高三数学单元测试单元十——计数原理、概率、随机变量及其分布

1、单元能力检测(十)考查范围：第十单元计数原理、概率、随机变量及其分布时间：120分钟分值：150分一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1袋中有大小相同的10个球，分别标有0,1,2,3,4,5,6,7,8,9十个号码，在有放回抽取的条件下依次取出两个球，设两个球号码之和为随机变量X，则X所有可能值的个数是()A10 B17C18 D192将3个不同的小球放入4个盒子中，则不同放法种数有()A81 B64C12 D143在(xy)10的展开式中，系数最小的项是()A第4项 B第5项C第6项 D第7项48名学生和2位老师站成一排合影

2、，2位老师不相邻的排法种数为()AAA BACCAA DAC5生产某种产品出现次品的概率为2%，生产这种产品4件，至多一件次品的概率为()A(198%)4B(98%)4(98%)3·2%C(98%)4D(98%)4C(98%)3·2%6甲从正方形四个顶点中任意选择两个顶点连成直线，乙也从该正方形四个顶点中任意选择两个顶点连成直线，则所得的两条直线相互垂直的概率是()A. B. C. D.7学校要安排一场文艺晚会的11个节目的演出顺序，除第1个节目和最后1个节目已确定外，4个音乐节目要安排在2,5,7,10的位置上，3个舞蹈节目要安排在3,6,9的位置，2个曲艺节目要安排在4

3、,8的位置，则不同安排的种数是()A144 B288C296 D3208有5本不同的书，其中语文书2本，数学书2本，物理书1本若将其随机地并排摆放到书架的同一层上，则同一科目的书都不相邻的概率是()A. B. C. D.9直线xm，yx将圆面x2y24分成若干块，现用5种颜色给这若干块涂色，每块只涂一种颜色，且任意两块不同色，共有120种涂法，则m的取值范围是()A(，) B(2,2)C(2，)(，2) D(，2)(2，)10某电台现录制好10首曲目，其中美声唱法2首，民族唱法4首，通俗唱法4首拟分两期播出，每期播放其中5首，要求三种唱法每期都有，通俗唱法曲目不得相邻，且第一期的最后一首曲目必

4、须是美声唱法，则不同的编排方法种数为()A40320 B80640C35712 D71424二、填空题(本大题共7小题，每小题4分，共28分把答案填在答题卡相应位置)11设a为函数ysinxcosx(xR)的最大值，则二项式6的展开式中含x2项的系数是_12甲、乙两人一起去游“2011西安世园会”，他们约定，各自独立地从1到6号景点中任选4个进行游览，每个景点参观1小时，则最后一小时他们同在一个景点的概率是_13一个袋子里装有大小相同的3个红球和2个黄球，从中同时取出2个球，则其中含红球个数的数学期望是_14若二项式6(a>0)的展开式中x3的系数为A，常数项为B，若B4A，则a的值是_

5、15盒中装有形状、大小完全相同的5个球，其中红色球3个，黄色球2个若从中随机取出2个球，则所取出的2个球颜色不同的概率等于_16某毕业生参加人才招聘会，分别向甲、乙、丙三个公司投递了个人简历假定该毕业生得到甲公司面试的概率为，得到乙、丙两公司面试的概率均为p，且三个公司是否让其面试是相互独立的记X为该毕业生得到面试的公司个数若P(X0)，则随机变量X的数学期望E(X)_.17体育课的排发球项目考试的规则是：每位学生最多可发球3次，一旦发球成功，则停止发球，否则一直发到3次为止设学生一次发球成功的概率为p(p0)，发球次数为X，若X的数学期望E(X)>1.75，则p的取值范围是_三、解答题

6、(本大题共5小题，共72分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)18(14分)某课程考核分理论与实验两部分进行，每部分考核成绩只记“合格”与“不合格”，两部分考核都是“合格”则该课程考核“合格”甲、乙、丙三人在理论考核中合格的概率分别为0.9,0.8,0.7；在实验考核中合格的概率分别为0.8,0.7,0.9，所有考核是否合格相互之间没有影响(1)求甲、乙、丙三人在理论考核中至少有两人合格的概率；(2)求这三人该课程考核都合格的概率(结果保留三位小数)19(14分)某研究机构准备举行一次数学新课程研讨会，共邀请50名一线教师参加，使用不同版本教材的教师人数如下表所示.版本人教A版人教B版苏教

7、版北师大版人数2015510(1)从这50名教师中随机选出2名，求2人所使用版本相同的概率；(2)若随机选出2名使用人教版的教师发言，设使用人教A版的教师人数为X，求随机变量X的分布列和数学期望20(14分)为征求个人所得税修改建议，某机构对当地居民的月收入调查了10000人，并根据所得数据画出样本的频率分布直方图如图D101.(1)求居民月收入在3000,4000的频率；(2)为了分析居民的收入与年龄、职业等方面的关系，必须按月收入再从这10000人中用分层抽样方法抽出100人作进一步分析，则月收入在2500,3000)的这段应抽多少人？(3)若将频率视为概率，对该地居民随机抽三人进行预测，

8、记这三人月收入不低于3000元的人数为X，求X的分布列及数学期望E(X)图D10121(15分)一个盒子中装有5张卡片，每张卡片上写有一个数字，数字分别是1、2、3、4、5，现从盒子中随机抽取卡片(1)从盒中依次抽取两次卡片，每次抽取一张，取出的卡片不放回，求两次取到的卡片的数字既不全是奇数，也不全是偶数的概率；(2)若从盒子中有放回地抽取3次卡片，每次抽取一张，求恰有两次取到卡片的数字为偶数的概率；(3)从盒子中依次抽取卡片，每次抽取一张，取出的卡片不放回，当抽到记有奇数的卡片即停止抽取，否则继续抽取卡片，求抽取次数X的分布列和期望22(15分)某种项目的射击比赛，开始时在距目标100米处射

9、击，如果命中记3分，且停止射击；若第一次射击未命中，可以进行第二次射击，但目标已在150米处，这时命中记2分，且停止射击；若第二次仍未命中还可以进行第三次射击，但此时目标已在200米处，若第三次命中则记1分并停止射击；若三次都未命中，则记0分已知射手在100米处击中目标的概率为，他的命中率与目标距离的平方成反比，且各次射击都是独立的(1)求这名射手在三次射击中命中目标的概率；(2)求这名射手比赛中得分的数学期望单元能力检测(十)参考答案1D解析 每次抽取一个球后，又放回，故两球的数字之和的最小值为0，最大值为18，且能取得之间的每一个整数值，所以选D.2B解析 4×4×46

10、4.3C解析 展开式共有11项，中间一项的二项式系数最大，该项的系数为负，故第6项的系数最小4A解析 本题采用插空法.8名学生的排列方法有A种，隔开了9个空位，在9个空位中排列2位老师，方法数为A，根据分步乘法计数原理，总的排法种数是AA.5D解析 “至多一件次品”可以分拆为“全是正品”和“恰有一件次品”两个互斥的基本事件，故所求的概率P(98%)4C(98%)3·2%.6C解析 甲从正方形四个顶点中任意选择两个顶点连成直线，乙也从该正方形四个顶点中任意选择两个顶点连成直线，所得的直线共有18(对)，而相互垂直的有5对，故根据古典概型概率公式得P.7B解析 可以分三步完成：第一步，安

11、排4个音乐节目，共有A种排法；第二步，安排舞蹈节目，共有A种排法；第三步，安排曲艺节目，共有A种排法所以不同排法有AAA288(种)8B解析 由古典概型的概率公式得P1.9A解析 只有当m(，)时，直线xm，yx才可能把圆面分成四块区域根据涂法，其种数为A120.10D解析 前四个曲目中，至少两个曲目是民族唱法，如两个曲目是民族唱法，则先排这两个唱法，在其隔出的三个空位上安插通俗唱法，此时第二期中先排美声唱法和民族唱法，在其隔开四个空位上安插剩下的两个通俗唱法，其方法数是CACAAA62208；若第一期中安排三个民族唱法，只要在其隔开的四个位置上安插一个通俗唱法，此时第二期中先排剩下的一个民族

12、唱法和美声唱法，在隔开的三个位置上安排四个通俗唱法，其方法数是CACAAA9216.所以总的编排方法有62208921671424.11192解析 因为sinxcosx2sin，由题设知a2，则二项展开式的通项公式为Tr1C(a)6r·r(1)r·C·a6r·x3r，令3r2，得r1，含x2项的系数是C25192.12.解析 对本题我们只看甲、乙二人游览的最后一个景点，最后一个景点的选法有C×C36(种)，若两个人最后选同一个景点选法共有C6(种)，所以最后一小时他们在同一个景点游览的概率为P.13.解析 XB，所以含红球个数的数学期望是.14

13、2解析 考查二项式展开的通式Tr1Cx6r(1)rCx6r(1)rar，由题意知，BCa4，ACa2，则a44a2，得a2.15.解析 从盒中随机取出2个球，有C种取法；所取出的2个球颜色不同，有CC种取法，则所取出的2个球颜色不同的概率是P.16.解析 P(1p)2，p.P×2×2×2，P×2×2×2，P×2，E0×1×2×3×.17.解析 由已知条件可得P(X1)p，P(X2)(1p)p，P(X3)(1p)2p(1p)3(1p)2，则E(X)P(X1)2P(X2)3P(X3)p2(

14、1p)p3(1p)2p23p3>1.75，解得p>或p<，又由p(0,1)，可得p.18解答 记“甲理论考核合格”为事件A1；“乙理论考核合格”为事件A2；“丙理论考核合格”为事件A3；记为Ai的对立事件，i1,2,3；记“甲实验考核合格”为事件B1；“乙实验考核合格”为事件B2；“丙实验考核合格”为事件B3；(1)记“理论考核中至少有两人合格”为事件C，P(C)P(A1A2A1A3A2A3A1A2A3)P(A1A2)P(A1A3)P(A2A3)P(A1A2A3)0.9×0.8×0.30.9×0.2×0.70.1×0.8

15、15;0.70.9×0.8×0.70.902.(2)记“三人该课程考核都合格”为事件D，则P(D)P(A1·B1)·(A2·B2)·(A3·B3)P(A1·B1)·P(A2·B2)·P(A3·B3)P(A1)·P(B1)·P(A2)·P(B2)·P(A3)·P(B3)0.9×0.8×0.7×0.8×0.7×0.90.2540160.254.所以，这三人该课程考核都合格的概率为0

16、.254.19解答 (1)从50名教师中随机选出2名的方法数为C1225，选出2人使用版本相同的方法数为CCCC350.故2人使用版本相同的概率为：P.(2)P(X0)，P(X1)，P(X2).X的分布列为X012PEX×0×1×2.20解答 (1)月收入在3000,4000的频率为00003×(35003000)0.0001×(40003500)0.2.(2)居民月收入在2500,3000)的频率为0.0005×(30002500)0.25，所以10000人中月收入在2500,3000)的人数为0.25×100002500

17、(人)，再从10000人中用分层抽样方法抽出100人，则月收入在2500,3000)的这段应抽取100×25(人)(3)记“在一次抽取中月收入不低于3000元”为事件A，则P(A)0.2.随机变量X的可能取值为0,1,2,3，P(Xk)C(0.2)k·(10.2)3k，k0,1,2,3.X的分布列为X0123P0.5120.3840.0960.008E(X)0×0.5121×0.3842×0.0963×0.0080.6.21解答 (1)因为1,3,5是奇数，2、4是偶数，设事件A为“两次取到的卡片的数字既不全是奇数，也不全是偶数”P(A).(2)设B表示事件“有放回地抽取3次卡片，每次抽取一张，恰有两次取到的卡片上数字为偶数”，由已知，每次取到的卡片上数字为偶数的概率为，则P(B)C·2·.(3)依题意，X的可能取值为1,2,3.P(X1)，P(X2)，P(X3).所以X的分布列为X123PE(X)1×2×3×.22.解答 记第一、二、三次射击命中目标分别为事件A，B，C，三次都未击中目标为事件D，依