高等代数与解析几何1~4章习题答案

1、高代与解几第二章自测题（一）行列式一、 判断题1. 一个排列施行一次对换后，其逆序数改变1.（ × ）2. 一个排列施行一次对换后，其奇偶性改变.（ ）3. 时，级的奇排列共个. （ ）二、填空题1. 排列的逆序数是 5 ，它是一个 奇 排列. 排列的逆序数是 n(n1) .2. 设行列式,则= D ，= 0 .3. 行列式D的展开式中的系数是 -4 ，常数项是 -18 .4. 排列的逆序数是9，则排列 的逆序数是 19 .5. 设，则= 240 .2、 证明题3. （提示：逐行向下叠加得上三角形行列式）4. （提示：爪型行列式）高代与解几第二章自测题（二）矩阵，线性方程组1、 判断

2、题1. 如果矩阵有阶子式大于零,那么.（ ×）2. 如果矩阵没有非零子式，那么.（ ）3. 如果矩阵的阶子式都等于零,那么.（ ）4. 初等变换不改变矩阵的秩.（ ）5. 若元线性方程组有2个解，则其增广矩阵的秩小于.（ ）3、 填空题 1. 矩阵的秩为2， 则的标准形为_. 2 若元线性齐次方程组仅有零解，则其系数矩阵的秩为 n .3、 计算与证明题1. 求齐次线性方程组 的一般解.解：对这个齐次线性方程组的系数矩阵施行行初等变换，得取为自由未知量，得其一般解为：2. 解线性方程组 解 方程组的增广矩阵为： B = ，. 2分对B做行初等变换：B ，. 6分从而得方程组的解为3.

3、设是数域中互不相同的数，是数域中任一组给定的数，证明：有唯一的数域上的多项式 使, 证明:要证有唯一的数域上的多项式 使 ,即要证有唯的一组数,使得 (2分)即证方程组 (4分)有唯一一组解.而此方程组的方程个数与未知数个数相等.其系数行列式 (5分)是范德蒙德行列式,由范德蒙德行列式的结论知, (7分)又是数域中互不相同的数,故,由克莱姆法则知,上述方程组有唯一一组解.得证. (10分)4. 设是互不相同的数，是任意数，证明线性方程组只有唯一解，并求出这个解.证明: 观察知此方程组的未知量个数与方程个数相等，其系数行列式= 是n阶范德蒙德行列式 (4分)因此，=，由于是互不相同的数，所以，根

4、据克莱姆法则知此线性方程组只有唯一解, ,其中是将系数行列式的第列换成， (7分)显然依然是n阶范德蒙德行列式，且的值只是将的值中的地方换成，因此 (10分)5. 假设有齐次线性方程组 当为何值时，方程组仅有零解？又在何时有非零解？在有非零解时，求出其一般解。解 |A|= = 1- p，. .4分当 |A|0，即 p1，方程组有唯一解。. 6分p = 1时，. 9分方程组的解为：6. 问常数取何值时, 方程组 无解,有唯一解, 或有无穷多解, 并在有无穷多解时写出其一般解。 解 = -（k+1）（k - 4）。. .3分当 0，即 k-1，且 k 4 时，方程组有唯一解。. .5分k = -1

5、时， ，方程组无解.8分k = 4时， ，.10分方程组的解为：高代与解几第二章自测题（三）向量、线性空间一、判断题1. 若向量组部分组线性相关，则该向量组线性相关.（）2. 集合不是的子空间.（×）3. 设和是数域上线性空间的两个有限维线性子空间，则 （×）4. 数域上非零线性空间可表示成它的两个真子空间的并集. （×）5. 集合是的子空间.()6. 同一数域上维数相同的两个有限维线性空间一定同构. （）7. 若向量组两两线性无关，则线性无关。（×）8. 线性空间的维数与它定义的数域无关。（×）9. 阶方阵的行向量组线性无关当且仅当它的行列式

6、不等于零。（）10. 两个等价的向量组必含有相同个数的向量。（×）11. 集合是的子空间.（）12 若向量组线性无关，则可由线性表示。（×）13 若可由线性表示，则线性无关。（×）二、填空题1. 若非零向量与向量线性相关，则_1:3:2_.2. 设，则的坐标是 (-3,4,-1) 3. 是的子空间， 3 4. 的不等于零的子式的最大阶数是 3 三、计算与证明题1. 证明:行初等变换不改变矩阵的列向量组的线性相关性证明: 设矩阵=,则其列向量组为 =经过行初等变换后变为矩阵=，其列向量组为 = (3分) 那么，由中向量的标量乘法与加法以及向量相等的定义知方程 (1)

7、与以为系数矩阵的齐次线性方程组是同解的.方程 (2)与以为系数矩阵的齐次线性方程组是同解的. (6分) 又由矩阵的行初等变换的定义与线性方程组的初等变换的定义知, 以为系数矩阵的齐次线性方程组与以为系数矩阵的齐次线性方程组是同解的. 从而，方程(1)与方程(2)是同解的. (8分)因此，向量组与向量组具有相同的线性相关性. (10分)2 证明:向量组线性相关的充分必要条件是存在可被线性表示 证明 先证充分性. 若存在可被线性表示,即存在一组数使得, (1分)从而有，由线性相关的定义知, 线性相关. (3分) 再证必要性.若向量组线性相关,则由定义知,存在一组不全为零的数使得, (5分) 令,则

8、,且.如果,即有,又,于是,这与是一组不全为零的数相矛盾.故有. (8分) 因为且,所以,于是,即可被线性表示. (10分)3.设,，求子空间的基与维数以及交空间的基与维数解：把写成列向量,组成矩阵,对施行行初等变换,化成行阶梯形矩阵:= = (5分)由此得出是的一个基， 而， (7分) 又易见 由交空间与和空间的维数定理知,=1， (8分)由 知 ，所以是的一个基，(10分)4. 设是数域上的线性空间到的一个同构映射，是的一个线性子空间，证明: 是的一个线性子空间. 证明 首先因为是线性子空间，所以，而是到的一个同构映射，所以由知，显然是的子集，因此是的一个非空子集.(3分)又设，则， (5

9、分)由是线性子空间，是到的一个同构映射知， (8分)从而有，是的一个线性子空间 (10分)5设线性无关,（1）若线性相关,证明一定可以由线性表示.（2）若不能由线性表示，证明线性无关. 证明: (1) 若线性相关,由定义存在一组不全为零的数,使得 ， (2分)即有 ， 若,则上式变为,而是一组不全为零的数,从而有线性相关,与已知矛盾,所以 (4分)进而知, ,即可由线性表示. (5分)(2) 设有一组数,使得 , (1分)若,则易见能由线性表示,与已知矛盾,所以 , (3分)进而有,而线性无关,因此,由线性无关的定义知, 线性无关. (5分)6 若，证明 . 证明 由知, 所以，因此. (8分

10、)类似可证，所以 (10分) 可见, (10分)高代与解几第二章自测题（四）方程组解的情况一、判断题1. 若是某齐次线性方程组的一个基础解系，则也是该齐次线性方程组的一个基础解系.（）2. ，的列向量组的秩小于，则以为系数矩阵的线性方程组有 无数多解。（×）3. ，则以为系数矩阵的线性方程组有唯一解。（） 2、 填空题1. 若元齐次线性方程组的基础解系含有3个解向量,且该方程组系数矩阵的秩为10，则=_13_.2. 若是10元非齐次线性方程组的2个不同的解向量,且该方程组系数矩阵的秩为9，则其一般解为为任意常数.3、 计算与证明题3. 求齐次线性方程组的一个基础解系及全部解.解：对这

11、个齐次线性方程组的系数矩阵施行行初等变换，得(2分)(4分)可知系数矩阵的秩是2，从而方程组的基础解系含个解向量(6分)解下面的齐次线性方程组：取为自由未知量，令得；再令得；再令得则即为方程组的一个基础解系，从而所求齐次线性方程组的全部解为，其中为任意常 (10分 ) 6. 设是某非齐次线性方程组的任意t个解，证明: 当 时，也是该方程组的一个解 证明 设是该非齐次线性方程组的一个特解，是它的导出组的一个基础解系，则由非齐次线性方程组的解的结构理论知， (4分)从而 = (5分)= (8分)由非齐次线性方程组的解的结构理论知仍是该线性方程组的一个解. (10分)7. 设是某非齐次线性方程组的一

12、个解，是它的导出组的一个基础解系，证明：是这个非齐次线性方程组的解的充分必要条件是存在r+1个数，使得 线性相关. 证明: 首证充分性设，其中，则，由是该非齐次线性方程组的一个解，是它的导出组的一个基础解系以及非齐次线性方程组的解的结构理论知，是这个非齐次线性方程组的解. (5分) 下证必要性设是这个非齐次线性方程组的解，由非齐次线性方程组解的结构理论知, ,因此， ，令 ，则，且. (5分)4. 解线性方程组 解 方程组的增广矩阵为： B = ，. 2分对B做行初等变换：B ，. 8分从而得方程组的解为= + + ，为可取任意值的参数。. 10分5. 问常数取何值时, 方程组无解,有唯一解, 或有无穷多解, 并在有无穷多解时写出其一般解。 解 = -（k+1）（k - 4）。. .3分当 0，即 k-1，且 k 4 时，方程组有唯一解。. .5分k = -1时， ，方程组无解。.7分k = 4时， ，.9分方程组的一般解解为：x1，x2，x3 T = 0，4，0 T + t -3，-1，1 T，t为可取任意值的参数。.10分6. 证明 构造矩阵 ，则矩阵的第一行元素的代数余子式依次为(1)根据行列式展开式的性质，从第二行起，每一行元素与第一行对应元素的代数余子式相乘相加的等于零，有，亦即 这说明