课题：导数的应用--极值点知识分享

1、课题：导数的应用-极值点 一般地，设函数一般地，设函数f(x)在在点点x0附近有定义附近有定义，如果对如果对x0附近的所有的点附近的所有的点,都有都有f(x)f (x0),我我们就说们就说f (x0)是函数是函数f(x)的一个极大值的一个极大值,记作记作y极大值极大值= f (x0)；如果对如果对x0附近的所有的点附近的所有的点,都有都有f(x)f (x0)，我们就说我们就说f (x0)是函数是函数f(x)的一的一个极小值，记作个极小值，记作y极小值极小值=f (x0). 极大值与极小值同称为极值极大值与极小值同称为极值.我行我行 我能我能 我要成功我要成功 我能成功我能成功函数极值的定义函数

2、极值的定义 数学建构数学建构 我行我行 我能我能 我要成功我要成功 我能成功我能成功 （1）极值是某一点附近的小区间而言极值是某一点附近的小区间而言 的的,是函数的局部性质是函数的局部性质,不是整体的最值不是整体的最值; （2）函数的极值不一定唯一函数的极值不一定唯一,在整个定在整个定义区间内可能有多个极大值和极小值；义区间内可能有多个极大值和极小值； （3）极大值与极小值没有必然关系，极大值与极小值没有必然关系，极大值可能比极小值还小极大值可能比极小值还小. 学生活动学生活动o oax1x2x3x4bxyP(x1,f(x1)y=f(x)Q(x2,f(x2) 观察图像并类比于函数的单调性与导数

3、关系的研观察图像并类比于函数的单调性与导数关系的研究方法究方法,看极值与导数之间有什么关系看极值与导数之间有什么关系?我行我行 我能我能 我要成功我要成功 我能成功我能成功o a x0 b x y xx0 0左侧左侧 x0 x0 0右侧右侧 f (x) f(x) o a x0 b x y xx0 0左侧左侧 x0 x0 0右侧右侧 f (x) f(x)增增f (x) 0f (x) =0f (x) 0极大值极大值减减f (x) 0数学建构数学建构请问如何判断请问如何判断f (x0)是极大值或是极小值？是极大值或是极小值？左正右负为极大，右正左负为极小左正右负为极大，右正左负为极小我行我行 我能我

4、能 我要成功我要成功 我能成功我能成功函数函数y=f(x)的导数的导数y/与函数值和极值之间的关系为与函数值和极值之间的关系为( )A、导数、导数y/由负变正由负变正,则函数则函数y由减变为增由减变为增,且有极大值且有极大值B、导数、导数y/由负变正由负变正,则函数则函数y由增变为减由增变为减,且有极大值且有极大值C、导数、导数y/由正变负由正变负,则函数则函数y由增变为减由增变为减,且有极小值且有极小值D、导数、导数y/由正变负由正变负,则函数则函数y由增变为减由增变为减,且有极大值且有极大值D学生活动学生活动小试牛刀篇小试牛刀篇(数学运用数学运用)的的极极值值求求函函1 144313xxf

5、(x)数：例 解解: : f (x)=x2- 4,由由f (x) =0解得解得 x1=2,=2,x2=-2.=-2.当当x变化时变化时, , f (x) 、 f(x)的变化情况如下表：的变化情况如下表： f(x) f (x) x 当当x=2=2时时, ,y极小值极小值=28/3=28/3；当当x= =-2-2时时, , y极大值极大值=-4/3=-4/3. .(-,-2)(-,-2)-2-2(-2,2)(-2,2)2 2(2,+)(2,+)+ +0 00 0- -+ +极大值极大值28/3极小值极小值- 4/3我行我行 我能我能 我要成功我要成功 我能成功我能成功我行我行 我能我能 我要成功我

6、要成功 我能成功我能成功小吃篇小吃篇求下列函数的极值求下列函数的极值xxy 11 ）（16128223 xxxy）（ 渐入佳境篇渐入佳境篇v探索探索: x =0是否为函数是否为函数f(x)=x3的极值点的极值点?x yOf ( (x) ) x3 3v 若寻找可导函数极值点若寻找可导函数极值点,可否可否只由只由f (x)=0 0求得即可求得即可? ? f (x)=3=3x2 2 当当f (x)=0=0时，时，x =0=0，而而x =0=0不是不是该函数的极值点该函数的极值点. .f (x0) =0 =0 x0 是可导函数是可导函数f(x)的极值点的极值点 x0左右侧导数异号左右侧导数异号 x0

7、是函数是函数f(x)的极值点的极值点 f (x0) =0=0我行我行 我能我能 我要成功我要成功 我能成功我能成功注意：注意：f /(x0)=0是函数取得极值的必要不充分条件是函数取得极值的必要不充分条件请思考求可导函数的极值的步骤请思考求可导函数的极值的步骤: 检查检查 在方程在方程 0的根的左右两侧的的根的左右两侧的 符号，确定极值点。符号，确定极值点。(最好通过列表法最好通过列表法) 确定函数的定义域；确定函数的定义域； 求导数求导数)(xf 求方程求方程)(xf =0的根的根,这些根也称为这些根也称为可能可能极值点；极值点；)(xf )(xf 我行我行 我能我能 我要成功我要成功 我能

8、成功我能成功一览众山小一览众山小v 强调强调:要想知道要想知道 x0是极大值点还是极小值是极大值点还是极小值点就必须判断点就必须判断 f (x0)=0=0左右侧导数的符号左右侧导数的符号. 案例分析案例分析我行我行 我能我能 我要成功我要成功 我能成功我能成功 函数函数 在在 时有极值时有极值1010，则，则a，b的值为（的值为（ ）( (选自选自高中数学中学教材全解高中数学中学教材全解薛金星主编）薛金星主编）A A、 或或 B B、 或或C C、 D D、 以上都不对以上都不对 223)(abxaxxxf 1 x3, 3 ba11, 4 ba1, 4 ba11, 4 ba11, 4 baC，

9、解解:由题设条件得：由题设条件得： 0)1(10)1(/ff 0231012baaba解之得解之得 11433baba或或通过验证，都合要求，故应选择通过验证，都合要求，故应选择A。 注意：注意：f/(x0)=0是函数取得极值的必要不充分条件是函数取得极值的必要不充分条件注意代注意代入检验入检验 我行我行 我能我能 我要成功我要成功 我能成功我能成功变式训练变式训练 函数函数f(x)=x3+3ax2+3(a+2)x+3既既有极大值，又有极小值，则有极大值，又有极小值，则a的取值的取值范围为范围为 。12 aa或或注意：注意：导数与方程、不等式的结合应用导数与方程、不等式的结合应用庖丁解牛篇庖丁

10、解牛篇(感受高考感受高考）我行我行 我能我能 我要成功我要成功 我能成功我能成功 abxy)(xfyO abxy)(xfyO （2006年天津卷年天津卷)函数函数 的定义域为开区间的定义域为开区间)(xf导函数导函数 在在 内的图像如图所示，则函数内的图像如图所示，则函数在开区间在开区间 内有（内有（ ）个极小值点。）个极小值点。 A.1 B.2 C.3 D. 4)(xf ),(ba),(ba),(ba)(xfAf (x) 0f (x) =0注意：注意：数形结合以及原函数与导函数图像的区别数形结合以及原函数与导函数图像的区别我行我行 我能我能 我要成功我要成功 我能成功我能成功32( )f x

11、axbxcx2.(2.(2006年年北京卷北京卷) )已知函数已知函数在点在点 处取得极大值处取得极大值5,其导函数其导函数 的图像的图像(如图如图)过点（过点（1,0）,（2,0）, 求：求：（1） 的值；（的值；（2）a,b,c的值；的值；0 x( )yfx0 x2,9,12abc .10 x)0(23(2/ acbxaxxf）或或 23332acab庖丁解牛篇庖丁解牛篇(感受高考感受高考）5)1( cbaf0412)2(023)1(/cbafcbaf 略解：略解：(1)由图像可知：由图像可知：(2)注意：注意：数形结合以及函数与方程思想的应用数形结合以及函数与方程思想的应用一吐为快篇一吐为快篇（小结）（小结）本节课主要学习了哪些内容？本节课主要学习了哪些内容？请想一想？请想一想？我行我行 我能我能 我要成功我要成功 我能成功我能成功1、极值的判定方法、极值的判定方法2、极值的求法、极值的求法注意点：注意点：1、f /(x0)=0是函数取得极值的必要不充分条件是函数取得极值的必要不充分条件2、数形结合以及函数与方程思想的应用、数形结合以及函数与方程思想的应用3、要想知道要想知道 x0是极大值点还是极小值点就必是极大值点还是极小值点就必须判断须判断 f (x0)=0=0左右侧导数的符号左右侧导数的符