第8章 编程中的数学处理方法

1、第第8 8章章 数控编程中的数学处理数控编程中的数学处理8-1 编程中数学处理阶段的任务编程中数学处理阶段的任务编程中的数学处理阶段的主要任务是进编程中的数学处理阶段的主要任务是进行数值计算。行数值计算。数值计算：根据零件图纸，按照已经确数值计算：根据零件图纸，按照已经确定的加工路线和允许的编程误差，计算定的加工路线和允许的编程误差，计算数控系统所需要输入的数据，称为数值数控系统所需要输入的数据，称为数值计算。计算。一、构成零件轮廓曲线的种类一、构成零件轮廓曲线的种类一般构成零件轮廓的曲线有以下三类一般构成零件轮廓的曲线有以下三类: :第一类：仅由圆弧和直线组成第一类：仅由圆弧和直线组成对于这

2、种零件轮廓，由于数控装置一般都具对于这种零件轮廓，由于数控装置一般都具有直线插补和圆弧插补功能，因此，只需要有直线插补和圆弧插补功能，因此，只需要计算各基点坐标。计算各基点坐标。 基点：即两相邻几何元素的交点或切点。基点：即两相邻几何元素的交点或切点。第二类：可以用已知方程描述的曲线第二类：可以用已知方程描述的曲线 对于这类曲线，若数控装置的插补功能与对于这类曲线，若数控装置的插补功能与零件轮廓相符合，则只进行基点计算，否零件轮廓相符合，则只进行基点计算，否则还要进行节点计算。则还要进行节点计算。节点：按照编程允许误差，用直线插补或节点：按照编程允许误差，用直线插补或圆弧插补去逼近零件轮廓曲线

3、时，相邻两圆弧插补去逼近零件轮廓曲线时，相邻两直线段或圆弧的交点或切点，称为节点。直线段或圆弧的交点或切点，称为节点。 第三类：列表曲线第三类：列表曲线 不能用特征方程描述，而是以离散的坐标不能用特征方程描述，而是以离散的坐标点给出的曲线。点给出的曲线。对于这类曲线，首先，要构造一条样条曲对于这类曲线，首先，要构造一条样条曲线，建立数学模型，即第一次逼近；再按线，建立数学模型，即第一次逼近；再按照处理第二类曲线的数学处理方法，进行照处理第二类曲线的数学处理方法，进行基点和节点的计算。基点和节点的计算。二、程序编制的允许误差二、程序编制的允许误差数控加工误差：数控加工误差：数加数加=f(=f(程

4、程, ,控控, ,拖拖, ,定定, ,刀刀,.),.)对刀误差对刀误差定位误差定位误差拖动系统误差拖动系统误差数控装置系统误差数控装置系统误差程序编制误差程序编制误差其中其中, ,拖拖和 和 定定常常常占数控常占数控加工误差加工误差的大部分。的大部分。程序编制误差：程序编制误差：程程=f=f（插插，计计）计算误差计算误差插补误差插补误差程程一般允许占零件公差的一般允许占零件公差的10%10%20%20%。插补误差插补误差当需要用直线或圆弧当需要用直线或圆弧插补功能去逼近所加插补功能去逼近所加工的曲线时，直线或工的曲线时，直线或圆弧与零件轮廓曲线圆弧与零件轮廓曲线间有个最大差值（沿间有个最大差值

5、（沿零件轮廓法线方向测零件轮廓法线方向测量），这个差值称为量），这个差值称为插补误差。插补误差。 插补误差插补误差 理论轮廓理论轮廓实际轮廓实际轮廓y=f(x)显然，减小插补误显然，减小插补误差的最简单方法是差的最简单方法是缩短直线段的长度，缩短直线段的长度，即密化插补点。即密化插补点。机床所具备的插补机床所具备的插补功能与所插补的曲功能与所插补的曲线一致时，则认为线一致时，则认为没有插补误差。没有插补误差。插补误差插补误差 理论轮廓理论轮廓实际轮廓实际轮廓y=f(x)8-2 已知数学方程的平面轮廓曲线数学处理已知数学方程的平面轮廓曲线数学处理数学处理主要解决如下问题：数学处理主要解决如下问题

6、：1.1.选择插补方式即采用直线插补还是采用圆选择插补方式即采用直线插补还是采用圆弧插补去逼近。弧插补去逼近。2.2.计算插补点的坐标计算插补点的坐标 3.3.刀具中心轨迹的计算刀具中心轨迹的计算4.4.按数控系统输入格式要求，采用手工或计按数控系统输入格式要求，采用手工或计算机辅助编程方式，编制加工程序。算机辅助编程方式，编制加工程序。一、用直线插补逼近一、用直线插补逼近 1.1.等间距法等间距法（1 1）特点：）特点：每个程序段的一个坐每个程序段的一个坐标增量相等。标增量相等。（2 2）计算原则：）计算原则：在直角坐标系中，是在直角坐标系中，是相邻节点的相邻节点的X X坐标或坐标或Y Y坐

7、标增量相等。坐标增量相等。等间距法求节点坐标等间距法求节点坐标在极坐标系中，是相在极坐标系中，是相邻节点转角坐标增量邻节点转角坐标增量或径向坐标增量相等。或径向坐标增量相等。（3 3）计算步骤：）计算步骤：由起点开始每次增加由起点开始每次增加一个坐标增量值，代一个坐标增量值，代入轮廓曲线方程入轮廓曲线方程y=f(x)y=f(x)中求出另一个坐标值。中求出另一个坐标值。等间距法求节点坐标等间距法求节点坐标2.2.等插补段法等插补段法（等弦长法）（等弦长法） （1 1）特点：）特点：所有插补线段的弦长所有插补线段的弦长相等，插补误差不等。相等，插补误差不等。（2 2）计算原则：）计算原则：插插ma

8、xmax允允，插插maxmax发生在最小曲率半径发生在最小曲率半径处。处。 等插补段法求节点坐标等插补段法求节点坐标 （3 3）求节点的计算步骤：）求节点的计算步骤：确定最小曲率半径确定最小曲率半径已知：已知：y=f(x)y=f(x)，曲线的曲率半径计算公式为：，曲线的曲率半径计算公式为： 令令 整理得：整理得：由此解出由此解出X X值，代入值，代入R R表达式中，即可求得表达式中，即可求得R Rminmin0dXdR0)(1)(322 yyyyyyR 232)(1确定步长确定步长L L在误差三角形中，有在误差三角形中，有 取取 R=RR=Rminmin 可得：可得：确定节点坐标确定节点坐标以

9、曲线的起点以曲线的起点a a为圆心，为圆心，l为半径作圆，交曲线为半径作圆，交曲线y=f(x)y=f(x)于于b b点，其方程为点，其方程为: :2max22)()2(RRl允max允min8Rl允min228)()(Ryyxxoo)(xfy 联立求解（联立求解（x x1 1,y,y1 1）为节点）为节点b b的坐标。的坐标。依次以依次以b b、c c、d d、e e、f f为圆心，即可求得为圆心，即可求得坐标点的坐标值。坐标点的坐标值。通解：通解：适用情况：适用于曲率变化不很大的情况。适用情况：适用于曲率变化不很大的情况。允min21218)()(Ryyxxiiii)( xfy ),.,2,

10、 1(ni 3.3.等插补误差法：等插补误差法：特点：各插补段的特点：各插补段的插补误差相等；插补误差相等；计算原则：计算原则： 计算步骤：计算步骤：1 1）以曲线起点为圆）以曲线起点为圆心，为半径作圆，心，为半径作圆，圆方程为：圆方程为：允插允22020)()(允yyxx等插补误差法求节点坐标等插补误差法求节点坐标 2 2）作圆与曲线）作圆与曲线y=fy=f（x x）的公切线，得二切）的公切线，得二切点点(X(X0 0,Y,Y0 0) )，(X(X1 1,Y,Y1 1) )。公切线方程为：公切线方程为： 式中式中 切线在切线在(X(X1 1,Y,Y1 1) )处的斜率处的斜率 .(A).(A

11、)切线在切线在(X(X0 0,Y,Y0 0) )处的斜率处的斜率.(B).(B) 联立解联立解(A)(B)(A)(B)二方程即可求得（二方程即可求得（X X0 0,Y,Y0 0）, ,（X X1 1,Y,Y1 1）, ,于是求得切线斜率于是求得切线斜率k k。 bkxy0101XXYYk)()(1101011XfYXXYYXfk)()(0001010XFYXXYYXFk3 3）过圆心点（）过圆心点（x xo o，y yo o）作斜率为）作斜率为k k的直线：的直线：y-yy-yo o=k=k（x-xx-xo o）联立解联立解 y=fy=f（x x） y-yy-yo o=k=k（x-xx-xo

12、o）求得第一个节点（求得第一个节点（x x1 1，y y1 1）4 4）重复上述过程，可求得其余各节点坐标。）重复上述过程，可求得其余各节点坐标。这种方法优点：在保证这种方法优点：在保证插插的条件下，可得的条件下，可得到最少的程序段数目。但计算过程较复杂，到最少的程序段数目。但计算过程较复杂，需解方程组，要借助于计算机辅助计算。需解方程组，要借助于计算机辅助计算。 4.4.逐段比较法逐段比较法曲线为单凸（凹）时，曲线为单凸（凹）时，取两个端点作为第一次取两个端点作为第一次线性逼近，计算插补误线性逼近，计算插补误差与比较，不满足时差与比较，不满足时取区间的中点作为右端取区间的中点作为右端点，进行

13、第二次逼近，点，进行第二次逼近，如此循环直到如此循环直到时，即取该次的右端点时，即取该次的右端点作为一个插补点，余下作为一个插补点，余下区间重复上述过程。区间重复上述过程。允插逐段比较法直线插补逐段比较法直线插补 允计算步骤：计算步骤：（1 1）将曲线分成单凸）将曲线分成单凸（凹）的区段，分段进（凹）的区段，分段进行插值。行插值。（2 2）对每一个区间段）对每一个区间段按下面公式计算按下面公式计算tgNHNHGHtghyyNHhyyarctgxxhiiiiiiMiiiiiiii11cos2111逐段比较法直线插补逐段比较法直线插补 H Hi iG G即这一次的即这一次的 插插。 判断判断允插二

14、、刀位点轨迹的计算二、刀位点轨迹的计算刀位点轨迹刀位点轨迹就是被加工零件轮廓的等就是被加工零件轮廓的等距线。距线。 1.1.等距线求交法等距线求交法2.2.刀具偏移矢量法刀具偏移矢量法1.等距线求交法等距线求交法2.2.刀具偏移矢量法刀具偏移矢量法三、用圆弧插补逼近三、用圆弧插补逼近1.1.三点作圆法三点作圆法（1 1）P P1 1(x(x1 1,y,y1 1),P),P2 2(x(x2 2,y,y2 2),P),P3 3(x(x3 3,y,y3 3) )三点作圆三点作圆, ,圆圆的方程用行列式表示为的方程用行列式表示为: :解行列式化成标准形式解行列式化成标准形式: :01111332323

15、22222211212122yxyxyxyxyxyxyxyx022FEyDxyxYXy=f(x)P4P3P2P1R2.2.双圆弧逼近法双圆弧逼近法（1 1）定义）定义是指在曲线上的每是指在曲线上的每两个相邻节点（型两个相邻节点（型值点和插值点）之值点和插值点）之间，利用已知的曲间，利用已知的曲线端点斜率，作彼线端点斜率，作彼此相切的两段圆弧此相切的两段圆弧来代替原来的一段来代替原来的一段曲线。曲线。（2 2）双圆弧逼近的要求）双圆弧逼近的要求两段圆弧在子区间端两段圆弧在子区间端点处取值；点处取值；两段圆弧在子区间端两段圆弧在子区间端点处切线取该点处的点处切线取该点处的值；即在端点处与函数值；即

16、在端点处与函数共切线。共切线。两段圆弧在子区间内两段圆弧在子区间内相切连接；相切连接；最大插补误差：最大插补误差： )(xS)(xS允max（3 3）用作图法证明满足）用作图法证明满足上述要求的双圆弧存在。上述要求的双圆弧存在。作图步骤：作图步骤：由由S(xS(xj-1j-1) )及及S(xS(xj j) )作切线作切线P Pj-1j-1Q Q及及P Pj jQ Q，交点，交点Q Q；在在QPQPj-1j-1及及P Pj jQ Q上截取任意上截取任意长长l l，得到，得到A A、D D两点；两点；作作ADAD中垂线，得交点中垂线，得交点E E、F F； 过过P Pj-1j-1点作点作P Pj-

17、1j-1Q Q垂线交垂线交EFEF于于O Oj-1j-1，此即第一段圆弧，此即第一段圆弧的圆心；的圆心；过过O Oj-1j-1点作点作EDED的垂线，垂的垂线，垂足足T T点点两段圆弧的公两段圆弧的公切点；切点；过过P Pj j作作P Pj jQ Q垂线交垂线交O Oj-1j-1T T于于O Oj j点，此即第二段圆弧点，此即第二段圆弧的圆心。的圆心。 两圆弧的公切点两圆弧的公切点T T轨迹分析轨迹分析公切点有无数个，公切点有无数个，其轨迹是过其轨迹是过P Pi-i-1 1QPQPi i内心及内心及P Pi-1i-1、P Pi i的一段圆弧。的一段圆弧。（4 4）用解析法计算）用解析法计算公切

18、点公切点T T及圆心及圆心O Oj-1j-1、O Oj j，半径，半径R Rj-1j-1、R Rj j步骤：步骤：求求X XQ Q，Y YQ Q 求边长求边长a a，b b，cc求求EPEPj-1j-1长长求求X XE E，Y YE E 计算计算X XT T，Y YT T 计算圆心计算圆心O Oj-1j-1，O Oj j，半径半径R Rj-1j-1，R Rj j。 （5 5）插补精度的控制方法）插补精度的控制方法计算计算: :直到为止直到为止cosTVyy 8-3 列表曲线编程的数学处理方法列表曲线编程的数学处理方法 一、列表曲线编程方法及其数学建模一、列表曲线编程方法及其数学建模1.1.什么

19、是列表曲线（面）？什么是列表曲线（面）？零件设计图中只给出零件轮廓曲线（或曲面）零件设计图中只给出零件轮廓曲线（或曲面）上的许多离散点的坐标值（型值点），并未给上的许多离散点的坐标值（型值点），并未给出轮廓曲线（面）的数学方程，要求加工出的出轮廓曲线（面）的数学方程，要求加工出的曲线（面）准确地通过这些给定的型值点，而曲线（面）准确地通过这些给定的型值点，而且曲线（面）应光滑。且曲线（面）应光滑。这样给出的轮廓曲这样给出的轮廓曲线（面）称为列表曲线（面）。线（面）称为列表曲线（面）。典型的例子典型的例子 这类零件其列表曲线这类零件其列表曲线的列表数据几乎都是的列表数据几乎都是由实验方法或测绘方

20、由实验方法或测绘方式取得的，各坐标点式取得的，各坐标点之间没有一定的连接之间没有一定的连接规律。规律。 列表曲线的特点：列表曲线的特点：通过型值点；通过型值点；如果构造列表曲线的数学表如果构造列表曲线的数学表达式为达式为: :y=fy=f（x x） 平面曲线平面曲线则则 y yj j=f=f（x xj j）（）（j=0j=0，1 1，n n），其中（），其中（x xj j，y yj j）为型值点。为型值点。A光滑；光滑；曲线一阶导数曲线一阶导数y=fy=f（x x）连续，不出）连续，不出现拐点，各型值点现拐点，各型值点y yj j=f=f（x xj j）处，有）处，有ff（x xj j+ +）

21、=f(x=f(xj j-)=f-)=f（x xj j）有连续变化的曲率有连续变化的曲率; ;即二阶导数应连续。即二阶导数应连续。 2.2.列表曲线的编程方法：列表曲线的编程方法：原始数据工艺处理原始数据工艺处理数学处理数学处理后置处理后置处理程序单程序单穿孔带穿孔带数数据据文文件件光光顺顺处处理理程程序序三次样条三次样条双圆弧样条双圆弧样条圆弧样条圆弧样条机床控制机床控制1 1机床控制机床控制2 2机床控制机床控制N N三次三次B B样条样条列表曲线轮廓零件计算机辅助编程流程列表曲线轮廓零件计算机辅助编程流程用来描述列表曲线轮廓的数学方程式应该满用来描述列表曲线轮廓的数学方程式应该满足下述要求

22、足下述要求: :（1 1）方程式所表示的零件轮廓曲线应通过）方程式所表示的零件轮廓曲线应通过给定的坐标点给定的坐标点( (型值点型值点) )，或与所给定的坐标，或与所给定的坐标点位置之差在允许的误差范围内。点位置之差在允许的误差范围内。（2 2）方程式应尽量简单，一般为二次曲线）方程式应尽量简单，一般为二次曲线方程方程, ,最多是三次曲线方程。最多是三次曲线方程。（3 3）当由几个曲线方程式表示列表曲）当由几个曲线方程式表示列表曲线时，方程式之间的连接处应光滑，即线时，方程式之间的连接处应光滑，即在连接点有连接的一阶导数或二阶导数。在连接点有连接的一阶导数或二阶导数。（4 4）方程式表示的轮廓

23、曲线应与给出）方程式表示的轮廓曲线应与给出型值点的轮廓曲线凹凸性一致，即不应型值点的轮廓曲线凹凸性一致，即不应在型值点的凹凸性之外增加新的点。在型值点的凹凸性之外增加新的点。数学处理的结果是通用的，而后置处理的结数学处理的结果是通用的，而后置处理的结果只是用于某一特定机床，是专用的。果只是用于某一特定机床，是专用的。因此，后置处理就是根据数学处理后所得到因此，后置处理就是根据数学处理后所得到的刀位文件及机床特性信息文件的内容，将的刀位文件及机床特性信息文件的内容，将其处理成相应数控机床及其控制系统能够识其处理成相应数控机床及其控制系统能够识别的控制指令，即获得特定机床加工用的程别的控制指令，即

24、获得特定机床加工用的程序。序。二、三次样条函数在数控编程中的应用二、三次样条函数在数控编程中的应用1.1.三次样条的力学背景三次样条的力学背景 材料力学中，梁弯曲变形，其曲线的曲率由欧材料力学中，梁弯曲变形，其曲线的曲率由欧拉公式给定：拉公式给定：EJxMxk)()(弯矩弯矩截面惯性矩截面惯性矩弹性模数弹性模数曲率曲率由数学公式：由数学公式：)(1)(xRxKyyxR 232)(1 )(有有: : EJxMyy)()(1 232 对于小挠度曲线：对于小挠度曲线： 1xy所以所以)(1xMEJy EJEJ合起来代表抗弯刚度，是数值，它与材质及截合起来代表抗弯刚度，是数值，它与材质及截面形状有关。

25、为了使问题简化，令面形状有关。为了使问题简化，令EJ=1EJ=1。)(xMy 由材料力学知：相邻由材料力学知：相邻两集中载荷之间的一两集中载荷之间的一小段梁所受到的弯矩小段梁所受到的弯矩M(x)M(x)是线性函数。见是线性函数。见弯矩图：弯矩图：表明：表明：由于弯矩由于弯矩M(x)M(x)是线性的，即样条函数的二是线性的，即样条函数的二阶导数在任一两型值点之间是线性的（样阶导数在任一两型值点之间是线性的（样条函数是三次多项式）。条函数是三次多项式）。这样，在数学方法中，就有了解决列表曲这样，在数学方法中，就有了解决列表曲线的数学工具。线的数学工具。2.2.三次样条函数的定义三次样条函数的定义设

26、在设在XOYXOY平面上给定平面上给定n+1n+1个有序的型值点列个有序的型值点列(x(x0 0,y,y0 0),(x),(x1 1,y,y1 1),),(x(xn n,y,yn n) ) 其中其中x x0 0 xx1 1 xxn n，若有函数，若有函数S(x)S(x)适合下列条件适合下列条件: :) ); ;) )在区间上二阶连续可导在区间上二阶连续可导; ;) )在每一个子区间上，是在每一个子区间上，是x x的三次多项式。的三次多项式。则称函数是关于型值点列的三次样条函数，简则称函数是关于型值点列的三次样条函数，简而言之，三次样条函数就是全部通过型值点，而言之，三次样条函数就是全部通过型值

27、点，二阶连续可导的分段三次多项式函数。二阶连续可导的分段三次多项式函数。),.,2, 1 ,0()(niyxSii3.3.建立以各型值点处二阶导数为待定系数的分段建立以各型值点处二阶导数为待定系数的分段S(x)S(x)表达式表达式根据样条函数的定义，假定适合型值点列的三次根据样条函数的定义，假定适合型值点列的三次样条函数存在，其二阶导数是线性的，所以在子样条函数存在，其二阶导数是线性的，所以在子区间区间xxi-1i-1，x xi i 上有：上有： (1) (1) baxxS )(设在点设在点x xi-1i-1 处的二阶导数为处的二阶导数为Mi-1，在点，在点x xi i处的二处的二阶导数为阶导

28、数为Mi，则有：，则有：11iiMbaxiiMbax解之可得：解之可得：11111,iiiiiiiiiixxxMxMbxxMMa令令h hi i=x=xi i-x-xi-1i-1并将上式代入式并将上式代入式(1),(1),则则iiiiiiMhxxMhxxxS11)( 式中式中 (i=1,2,(i=1,2,n),n)iixxx1iiiiiiiiiiiiiiiihxxMhyhxxMhyMhxxMhxxxS121213113)6()6(6)(6)()(iiiiiiiiiiiihyyMMhMhxxMhxxxS11211262)(2)()(在处的左右极限分别为：在处的左右极限分别为： )(xSixiii

29、iiiiihyyMhMhxS1136)0(1111133)0(iiiiiiiihyyMhMhxS再利用连续条件，经整理可再利用连续条件，经整理可得个相邻型值点二阶导数关系式。得个相邻型值点二阶导数关系式。)0()0(iixSxS) 1,.,2 , 1(2)1 (11niMMMiiiiii式中式中11iiiihhh11116iiiiiiiiihhhyyhyy再结合给定的端点条件再结合给定的端点条件, ,便构成了关于便构成了关于M Mi i的的n+1n+1个方程组成的个方程组成的n+1n+1元线性方程组元线性方程组: :nnnnnnnnnnMMMMMMMMMMMMM2121.21212111121

30、2322121211010100上式改写为矩阵形式如下上式改写为矩阵形式如下: :nnnnnnnMMMMM121011122110.2102121.21212预备知识：预备知识：曲线的矢函数表达式曲线的矢函数表达式矢函数：设有数性变量矢函数：设有数性变量t t和变矢和变矢P P，如果，如果，对应于对应于t t在某个范围内的每一个值都有一在某个范围内的每一个值都有一个确定的矢量个确定的矢量P P与之对应，则称与之对应，则称P P为数量为数量t t的一个矢函数。的一个矢函数。记作：记作：P=PP=P（t t） ,10ttt 四、四阶三次均匀四、四阶三次均匀B B样条拟合列表曲线样条拟合列表曲线 矢

31、端曲线：矢端曲线：对于自由矢量（只考虑模和方向，作用线可对于自由矢量（只考虑模和方向，作用线可以任意平移），所有矢量的起点设在坐标原以任意平移），所有矢量的起点设在坐标原点，矢函数的矢端描绘出的曲线，称为矢端点，矢函数的矢端描绘出的曲线，称为矢端曲线。曲线。其矢量方程为其矢量方程为P=PP=P（t t）其参数方程为其参数方程为 x=Xx=X（t t） y=Yy=Y（t t） z=Zz=Z（t t） ,10ttt 导矢：导矢： )(),(),()(tztytxtP常用矢量计算公式：常用矢量计算公式：已知：已知：),(1111zyxr ),(2222zyxr 故故 21212121zzyyxxrr

32、kyxyxjxzxzizyzyzyxzyxkjirr221122112211222111211.1.四阶三次均匀四阶三次均匀B B样条曲线的表达式：样条曲线的表达式：利用基函数和四个相邻顶点线性组合，就构利用基函数和四个相邻顶点线性组合，就构作了一段四阶三次均匀作了一段四阶三次均匀B B样条曲线段。样条曲线段。B B样条的基函数可以由多种方法推导，方法不样条的基函数可以由多种方法推导，方法不同，基函数的表达式也会有所不同，但实质同，基函数的表达式也会有所不同，但实质完全一致。完全一致。三次三次B B样条基函数的矩阵表达式：样条基函数的矩阵表达式：0141030303631331 161)(),

33、(),(),(234, 34, 24, 14, 0ttttNtNtNtN 1 , 0tB B样条曲线的表达式：样条曲线的表达式： 304,)()(jjijiVtNtr四阶三次均匀四阶三次均匀B B样条的矩阵表达式：样条的矩阵表达式：321230141030303631331 161)(iiiiiVVVVttttr 1 , 0t3212010102421331 121)(iiiiiVVVVtttr32101211331 1)(iiiiiVVVVttr上述上述B B样条的表达式中下标样条的表达式中下标i i增加增加1 1时，特征多边时，特征多边形顶点为形顶点为V Vi+1i+1、V Vi+2i+2

34、、V Vi+3i+3、V Vi+4i+4定义出一段新的定义出一段新的B B样条曲线段。当样条曲线段。当i=0i=0，1 1，2 2，形成一条曲线，形成一条曲线，称为称为B B样条曲线。每段样条曲线。每段B B样条曲线段只受四个顶样条曲线段只受四个顶点影响，与其它顶点无关。点影响，与其它顶点无关。 2.2.三次三次B B样条的端点特性样条的端点特性321230141030303631331 161)(iiiiiVVVVttttr 1 , 0t3210141030303631331 100061)0(iiiiiVVVVr)(2131)4(61)0(12121iiiiiiiiVVVVVVVr几何意义

35、：几何意义：r ri i（0 0）端点在）端点在V Vi+1i+1m m线段的线段的1/31/3处。处。)(2131)4(61)0(12121iiiiiiiiVVVVVVVr3210141030303631331 1111 61) 1 (iiiiiVVVVr)(2131)4(61) 1 (2312321iiiiiiiiVVVVVVVr类似地，类似地，r ri i（1 1）端点在）端点在V Vi+2i+2mm线段的线段的1/31/3处。处。端点切矢端点切矢: :3212010102421331 121)(iiiiiVVVVtttr321010102421331 10021)0(iiiiiVVVVr)(21)0(2iiiVVr几何意义：平行于几何意义：平行于V Vi iV Vi+2i+2，数值为其一半。，数值为其一半。同理：同理：321010102421331 111 21) 1 (iiiiiVVVVr)(