf = ( ) a.72 b.52 c.3 d.2 【解析】利用相似成比例与抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，得 | | qf =3，选 c。 【练习 8 8】 】(2021 年新课标全国卷 ii 文 12)过抛物线 x y c 4 :2= 的焦点 f ,且斜率为 3 的直线交 c 于点 m( m 在 x 轴上方), l 为 c 的准线,点 n 在 l 上且 l mn ,则 m 到直线 nf 的距离为 ( ) a. 5 b. 2 2 c. 3 2 d. 3 3 【解析】斜率为 3 可知 mnf d 为边长为 4 的等边三角形,则 nf = 3 2 ，选 c。 【练习 9 9】 】设

13、抛物线28 y x = 的焦点为 f ,准线为 l , p 为抛物线上一点, pa l , a 为垂足,如果直线 af 的斜率为 3 - ,那么 pf = ( ) a. 4 3 b.8 c. 8 3 d.16 【解析】由秒杀公式得选 b。 【练习 10 】设 o 是坐标原点, f 是抛物线22 ( 0) y px p = > 的焦点, a 是抛物线上的一点, fa 与 x 轴正向的夹角为 ° 60 ,则 oa 为 【解析】由秒杀公式得212p 。 【二】圆锥曲线的方程 1、 、 椭圆( 秒杀方法：分母大的为焦点所在轴)： ：2 2 2b a c - = 2 22 21( 0)x

14、 ya ba b+ = > >表示焦点在 x 轴椭圆的标准方程; 2 22 21( 0)y xa ba b+ = > >表示焦点在y轴椭圆的标准方程。 2、 、 双曲线（秒杀方法：系数为正的为焦点所在轴）：2 2 2c a b = + 2 22 21( 0, 0)x ya ba b- = > > 表示焦点在 x 轴上双曲线的标准方程; 2 22 21( 0, 0)y xa ba b- = > > 表示焦点在y轴上双曲线的标准方程。 1. 例题 【例 1 1 】(2021 年新课标全国卷 8)已知等轴双曲线 c 的中心在原点,焦点在 x 轴上,c

15、与抛物线 x y 162= 的准线交于 a,b 两点, 3 4 = ab ,则 c 的实轴长为 ( ) a. 2 b. 2 2 c.4 d.8 【解析】设等轴双曲线方程为2 2 2a y x = - ,抛物线的准线方程为： 4 = x ，联立解得 2 = a ,选 c. 【例 2 2 】" '是"方程 '表示焦点在 y 轴上的椭圆'的 ( ) a.充分而不必要条件 b.必要而不充分条件 c.充要条件 d.既不充分也不必要条件 【解析】椭圆方程可化为：11 12 2= +nymx，如焦点在 y 轴上，只需 01 1> >m n，即 0 &g

16、t; > n m ，所以是充要条件，选 c。 例 【例 3 3 】设 ab 是椭圆的长轴,点 c 在椭圆上,且4p= Ðcba .若 2 , 4 = = bc ab ,则椭圆的两个焦点之间的距离为 . 【解析】由 4 = ab 得 2 = a ，由4p= Ðcba 与2 = bc得 c ( ) 1 , 1 ， 634代入椭圆 1422 2= +by x得342= b ，382= c ， c 2 = 634。 【例 4 4 】已知双曲线 和椭圆 19 162 2= +y x有相同的焦点,且双曲线的离心率是 椭圆离心率的两倍,则双曲线的方程为 . 【解析】由椭圆方程得 7

17、2= c，47= e，所以双曲线的离心率为27， 3 , 42 2= = b a ，由双曲线的方程为： 13 42 2= -y x。 0 m n > >2 21 mx ny + =2 22 21( 0 b 0)x yaa b- = ， 3 、抛物线（秒杀方法：一次项对应焦点所在轴）： 表示焦点到准线的距离 表示焦点在 轴上抛物线的标准方程; 表示焦点在 轴上抛物线的标准方程。 【例 5 5 】曲线2 21( 6)10 6x ymm m+ = <- -与曲线2 21(5 9)5 9x ymm m+ = < <- -的 ( ) a.焦距相等 b.离心率相等 c.焦点相

18、同 d.准线相同 【解析】2 21( 6)10 6x ymm m+ = <- -表示焦点在 x 轴上的椭圆,2 21(5 9)5 9x ymm m+ = < <- -表示焦点在 y轴上的双曲线,化简为2 21(5 9)5 9x ymm m- + = < <- -,可知焦距相等,选 a。 2. 巩固提升综合练习 【练习 1 1 】若 r kÎ ,则" 3 > k '是"方程 13 32 2=+- kykx表示双曲线'的 ( ) a.充分不必要条件 b.必要不充分条件 c.充要条件 d.既不充分也不必要条件 【解析】

19、方程表示双曲线只需 ( )( ) 0 3 3 > + - k k ，即 3 > k 或 3 - < k ，所以是充分不必要条件，选 a. 【练习 2 2 】已知抛物线 x y 82= 的准线过双曲线 ) 0 , 0 ( 12222> > = - b abyax的一个焦点,且双曲线的离心率 为 2,则该双曲线的方程为 . 【解析】抛物线的准线为 2 = x ，所以双曲线中 2 = c ，由离心率为 2 得 1 = a ，焦点在 x 轴上，所以双曲线的方程为 1322= -yx 。 【练习 3 3】 】下图是抛物线形拱桥,当水面在 l 时,拱顶离水面 2 米,水面宽

20、4 米,水位下降 1 米后,水面宽 米 【解析】设拱桥所在抛物线的方程为 py x 22- = ，将点 ( ) 2 , 2 - 代入得 1 = p ，转化为求点 ( ) 3 ,- x 中的 x ， 将点 ( ) 3 ,- x 代入抛物线 y x 22- = 中可得 6 = x ，即水面宽为 6 2 米。 【练习 4 4 】已知 04pq < < ,则双曲线2 212 2: 1cos sinx ycq q- = 与2 222 2 2: 1sin sin tany xcq q q- = 的 ( ) a.实轴长相等 b.虚轴长相等 c.焦距相等 d. 离心率相等 【解析】由方程得11co

21、seq= ,( )2 22sin 1 tan1sin coseq qq q+= = ，选 d. 三、圆锥曲线的几何性质 【一】焦点三角形 1. 例题 【例 1 1】 】(2021 年新课标全国卷 i 文 12)设 a 、 b 是椭圆 c 132 3= +my x长轴的两个端点,若 c 上存在点 m 满1 、椭圆的焦点三角形：椭圆上任意一点 与两焦点 、 构成的三角形: 。 （1）秒杀题型一：周长为定值： 。 当点 靠近短轴端点时 增大，当点 靠近长轴端点时 减小；与短轴端点重合时 最大。 （2）秒杀题型二： ， 即 与短轴端点重合时面积最大。 （3）秒杀题型三：当 底角为 ， 个数：4 个(

22、点为通径端点)； 当 时， 个数： 。 。（ 点为以 为直径的圆与椭圆的交点） 2 、双曲线的焦点三角形： （1）焦点直角三角形的个数：一定为八个，顶角为直角与底角为直角的各为四个； （2） 为焦点三角形的顶角)= 。（等面积思想在解题时非常重要） 足 ° = Ð 120 amb ,则 m 的取值范围是 ( ) a. ( ) +¥ , 9 1 , 0 u b. ( ) +¥ , 9 3 , 0 u c. ( ) +¥ , 4 1 , 0 u d. ( ) +¥ , 4 3 , 0 u 【解析】当 0 3 m < < 时,椭

23、圆的焦点在 x 轴上,要使c上存在点m满足 120 amb Ð = ,则 tan60 3ab³ = ,即33m³ .得 0 1 m < £ ;当 3 m > 时,椭圆的焦点在 y 轴上,要使 c 上存在点 m 满足 120 amb Ð = ,则tan60 3ab³ = ,即 33m³ ,得 9 m³ ,故 m 的取值范围为 ( ) +¥ , 9 1 , 0 u ,选 a. 【例 2 2 】已知 , 是椭圆 ) 0 ( > >b a 的两个焦点, 为椭圆 上一点, . 若 的面积为

24、9,则 = . 【解析】由椭圆焦点三角形面积公式得： 94tan b2 2= = bp， 3 = b 。 例 【例 3 3 】设1f 、2f 为椭圆2 219 4x y+ = 的两个焦点, p 为椭圆上的一点.已知 p ,1f ,2f 是一个直角三角形的三个顶点,且1 2pf pf > ,求12pfpf的值. 【解析】 c b < q ，所以顶角为直角与底角为直角的均存在， .如果底角为直角，243pf = ，1143pf = ,12pfpf=72； .如果顶角为直角，1 26 r r + = ，2 21 220 r r + = ，1 24, 2 r r = = ,12pfpf=2

25、。 【例4 4】 】(2021年新课标全国卷i5)已知 ( )0 0 , yx m 是双曲线 12:22= - yxc 上的一点,2 1 ,ff 是 c 的两个焦点,若 02 1< ×mf mf ,则0y 的取值范围是 ( ) a.÷÷øöççèæ-33,33 b.÷÷øöççèæ-63,63 c.÷÷øöççèæ-32 2,32 2 d.&

26、#247;÷øöççèæ-33 2,33 2 【解析】秒杀方法：当2 1mf mf 时，由等面积得：333 12tan2= Þ × = × = = = y y y cbsq，选 a。 【例 5 5 】已知1f 、2f 为双曲线 c :2 21 x y - = 的左、右焦点,点 p 在 c 上,2 1 pff Ð ° = 60 ,则1 2| | | | pf pf × = 1f2f 1 :2222= +byaxc p c2 1pf pf 2 1 fpf d b ( )

27、 a.2 b.4 c.6 d.8 【解析】由等面积得： 43sin2132tan2 1 2 12= Þ = = = pf pf pf pfbspq，选 b。 例 【例 6 6 】双曲线2 219 16x y- = 的两个焦点为1 2, f f ,点 p 在双曲线上,若1 2pf pf ,则点 p 到 x 轴的距离为 . 【解析】5165 6 12tan2= Þ × = × = = = y y y cbsq。 2. 巩固提升综合练习 【练习 1 1】 】已知1 2, f f 是椭圆2 219 5x y+ = 的焦点,点 p 在椭圆上且1 23fpfp

28、08; = ,1 2fpf d 的面积为 . 【解析】利用焦点三角形面积公式得33 53352tan2= ´ = =qb s 。 【练习 2 2 】1f 、2f 是椭圆2 2: 18 4x yc + = 的焦点,在 c 上满足1 2pf pf 的点 p 的个数为 . 【解析】 c b = q ，p 点的个数是 2 个。 【练习 3 3 】已知椭圆 19 162 2= +y x的左、右焦点分别为1 2, f f ,点 p 在椭圆上,若1 2, , p f f 是一个直角三角形的三个顶点,则点 p 到 x 轴的距离为 ( ) a.59 b.3 c.77 9 d.49 【解析】 c b &

29、gt; q ，所以顶角为直角的不存在；而底角为直角时，p 到 x 轴的距离为通径，即：492=ab，选 d。 【练习 4 4 】已知1f 、2f 为双曲线 c :2 21 x y - = 的左、右焦点,点 p 在 c 上,2 1 pff Ð = ° 60 ,则 p 到 x 轴的距离为 ( ) a.32 b.62 c. 3 d. 6 【解析】262 32tan2= Þ × = × = = = y y y cbsq，选 b。 习 【练习 5 5 】设 p 为双曲线22112yx - = 上的一点,2 1 ,ff 是该双曲线的两个焦点,若1 2| |

30、:| | 3:2 pf pf = 则1 2pff d 的面积为 ( ) a. 6 3 b. 12 c. 12 3 d. 24 【解析】设 t pf 31= ，则 t pf 22= ，由双曲线的定义得： 2 2 = = a t ， 61= pf ， 42= pf ， 13 22 1= f f , 所以由勾股定理得1 2pff d 为焦点直角三角形，所以 122= =b s ，选 b。 习 【练习 6 6 】设2 1 ,ff 分别是双曲线2219yx - = 的左、右焦点,若点 p 在双曲线上,且1 20 pf pf × = ,则1 2pf pf + = ( ) a. 10 b. 2 1

31、0 c. 5 d. 2 5 【解析】由向量中线定理得：1 2pf pf + = po 2 = 10 2 2 = c ，选 b。 【二】离心率 1. 例题 1 1 、 题型一：利用焦点三角形 （1）椭圆： （焦点三角形两底角分别为 、 ）； （2）双曲线： （焦点三角形两底角 ）。 2 、题型二：寻找 关系求离心率 （1）秒杀思路：如果建立 或 或 的关系，一般情况要通过平方消去 化简为 关系求离心率。 （2）特别地：当 成等比数列时，即 ，椭圆: ，叫优美椭圆； 类比：双曲线： 。 例 【例 1 1 】在平面直角坐标系 xoy 中,已知 abc d 顶点 ( 4,0) a - 和 (4,0)

32、c ,顶点 b 在椭圆2 2125 9x y+ = 上,则sin sinsina cb+= . 【解析】秒杀公式：sin sinsina cb+=45 1=e。 【例 2 2 】(2021 年新课标全国卷 ii)设椭圆2 22 2: 1x yca b+ = ( 0) a b > > 的左、右焦点分别为1 2, f f , p 是 c 上的点,2 1 2pf ff ,1 230 pff Ð = ,则 c 的离心率为 ( ) a.36 b.13 c.12 d.33 【解析】设 t pf =2， t pf 21= ，则 t f f 32 1= ，即 t a 3 2 = ， t

33、c 3 2 = ，3322= =ace ，选 d。 秒杀公式：( )3330 sin 90 sin30 90 sin=° + °° + °= e ，选 d。 【例 3 3】 】已知 是双曲线 的左、右焦点,点 在 上, 与 轴垂直, ,则 的离心率为 ( ) a. b. c. d. 【解析】设 ，则 32= mf ， 2 2 22 1= = c f f ， ， ，选 a。 秒杀公式：( )23232 2311cossin 90 sin90 sin1 21 21 2= =-Ð=Ð - °Ð + °=f mf

34、f mff mfe ，选 a。 【例 4 4 】(2021 年新课标全国卷 ii11)已知 b a, 为双曲线 e 的左、右顶点,点 m 在 e 上, 为等腰三角形,且顶角为 ,则 的离心率为 ( ) a. b.2 c. d. 【解析】可得 ，代入双曲线得 ，选 d。 2 1 ,ff2 22 2: 1x yea b- = m e1mf x2 11sin3mf f Ð =e2233 211 =mf 2 21 2= - = mf mf a 2 = eabm d° 120 e5 3 2( ) a a m 3 , 2 ± 2 , = = e b a 【例 5 5 】设直线

35、 过双曲线 的一个焦点,且与 的一条对称轴垂直, 与 交于 两点, 为 的实轴长的 2 倍,则 的离心率为 ( ) a. b. c.2 d.3 【解析】 为通径长， = ，即 ，得 ，选 b。 【例 6 6 】(2021 年新课标全国卷 i15)已知双曲线 ) 0 , 0 ( 1 :2222> > = - b abyaxc 的右顶点为 a ,以 a 为圆心, b为半径作圆 a ,圆 a 与双曲线 c 的一条渐近线交于 m 、 n 两点.若 ° = Ð 60 man ,则 c 的离心率为 . 【解析】可得 man d 为等边三角形， a 到渐近线的距离为 b23，

36、得 b a 3 = ，33 2= e 。 秒杀方法：由2323= =bbca可得(利用焦点到渐近线的距离为 b)。 【例 7 7 】如图, 是椭圆 与双曲线 的公共焦点, 分别是 在第二、四象限的公共点.若四边形 为矩形,则 的离心率为 ( ) a. b. c. d. l c c l c , a b ab cc2 3ab ab aab422=2 22a b = 3 = e2 1 ,ff 14:221= + yxc2c b a,2 1 ,cc2 1 bfaf2c2 32326o x y a b f 1 f 2 【解析】在双曲线中，可得 ，在椭圆中，利用焦点三角形面积公式得 ，在双曲线中， ， ，

37、 ， ，选 d。 例 【例 8 8 】已知双曲线 的左,右焦点分别为 ,点 在双曲线的右支上,且,则此双曲线的离心率 的最大值为 ( ) a. b. c. d. 【解析】由 得 ，即223pf a c a = ³ - ，513e < £ 。 2. 巩固提升综合练习 习 【练习 1 1 】双曲线2 22 21x ya b- = ( , )的左、右焦点分别是 ,过 作倾斜角为 的直线交双曲线右支于 点,若 垂直于 轴,则双曲线的离心率为 ( ) a. b. c. d. 【解析】设 t pf =2， t pf 21= ，则 t f f 32 1= ，即 t a = 2 ，

38、t c 3 2 = ， 322= =ace ，选 b。 秒杀公式：( )330 sin 90 sin30 90 sin=° - °° + °= e ，选 b。 习 【练习 2 2 】椭圆2 22 2: 1( 0)x ya ba bg + = > > 的左、右焦点分别为1 2, f f ,焦距为 c 2 ,若直线 3( ) y x c = + 与椭圆 g 的一个交点 m 满足1 2 2 12 mff mf f Ð = Ð ,则该椭圆的离心率等于 . 【解析】秒杀公式：( )1 321 3130 sin 0 6 sin90 s

39、in- =+=° + °°= e 。 【练习 3 3 】已知椭圆2 22 21( 0)x ym a ba b+ = > > ： ，双曲线2 22 21x ynm n- = ： 若双曲线 n 的两条渐近线与椭圆 m的四个交点及椭圆 m 的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆 m 的离心率为 ；双曲线 n 的离心率为 【解析】设其中一个交点为 p ，则2 1 fpf d 为焦点直角三角形，设 11= pf ，则有 2 , 32 1 2= = f f pf ，椭圆的离心率为 1 31- = e ，双曲线渐近线的倾斜角为 ° 60 ，双曲线的离心率

40、为 2。 3 = c 12tan212 1= × =dqb sf af12tan22222 1= = × =db b sf afq12= b 22= a 26= e2 22 21,( 0, 0)x ya ba b- = > >1 2, f f p1 2| | 4| | pf pf = e43532731 24 pf pf =2 22 4 a pf pf + =0 a > 0 b >1 2, f f1f ° 30m2mf x6 3 233 【练习 4 4 】1f 和2f 分别是双曲线2 22 21( 0, 0)x ra ba b- = >

41、; > 的两个焦点, a 和 b 是以 o 为圆心,以1f o 为半径的圆与该双曲线左支的两个交点,且 是等边三角形,则双曲线的离心为 ( ) a. b. c. d. 3 1+ 【解析】取2 1 faf d ，秒杀公式：( )1 321 3130 sin 0 6 sin90 sin+ =-=° - °°= e ，选 d。 习 【练习 5 5 】在 中, , .若以 为焦点的椭圆经过点 ,则该椭圆的离心率 【解析】：设 ，则 ， ， ， 。 秒杀公式： 。 【练习 6 6】 】设 是等腰三角形, ,则以 为焦点且过点 的双曲线的离心率为( ) a. b. c.

42、 d. 【解析】 c bc ab 2 = = ， ， ， ，选 b。 【练习 7 7 】已知 为坐标原点, 是椭圆 的左焦点, 分别为 的左、右顶点.为 上一点,且 轴.过点 的直线 与线段 交于点 ,与 轴交于点 .若直线 经过 的中点,则 的离心率为 ( ) a. b.21 c.32 d.43 【解析】由线段成比例得：ac aoemf -= ，c aamfoe+=21，得31= e ，选 a。 习 【练习 8 8 】(2021 年新课标全国卷 ii9)若双曲线 c : （ ， ）的一条渐近线被圆ab f 2 d3 525abc 90 a Ð =3tan4b = , a b ce

43、=t ac 3 = t bc 5 = t c ab 4 2 = = t a 8 2 =218422= = =ttace2153154=+= eabc d 120 abc Ð = , a b c22 1+23 1+2 1+ 3 1+ c ac 3 2 = c c a 2 3 2 2 - =21 32 3 2222 +=-= =c ccaceo f ) 0 ( 1 :2222> > = + b abyaxc b a, cp c pf x a l pf m ye bm oe c312 22 21x ya b- = 0 a > 0 b > 所截得的弦长为 2,则 c

44、的离心率为 ( ) a.2 b. c. d. 【解析】由圆心到渐近线的距离为 3 ，即 32 22 2= =+cbb ab，平方得 2 = e ； 秒杀方法：画图可得渐近线的倾斜角为3p，即 3 =ab，平方得 2 = e 。 【练习 9 9 】(2021 年新课标全国卷 iii10)已知椭圆 c :2 22 21x ya b+ = ( 0 , 0 > > b a )的左、右顶点分别为2 1 ,aa ,且以线段2 1 aa 为直径的圆与直线 2 0 bx ay ab - + = 相切,则 c 的离心率为 ( ) a.63 b.33 c.23 d.13 【解析】因为圆与直线相切，即圆

45、心到直线距离等于 a 得： acabb aab= =+2 22 2，即 b c 2 = ， b a 3 = ，36= e ，选 a。 【练习 10】 】过双曲线 的左焦点且垂直于 轴的直线与双曲线相交于 两点,以 为直径的圆恰好过双曲线的右顶点,则双曲线的离心率等于 . 【解析】设右顶点为 ，左焦点为 ，则 为等腰直角三角形，可得 ，即，得 ， ， （舍去）。 习 【练习 11 】从椭圆2 22 21( 0)x ya ba b+ = > > 上一点 p 向 x 轴作垂线,垂足恰为左焦点1f , a 是椭圆与 x 轴正半轴的交点, b 是椭圆与 y 轴正半轴的交点,且 op ab /

46、 ( o 是坐标原点),则该椭圆的离心率是 ( ) a.24 b.12 c.22 d.32 【解析】 op ab/ q ， o pf1d boa d ，babac2= ， c b = ，22= e ，选 c。 ( )222 4 x y - + =3 22 332 22 21x ya b- = ( ) 0, 0 a b > > x , m nmn2a1f2 1 amf d c aab+ =20 22 2= - - a ac c 0 22= - -e e 2 = e 1 - = e 【练习 12 】(2021 年新课标全国卷 ii)若 1 > a ,则双曲线 1222= - ya

47、x的离心率的取值范围是 ( ) a. 2 +¥ （ ， ） b. 2 2 （ ，） c. 2 （1， ） d. 12 （，） 【解析】 21112 22< + =+=a aae ，选 c。 【三】双曲线的渐近线 1. 例题 【例 1 1 】已知双曲线 c :2 22 21x ya b- = ( 0, 0 a b > > )的离心率为52,则 c 的渐近线方程为 ( ) a.14y x = ± b.13y x = ± c.12y x = ± d. y x = ± 【解析】由25= =ace ，得21=ab，选 c。 例 【例 2

48、 2 】已知 0 , 0 > > b a ,椭圆1c 的方程为 12222= +byax,双曲线2c 的方程为 12222= -byax,1c 与2c 的离心2 2mx ny l - =2 20 mx ny Þ - =xaby ± = xbay ± =2 2 2 22 2 2 21x y x ya b a bl - = Þ - =2 20 ( ) ( ) ax by ax by l ± = Þ - =b 率之积为23,则2c 的渐近线方程为 ( ) a. b. c. d. 0 y 2x = ± 【解析】 q232

49、 2 2 2=+´-ab aab a，得22=ab，选 a。 【例 3 3 】设双曲线 c 经过点 ( ) 2,2 ,且与2214yx - = 具有相同渐近线,则 c 的方程为 ；渐近线方程 为 . 【解析】设双曲线方程为： l = -224xy，代入点 ( ) 2,2 得 l =-3，双曲线的方程为： 112 32 2= -y x，渐近线方程为 x y 2 ± = 。 【例 4 4 】(2021 年新课标全国卷 ii)已知双曲线过点 ,且渐近线方程为 ,则该双曲线的标准方程为 【解析】设双曲线方程为： l = -224yx，将点 ( ) 3 4， 代入得 1 = l ，所

50、以双曲线方程为 1422= - yx。 【例 5 5 】已知双曲线2 22 21( 0, 0)x ya ba b- = > > 的离心率为 2，过右焦点且垂直于 x 轴的直线与双曲线交于b a, 两点. 设 b a, 到双曲线同一条渐近线的距离分别为1d 和2d ，且1 26 d d + = ，则双曲线的方程为 ( ) a.2 214 12x y- = b.2 2112 4x y- = c.2 213 9x y- = d.2 219 3x y- = 【解析】秒杀方法：由梯形中位线知,焦点到此渐近线的距离为 3，即 3 = b ，选 c。 【例 6 6 】(2021 年新课标全国卷

51、iii)设1 2f f ， 是双曲线 ) 0 , 0 ( 1 :2222> > = - b abyaxc 的左，右焦点， o 是坐标原点.过2f 作 c 的一条渐近线的垂线,垂足为 p .若 op pf 61= ,则 c 的离心率为 ( ) a. 5 b.2 c. 3 d. 2 【解析】： q2| | pf b = , | | po a = ，又因为1| | 6| | pf op = ，所以1| | 6 pf a = ，在2rt pof d 中， 0 2 x = ± y 0 2 = ± y x 0 2y x = ±( )4, 312y x = 

52、7; 22| |cos| |pf bof cq = = ，在2 1 fpf d 中，2 2 22 1 2 12 1 2| | | | | |cos2 | | | |pf ff pf bpf ff cq+ -= =× ×， 2 2 22 2 2 2 2 2 2 24 ( 6 )4 6 4 4 6 3 32 2b c a bb c a b c a c ab c c+ -= Þ + - = Þ - = -×2 23 c a Þ = 3 e Þ = 。 2. 巩固提升综合练习 【练习 1 1 】若双曲线2 22 21x ya b-

53、= 的离心率为 3 ,则其渐近线方程为 ( ) a. x y 2 ± = b. x y 2 ± = c.12y x = ± d.22y x = ± 【解析】由 3 = =ace ，得 2 =ab，选 b。 【练习 2 2 】求与双曲线2 219 16x y- = 有公共的渐近线,且经过点 a ()3,2 3 - 的双曲线的方程. 【解析】设双曲线方程为： l = -16 92 2y x，代入点 a 得41= l ，双曲线方程为：2 2419 4x y- = 。 【练习 3 3 】若双曲线的渐近线方程为 x y 3 ± = ,它的一个焦点是 (

54、10,0) ,则双曲线的方程是 . 【解析】设双曲线方程为： l = -2 29 y x ，因为焦点在 x 轴上，化简为 192 2= -lly x， 109= + ll得 9 = l ，双曲线方程为： 1922= -yx 。 【练习 4 4 】已知 f 是双曲线 c :2 23 ( 0) x my m m - = > 的一个焦点,则点 f 到 c 的一条渐近线的距离为 ( ) a. 3 b.3 c. 3m d. 3m 【解析】由秒杀公式得 3 = b ，选 a。 【练习 5 5 】已知双曲线2 2214x yb- = 的右焦点与抛物线 x y 122= 的焦点重合,则该双曲线的焦点到其渐近线 的距离等于 ( ) a. 5 b. 4 2 c.3 d.5 【解析】抛物线与双曲线的焦点为 ( ) 0 3， ，则 b= 5 ，双曲线的焦点到其渐近线的距离为