热力学与统计物理--第八章：量子力学的基本原理与解析

1、关于量子力学基本原理的讨论2012-03什么是量子力学？l量子力学是研究微观粒子系统运动变化规律的理论。l狭义的量子力学：研究对象低能量、无衰变（长寿命）的粒子以及这样的粒子组成的系统，非相对论的（至多考虑相对论修正，例如轨道自旋角动量耦合）。l广义的量子力学：即量子场论，或称“场量子化”。对能量大小，粒子数是否守恒（粒子是否产生、湮灭）等没有限制。量子力学的理论体系l量子力学已经是一门相当成熟的学科，形成了公理化的理论体系。它的全部内容可以从五个基本原理出发，用逻辑推理的方法推演出来。l尽管量子力学的基本原理以及由此推出的全部内容早已得到物理学界的公认，但对基本原理及其某些推论的理解，以及对

2、微观世界物理图像的认识，历来存在很大的分歧。l量子力学是一门成熟的学科，是对基本原理以上是事情而言的；对基本原理以下的事情，是相当不明晰的。量子力学是一幢建在沙地上的大厦。量子力学的基本原理l原理1：描写微观系统状态的数学量是希尔伯特空间中的矢量。相差一个复数因子的两个矢量，描写同一状态。l讨论：l1、我们用归一化的右矢 或左矢 描写系统的状态，称此态为 。与此相应，这个希尔伯特空间可称为态空间。l2、态矢除了常数因子不定性之外还有相位因子不定性，相位因子的作用留待以后讨论。量子力学的基本原理l原理2：(1) 描写微观系统物理量的是希尔伯特空间中的厄米算符；(2) 物理量的可能取值，是相应算符

3、的本征值；(3) 物理量A在状态 中取各值 的概率，与下式中 的复平方成正比： 如果本征值 有简并，即有几个相互正交的本征矢量与之对应，则物理量A取 的概率与这几个本征矢量的系数的复平方成正比。iAiciAiAicciiii,量子力学的基本原理l讨论：l1、“波包的坍缩”处于 态中的系统，如果测量物理量A得值Ai，则该系统在测量后进入A的本征态 。这是哥本哈根学派的基于实用主义的观点，长期以来被物理学家广泛接受，但是它是“超脱”于薛定谔方程的，因为薛定谔方程不能描述“波包坍缩”这样的行为（甚至没有任何数学理论可以描述）。l2、原理2指出，每一个物理量与一个厄米算符相对应，在量子力学中，两者几乎

4、是一回事。i量子力学的基本原理l3、原理2表明，量子力学所掌握的关于微观世界的规律是一种统计规律。物理学的统计性不外乎两种可能：一是微观系统的每一个物理量在每一时刻都具有确切值，只是目前人们只掌握到统计规律的程度；二是微观系统的物理量一般根本就没有确切值，按统计规律取值是微观世界的一个基本规律。这些是基本原理以下的事情，尚无定论。这真是个问题！不确定度关系？测不准原理？ , ,2px量子力学的基本原理l原理2推论：l1、在一个物理量A的本证态 中， A取值Ai的概率为1，去其他值的概率为0。即一个算符(或物理量)在自己的本征态中，是取确切值的，即相应的本征值。l2、在任意态 (已归一化)中，物

5、理量A有确定的平均值，记作iiiiiiiAcAiiiiAAA2|iiciii21量子力学的基本原理l原理3：微观系统中每个粒子的直角坐标下的位置算符Xi (i=1,2,3)和相应的正则动量算符Pi有如下对易关系： 而不同粒子间的所有算符相互对易。l讨论：l1、物理量对应的算符，两两之间有些是不对易的，这是量子力学最重要的特点。ijjijijiiPXPPXX, , 0, , 0,量子力学的基本原理l2、在对易关系中首次出现了 。 的出现，或者说不为零的对易关系的出现，直接导致了某些物理量，如束缚系统的哈密顿（谐振子能级的代数算法）和轨道角动量的量子化。l3、原理3中所说的在直角坐标下的正则动量算

6、符，是指在粒子的经典哈密顿正则方程 中，当正则坐标qi取直角坐标x, y, z时，与经典正则动量pi相对应的算符。iiiiqpqHpppqHq),(,),(量子力学的基本原理l4、量子化： 量子化一词有两个含义：一是指在经典理论中取连续值谱的物理量，在量子力学中变为离散值谱的现象（如束缚系统的能级）；二是指参照系统的经典运动规律写出其量子运动规律的方法（如Bohr的原子“轨道”量子化理论）。 一种常用的量子化方法：来描述系统状态。当的不含时的作用对象、给这些算法找一些适系：、赋予算符如下对易关看成算符：和、将程：、写出系统经典正则方4)(),(, 0)(),(, 0)(),(3)()(),()

7、(2)(),()(,)(),()(1ijjijijiiiiiiiiiiiitPtXtPtPtXtXtPtptXtxpxtxpxHtptppxHtx量子力学的基本原理l经过以上4步的量子化手续，就从系统所服从的经典力学规律，直接进入到海森堡图像的量子力学。史称“一次量子化”。l5、Xi和Pi是最基本的算符，其余有经典对应的物理量，其算符也都是Xi和Pi的函数，这些物理量之间的对易关系，也可以从Xi和Pi的基本对易关系中推出。l6、原理3强调直角坐标，这是因为经典的分析力学中有一些广义坐标和广义动量的概念是为了描述宏观物体提出的，量子力学中未必有经典对应量，也不需要这样的对应量。量子力学的基本原理

8、l原理4：微观系统的状态 随时间变化的规律是薛定谔方程： 式中H(X, P, t)是系统的哈密顿算符。l讨论：l1、哈密顿算符。其函数形式与经典哈密顿相同，取决于系统本身和系统所处外部环境的情况。一般地说，如果我们研究的系统只是一个更大的系统的一部分，并且和更大的系统的其余部分存在能量交换，则所研究的系统的哈密顿是显含时间的。（系统的能量非守恒量，例如系统处在随时间变化的电磁场中。）)(),()(ttPXHtti)(t量子力学的基本原理l2、薛定谔方程是时间的一阶微分方程，只要知道某一时刻系统的状态（初态），就可以得出以后（以及以前）所有时刻系统的状态。l3、当哈密顿不显含时间时，哈密顿算符即

9、系统的能量算符，此时可以用分离变数法，令l从而得到系统的定态薛定谔方程：l此时体系所处的态称定态。注意，如何理解定态？)()(tftEtietEH)(,量子力学的基本原理l原理5：描写全同粒子系统的态矢量，对于任意一对粒子的对调，是对称的或者反对称的。服从前者的粒子称为波色子，服从后者的粒子称为费米子。l讨论：l1、全同粒子系统是由同一种粒子（质量、电荷等内禀性质相同）组成的系统，原理5反映了全同粒子的不可分辨性。l2、对于全同粒子，在其薛定谔方程的全部数学解中，只有满足对称性或反对称性的解，才能描写系统的状态，而其余的解是没有物理意义的。l3、研究全同粒子需进行“二次量子化”，即需解决全同粒

10、子物理上不可分辨和数学上必须编号的矛盾。最后的讨论l量子力学是建立在基本原理之上的理论体系，对基本原理以下的东西，很多都是不知道的，就目前的理论水平而言，目前即无法验真，也无法证伪。l有时候，我们很自然地说出的一句话，那么在量子力学里很可能是不确定，有争议甚至是不知道含义的，如果这句话包含基本原理以下的内容的话。l首先是关于“观测（或测量）”一词。l“观测（或测量）”一词在量子力学里无法准确地定义，并且，量子力学（或者说薛定谔方程）给出的是微观系统被“观测”之前的规律，以及给出了“观测”结果的预言，至于观测过程中以及观测之后发生了什么，量子力学并不涉及，也就是不知道。（这是非常折磨人的事情，可

11、知但不可见！）最后的讨论l“物理量”和“可观测量”。很多时候，我们说“物理量”而不是像狄拉克那样称之为“可观测量”，原因也是不过分强调“观测”。量子力学中出现的物理量很多，并不是个个可观测的，甚至极为常见的轨道角动量的平方，也未见有人指出过其直接观测的方法。l在量子力学的基本问题研究中，有一个很大的领域，称“测量理论”，它属于基本原理以下的问题。（基本原理以下，是否就是微观世界的本质呢，这也是尚无定论的。况且，何谓“本质”？）l其次是关于“统计规律性”。l玻恩对波函数的统计诠释，没人反对量子力学给出的是统计规律。最后的讨论l仍有两种对立的观点：1、认为量子力学对单个粒子成立；2、认为量子力学对

12、统计系综成立。前者认为处于态中的每一个粒子其深一层次的运动都是一样的（即认为量子力学就到头了，没有深一层次的运动了）；后者认为处于态的各粒子深一层次的运动可能是各不相同的。对这个问题，量子力学仍然是不知道答案的。l再比如电子双缝衍射实验。量子力学只能给出电子落在屏上某点的概率，至于这个电子究竟是通过哪个缝过来的，量子力学不知道。l所以，实际上，量子力学能够提供的微观世界的信息是相当少的（而且这多数信息还是看不到的），实质上只包含两方面：最后的讨论l1、在一定外部环境中的微观系统所处的可能的状态；l2、处于某一状态的微观系统，其各个物理量的可能取值和相应的概率。l其他很多事情只能回答“不知道”，甚至连