一道中考压轴题多解研究

1、学习必备欢迎下载一道中考压轴题多解研究本文档格式为 WORD,感谢你的阅读。题目：(20XX 年浙江绍兴卷第 24 题)如图 1，抛物 线y(x-3)( x+1 )与 x 轴交于 A，B 两点(点 A 在点 B 左 侧)，与 y 轴交于点 C，点 D 为顶点.(1) 求点 B 及点 D 的坐标；(2)连结 BD, CD,抛物线的对称轴与 x 轴交于点 E.1若线段 BD 上一点 P,使/ DCPhBDE 求点 P 的坐 标；2若抛物线上一点 M,作 MNLCD 交直线 CD 于点 N, 使/CMNHBDE 求点 M 的坐标.分析： (1 )令 y=0 ,则(x-3 )(x+1) =0,解得 x

2、1=3, x2=-1.因为点 A 在点 B 左侧，所以 B (3, 0).因为 y= (x-3 )(x+1) =x2-2x-3=(x-1 ) 2-4 ,所以 D (1 , -4 ).(2)解法 1:连结 BC,过点 C 作 CGL 直线 DE 于点 G,设 CP与直线 DE 交于点 F (如图 2).易知 C (0, -3 )，贝 BC=32, CD=2 BD=25?所以 BC2+CD2=BD2所以/ BCD=90 .因为/ DCPhBDE所以/ DCP CDF =ZBDEyCDF即/ CFGyBDC又因为/ CGFhBCD=90 ,所以CGDABCD学习必备欢迎下载所以 CGBC=GFCD

3、即卩 132=GF2,所以 GF=13?所以 F （1 , -103 ）.所以直线 CP 的解析式为 y=-13x-3 ,易求直线 BD 的解析式为 y=2x-6 , 联立解方程组y=-13x-3 ，y=2x-6，得x=97，y=-247，所以 P（ 97，-247）.解法 2:连结 BC,延长 PC 与 x 轴交于点 F（如图 3）. 因为 DE/y轴， 所以/ DCG/CDE 因为/ DCPhBDE 所以/ DCG DCPhCDE BDE 即/ OCFhGCPHCDB 又因为/ COFhDCB=90 , 所以CODADCB 所以 OCCD=OFCB 即卩32=OF32所以 OF=9,所以

4、F （-9 , 0）.所以直线 CP 的解析式为 y=-13x-3， 以下同解法 1. 解法 3:在 DE的延长线上取点 G,使 EG=EB 连结 BG （如图 4）,则/ CDFhDGB=45 ,又因为/ DCPhBDE所以CDDADGB所以 CDDG=DFGB 即卩26=DF22,所以 DF=23.所以 F （1，-103 ），以下同解法 1.图 4 图 5（I）若点 M 在抛物线的对称轴左侧，连结BC,交直线 DE 于点 F （如图 5）.由第小题可知/ NCOMCDFhCFD=45，/ MCN4，而学习必备欢迎下载/ BDENCFD=45，故在抛物线的对称轴左侧不存在一点M使/ CMN

5、HBDE.（H）若点 M 在抛物线的对称轴右侧，当点 M 在 x 轴上方，解法 1:作/ BEH=45，交 DB 的延长线于点 H,设 CM 与直线DE 交于点 G （如图 6）.易求直线 EH 的解析式为 y=x-1 ,直线 BD 的解析式为 y=2x-6 ,联立解方程组y=x-1 ,y=2x-6 ，得 x=5, y=4,所以 H （5, 4）,所以 EH=42.因为/ DCG=90 +ZCMNZEBH=90 +ZBDE/CMNNBDE所以/ DCGNEBH又因为/ CDGNBEH=45 ,所以CDOABEH所以 CDBE=DGEHS卩22=DG42所以 DG=4所以 G（ 1 , 0）,此

6、时点 G 与点 E 重合.所以直线 CG 的解析式为 y=3x-3 ,联立解方程组y=3x-3y= (x-3 )(x+1)，得x1=0yi=-3 ,x2=5学习必备欢迎下载y2=12.所以 M(5, 12).解法 2:设 MN 交 y 轴于点 F,过点 M 作 MG_y轴于点 G (如图7).因为/ CMNHBDE所以 tan / CMN=taMBDE即 CNMN=BEDE=12,所以 MN=2CN.易证 CNF MGF 均为等腰直角三角形，设 CN=a 贝 U NF=a, MN=2a.所以 CF=2a, MF=a所以 MG=FG=22a所以 CG=322a所以 M (22a , -3+322

7、a ).代入 y= (x-3 )(x+1),解得 a=52,所以 M( 5 , 12). 当点 M 在 x 轴下方，解法 1:作/ BEH=45 ,交 BD 于点 H ,设 CM 与直线 DE 交于点G (如图 8).易求直线 EH 的解析式为 y=-x+1 ,直线 BD 的解析式为 y=2x-6 ,联立解方程组y=-x+1y=2x-6，得x=73y=-43 ,所以 H ( 73, -43 ),所以 EH=432.因为/ CMN 主 DCG=90，/ BDEkEBH=90 ,学习必备欢迎下载/CMNHBDE所以/ DCGkEBH又因为/ CDGkBEH=45 ,所以CDOABEH所以 CDBE

8、=DGEHS卩22=DG 432,所以 DG=43所以 G (1 , -83 ).所以直线 CG 的解析式为 y=13x-3 ,联立解方程组y=13x-3y= (x-3)(x+1)，得x1=0yi=-3，x2=73y2=-209，所以 M ( 73，-209).解法 2:延长 MN 交 y 轴于点 F,过点 M 作 MGLy轴于 点 G (如图 9).因为/ CMNkBDE所以 tan / CMN=taMBDE即 CNMN=BEDE=12所以 MN=2CN.易证 CNF MGF 均为等腰直角三角形，设 CN=a 贝 U NF=a MN=2a.所以 CF=2a, MF=3a所以 MG=FG=322a所以 CG=22a所以 M (322a, -3+22a ).代入 y= (x-3 )(x+1)，解得 a=729,学习必备欢迎