求双曲线标准方程的技巧精编版

1、求双曲线标准方程的技巧精编版MQS system office room MQS16H-TTMS2A-M0SS8Q8-MQSH16898求 双 曲 线 标 准 方 程 的 技 巧在求双曲线标准方程时，如果能根据已知条件设出方程的合理形式，可以简化运算， 优化解题过程。下面结合例题介绍求双曲线标准方程的方法。一双曲线的一般方程例1求经过点P（3,2“），Q（-6血7）的双曲线标准方程。分析双曲线的标准方程有两种形式：4-4=1 （“>（）, b>0）或与一二= CT ITCT b"1 （ « > 0 , /7 > 0 ）,可以讨论解决。也可以应用下面的

2、方法解决。解 设双曲线方程为Ax2 + By2 = 1（AB<0 ）。因为所求双曲线经过点P（3,2“），创-6血7）,所以严+ 283T，解得人=_丄，防丄。故所求双曲线方程 ' 丿 '）72A + 49B = 17525说明 求双曲线标准方程一般用待定系数法，当双曲线的焦点位置不确定时，为了避 免讨论焦点的位置，一般设双曲线方程为Ax2 + By2 = 1 （AB<0）,这样可以简化运 算。二等轴双曲线例2 等轴双曲线的中心在原点，焦点在x轴上，与直线x-2y= 0交于两点A、B,且|AB| = 2V15O求此等轴双曲线的方程。分析 根据等轴双曲线的特点，可以设

3、含有一个参数的方程x2-r = «2 （”0 ）,求出a即可。"2 2 2解 设等轴双曲线方程为X2 - >'2 =（4>0）。由xy=a *解得交点a、Bx-2y = 0.的坐标分别为备引、卜手厂引。因为所以“ =3。故所求双曲线方程为x2-r = 9o说明 等轴双曲线是一类特殊的双曲线，它有一些特殊的性质，比如：离心率£ = 血，渐近线方程为y = ±x且互相垂直等等。三共焦点双曲线例3 已知过点（3>/2,2）,且与双曲线話一才=1有共同焦点的双曲线的标准方程。分析 根据双曲线焦点与/、沪的关系，有共同焦点的双曲线方程可设

4、为二一一 16-k2-= 1 （一4<比<16）,求出 £ 即可。4 + R解设双曲线方程为上一一丄一=1 （-4OK16）,将（32,2）代入，得上= 16-k 4 + k'74。故所求双曲线方程为二一工=1。 12 8说明 与双曲线二一2；= I共焦点的双曲线方程可设为二一¥_= 1（b2 crcr _k b- +k<k<a2） o根据椭圆与双曲线的关系，与椭圆4 + 4 = 1共焦点的双曲线方程可设为 cr lr= I （b2<k<a2）,请注意它们的区别。a-k b-k四共渐近线双曲线例4求经过点（-3,2宀），且与双曲线

5、名一兰=1有共同渐近线的双曲线方程。分析因为双曲线卜卜I的两条渐近线方程为双曲线卜。，因此与它 共渐近线的双曲线方程可表示为双曲线二一二=兄（几工0）。解 设双曲线方程为- = 2 （20 ）,因为双曲线经过点（-3,23）,所以2=上丄一匚）=丄。故所求双曲线方程为匚一=丄，即另一罕=1。91649164244说明求共渐近线的双曲线方程也可以讨论焦点分别在两条坐标轴上的悄况，以上解 法避免了讨论过程，使解题更合理。另外，以已知双曲线的实轴为虚轴、虚轴为实轴的双 曲线叫做原双曲线的共辄双曲线。显然共辄双曲线有相同的渐近线，因此求共辄双曲线方 程时可以采用这个方法。五同离心率的双曲线例5求经过点

6、(2,0),且与双曲线少一 22= 1的离心率相同的双曲线的标准方程。76416分析因为一条双曲线和双曲线二一£= 1 («>0, /7>0)离心率相同，那么它的29焦点可能在x轴上，也可能在y轴上。若焦点在x轴上，它的方程可设为存一(“'cr2 2>0, b>09 2> 0 )；若焦点在y轴上，它的方程可设为二一4=2 (">0,方>0, cr 少2> 0 ) o解(1)当所求双曲线的焦点在x轴上时，它的方程可设为二一乂 =兄(2>0 ),6416将(2,0)代入，得兄=丄。此时所求双曲线的标准方程为

7、4 - V2 = 1 o164(2 )当所求双曲线的焦点在y轴上时，它的方程可设为右一話=几(2>0 ), 将(2,0)代入,得兄=_扌V 0 (舍去)。故所求双曲线的标准方程为-y2 = 1 o4说明已知同离心率与相同渐近线求双曲线方程的方法类似，请你比较它们的区别。 六已知双曲线渐近线的双曲线例6 求一条渐近线方程为3工+ 4)，=0, 个焦点是(4,0)的双曲线方程。分析 由3x + 4y=0,得- + -=0,因此借助与共渐近线方程问题的方法，设所I求双曲线方程为少一才=兄(20 ),求出兄即可。169解 根据题意，可设所求双曲线方程为二一匚=2 (兄工0)。又因为焦点在X轴169上，所以2>0o因为c = 4,所以16/1 + 9兄=16,解得2 =。故所求双曲线方程为25十 _ )' 1256144°25 务说明 渐近线方程为丄土上=